Invariant Distances and Metrics in Complex Analysis

880 Pages·2013·6.621 MB·English

by  Marek Jarnicki, Peter Pflug

De Gruyter Expositions in Mathematics 9
Editors
Victor P. Maslov, Moscow, Russia
Walter D. Neumann, New York City, New York, USA
(cid:48)(cid:68)(cid:85)(cid:78)(cid:88)(cid:86)(cid:3)(cid:45)(cid:17)(cid:3)(cid:51)(cid:192)(cid:68)(cid:88)(cid:80)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:88)(cid:79)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:15)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:79)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:71)(cid:82)(cid:15)(cid:3)(cid:56)(cid:54)(cid:36)
(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:78)(cid:3)(cid:54)(cid:70)(cid:75)(cid:79)(cid:72)(cid:76)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:85)(cid:72)(cid:80)(cid:72)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:42)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:92)
(cid:53)(cid:68)(cid:92)(cid:80)(cid:82)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:50)(cid:17)(cid:3)(cid:58)(cid:72)(cid:79)(cid:79)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:85)(cid:72)(cid:80)(cid:72)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:42)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:92)

(cid:48)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:78)(cid:3)(cid:45)(cid:68)(cid:85)(cid:81)(cid:76)(cid:70)(cid:78)(cid:76)(cid:15)(cid:3)(cid:51)(cid:72)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:51)(cid:192)(cid:88)(cid:74)
Invariant Distances and
Metrics in Complex Analysis
(cid:21)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:40)(cid:91)(cid:87)(cid:72)(cid:81)(cid:71)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:40)(cid:71)(cid:76)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)
De Gruyter
(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:3)(cid:54)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:29)(cid:3)(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:80)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:29)(cid:3)(cid:22)(cid:21)(cid:16)(cid:19)(cid:21)(cid:30)(cid:3)(cid:54)(cid:72)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:71)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:29)(cid:3)(cid:22)(cid:21)(cid:43)(cid:91)(cid:91)(cid:15)(cid:3)(cid:22)(cid:21)(cid:40)(cid:91)(cid:91)(cid:17)
Authors
Marek Jarnicki
(cid:45)(cid:68)(cid:74)(cid:76)(cid:72)(cid:79)(cid:79)(cid:82)(cid:81)(cid:76)(cid:68)(cid:81)(cid:3)(cid:56)(cid:81)(cid:76)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:76)(cid:87)(cid:92)
(cid:41)(cid:68)(cid:70)(cid:88)(cid:79)(cid:87)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:80)(cid:83)(cid:88)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:54)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)
Institute of Mathematics
(cid:88)(cid:79)(cid:17)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:73)(cid:17)(cid:3)(cid:54)(cid:87)(cid:68)(cid:81)(cid:76)(cid:86)(cid:225)(cid:68)(cid:90)(cid:68)(cid:3)(cid:224)(cid:82)(cid:77)(cid:68)(cid:86)(cid:76)(cid:72)(cid:90)(cid:76)(cid:70)(cid:93)(cid:68)(cid:3)(cid:25)
30-348 Kraków
(cid:51)(cid:82)(cid:79)(cid:68)(cid:81)(cid:71)
(cid:80)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:78)(cid:17)(cid:77)(cid:68)(cid:85)(cid:81)(cid:76)(cid:70)(cid:78)(cid:76)(cid:35)(cid:76)(cid:80)(cid:17)(cid:88)(cid:77)(cid:17)(cid:72)(cid:71)(cid:88)(cid:17)(cid:83)(cid:79)
(cid:51)(cid:72)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:51)(cid:192)(cid:88)(cid:74)
(cid:38)(cid:68)(cid:85)(cid:79)(cid:3)(cid:89)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:50)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:72)(cid:87)(cid:93)(cid:78)(cid:92)(cid:3)(cid:56)(cid:81)(cid:76)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:76)(cid:87)(cid:108)(cid:87)(cid:3)(cid:50)(cid:79)(cid:71)(cid:72)(cid:81)(cid:69)(cid:88)(cid:85)(cid:74)
(cid:41)(cid:68)(cid:70)(cid:88)(cid:79)(cid:87)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:54)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)
Institute of Mathematics
(cid:36)(cid:80)(cid:80)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:108)(cid:81)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:43)(cid:72)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:137)(cid:72)(cid:3)(cid:20)(cid:20)(cid:23)(cid:177)(cid:20)(cid:20)(cid:27)
(cid:21)(cid:25)(cid:20)(cid:21)(cid:28)(cid:3)(cid:50)(cid:79)(cid:71)(cid:72)(cid:81)(cid:69)(cid:88)(cid:85)(cid:74)
Germany
(cid:83)(cid:72)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:17)(cid:83)(cid:192)(cid:88)(cid:74)(cid:35)(cid:88)(cid:81)(cid:76)(cid:16)(cid:82)(cid:79)(cid:71)(cid:72)(cid:81)(cid:69)(cid:88)(cid:85)(cid:74)(cid:17)(cid:71)(cid:72)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:20)(cid:20)(cid:16)(cid:19)(cid:21)(cid:24)(cid:19)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:24)
(cid:72)(cid:16)(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:20)(cid:20)(cid:16)(cid:19)(cid:21)(cid:24)(cid:22)(cid:27)(cid:25)(cid:16)(cid:22)
(cid:54)(cid:72)(cid:87)(cid:16)(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:20)(cid:20)(cid:16)(cid:21)(cid:20)(cid:27)(cid:27)(cid:22)(cid:19)(cid:16)(cid:28)
(cid:44)(cid:54)(cid:54)(cid:49)(cid:3)(cid:19)(cid:28)(cid:22)(cid:27)(cid:16)(cid:25)(cid:24)(cid:26)(cid:21)
(cid:47)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:74)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:86)(cid:3)(cid:38)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:82)(cid:74)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:16)(cid:76)(cid:81)(cid:16)(cid:51)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:39)(cid:68)(cid:87)(cid:68)
(cid:36)(cid:3)(cid:38)(cid:44)(cid:51)(cid:3)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:79)(cid:82)(cid:74)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:82)(cid:85)(cid:71)(cid:3)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:69)(cid:82)(cid:82)(cid:78)(cid:3)(cid:75)(cid:68)(cid:86)(cid:3)(cid:69)(cid:72)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:83)(cid:83)(cid:79)(cid:76)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:68)(cid:87)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:47)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:74)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:86)(cid:17)
(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)
(cid:55)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)(cid:3)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:191)(cid:72)(cid:30)
(cid:71)(cid:72)(cid:87)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:71)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:68)(cid:89)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:68)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:44)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:72)(cid:87)(cid:3)(cid:68)(cid:87)(cid:3)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:71)(cid:81)(cid:69)(cid:17)(cid:71)(cid:81)(cid:69)(cid:17)(cid:71)(cid:72)(cid:17)
(cid:139)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:20)(cid:22)(cid:3)(cid:58)(cid:68)(cid:79)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:3)(cid:42)(cid:85)(cid:88)(cid:92)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:42)(cid:80)(cid:69)(cid:43)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:76)(cid:81)(cid:18)(cid:37)(cid:82)(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:81)
(cid:55)(cid:92)(cid:83)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:87)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:29)(cid:3)(cid:39)(cid:68)(cid:16)(cid:55)(cid:72)(cid:59)(cid:3)(cid:42)(cid:72)(cid:85)(cid:71)(cid:3)(cid:37)(cid:79)(cid:88)(cid:80)(cid:72)(cid:81)(cid:86)(cid:87)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:47)(cid:72)(cid:76)(cid:83)(cid:93)(cid:76)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:71)(cid:68)(cid:16)(cid:87)(cid:72)(cid:91)(cid:17)(cid:71)(cid:72)
(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:76)(cid:81)(cid:71)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:29)(cid:3)(cid:43)(cid:88)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:9)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:17)(cid:3)(cid:42)(cid:80)(cid:69)(cid:43)(cid:3)(cid:9)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:17)(cid:3)(cid:46)(cid:42)(cid:15)(cid:3)(cid:42)(cid:124)(cid:87)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:81)
(cid:136)(cid:3)(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:70)(cid:76)(cid:71)(cid:16)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:83)(cid:72)(cid:85)
(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:42)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:92)
(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:71)(cid:72)(cid:74)(cid:85)(cid:88)(cid:92)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:17)(cid:70)(cid:82)(cid:80)
ToMariolaandRosel

Preface to the second edition
The first edition of this book appeared in 1993, i.e., about twenty years ago. In the
meantime,activitiesintheareaofcomplexanalysishaveledtoanswerstomanyques-
tions we posed atthat time. Moreover, many new “invariant”objects have appeared
andhavesofarbeensuccessfullyusedinSeveralComplexVariables. Therefore,we
werehappywhenDeGruyteraskedustoupdatethefirstedition. Ourinitialthought
was that we could fix the old structure and then add the new results. But looking
backthiswasanoverlyoptimistic wayofapproachingthenewedition. Itturnedout
that there was a huge amount of new material we had to cover. As a compromise
we have tried to keepas much aspossible of the old book untouched. Nevertheless,
thestructurehaschanged. Wehope thatthereaderwillappreciatethisnewextended
version as it is now. It covers more than twice the material in the old version. We
havetoconfessthat,becauseofthelimitednumberofpages,wecouldnotincludeall
the topics we wantedin this volume. With a small number of exceptions we restrict
our discussion todomains inCn. Moreover,the discussionof strongly linearlycon-
vexdomainsisnotascompleteaswewanted. Onlyrecentlyacompleteanddetailed
proof of the main resultappeared(see[322]), i.e., equality of allinvariant functions
on suchdomains. We encourage the readerto turn tothe original paper and study it
carefully. Moreover,manydetailsonthesymmetrizedpolydiscandthespectralball,
aswellasalotofresultsonestimatesforinvariantmetricsonC-convexdomains(not
covered by our book), may be found in the interesting booklet “Invariant functions
andmetricsincomplexanalysis”byN.Nikolov(see[379]).
Eachchapterstartswithabriefsummaryofitscontentsandcontinueswithashort
introduction. Itends witha “Listof problems” sectionthat collectsallthe problems
from the chapter. Likewise, problems from all chapters are collected in a “List of
problems” appendix. We encouragethe readertoworkon theseproblems. Wehope
therewillbeasimilarprogressastherehasbeenafterthefirstversion.
Moreover, there are many points in the proofs that we have marked with . This
meansthatthereaderisencouragedtowriteouttheargumentinmoredetail.
We also have to confess that some part of this edition is based on the article “In-
variant distances and metrics in complex analysis – revisited” [267], which may be
thoughtofasastepbetweenthefirsteditionandthecurrentone.
Furthermore, we should point out that, in general, we did not checkthe details of
the resultspresentedinthe Miscellanea. This is leftfor the readerinterestedin such
results.
viii Prefacetothesecondedition
Weliketothankallour colleagueswhoreportedtousaboutthe gapsinthis book
during its writing. In particular, we thank Dr. P. Zapałowski for all the corrections
he made. It would not be possible to reach the current presentation layer of this
book without his precise and detailed observations. Nevertheless, according to our
experienceswithourformerbooks,wearesurethatmanyerrorshaveremained,and
weareresponsiblefornotdetectingthem.
Wewillbepleasedifreadersinformusaboutcomments and/orremarkstheymay
havewhilestudyingthistext–pleaseuseoneofthefollowinge-mailaddresses:
(cid:2) [e-mail]
(cid:2) [e-mail]
Finally, itisourgreatpleasuretothankthefollowinginstitutions fortheirsupport
duringthewritingofthisbook:
JagiellonianUniversityinKraków,
CarlvonOssietzkyUniversitätOldenburg,
PolishNationalScienceCenter(NCN)–grantUMO-2011/03/B/ST1/04758,
DeutscheForschungsgemeinschaft–grant436POL113/103/0-2.
We are deeply indebted to the De Gruyter publishing company for giving us the
chancetowritethisextendedsecondversion.
MarekJarnicki
Kraków–Oldenburg,January2013 PeterPflug
Preface to the first edition
One of the most beautiful results in classicalcomplex analysis is the Riemann map-
ping theorem, which says that, except for the whole complex plane, every simply
connected plane domain is biholomorphically equivalent to the unit disc. Thus, the
topologicalproperty“simplyconnected”isalreadysufficienttodescribe,uptobiholo-
morphisms,alargeclassofplanedomains. Ontheotherhand,theEuclideanballand
thebidiscinC2 aretopologicallyequivalentsimplyconnecteddomains,buttheyare
notbiholomorphic. Thisobservation,whichwasmadebyH.Poincaréasearlyasthe
endofthelastcentury,showsthateveninsidetheclassofboundedsimplyconnected
domainsthereisnosinglemodel(uptobiholomorphisms) asisthecaseintheplane.
Therefore,itseemstobeimportanttoassociatewithdomainsinCn tractableobjects
thatareinvariantunderbiholomorphicmappings. Providedthattheseobjectsaresuf-
ficientlyconcrete,onecanhopetobeabletodecide,atleastinprinciple,whethertwo
givendomainsarebiholomorphicallydistinct.
An object of this kind wasintroduced by, for example, by C. Carathéodoryin the
thirties. His main idea was to use the set of bounded holomorphic functions as an
invariant. Moreprecisely,hedefinedpseudodistancesondomainsviaa“generalized”
Schwarz Lemma. A specific property of these pseudodistances is that holomorphic
mappingsactascontractions. Thus,inparticular,biholomorphicmappingsoperateas
isometries. For such objects the name “invariantpseudodistances” has become very
popular. Thisiswherethetitleofourbookcomesfrom,althoughinthetextweprefer
to talk about holomorphically contractible pseudodistances. Apart from the class of
bounded holomorphic functions, other classes of functions are used to obtain, via
extremal problems, new objects that are contractible with respectto certainfamilies
of holomorphic mappings. For example, the class of square integrable holomorphic
functions was used by S. Bergman. Moreover, all these objects admit infinitesimal
versions associating with any “tangent vector” a specific length that is contractible
under holomorphic mappings. Besides using families of functions to associate (via
anextremalproblem) tractableobjectswithdomains inCn,one canconsidersetsof
analyticdiscsasnewbiholomorphic invariants. ThisideaisduetoS.Kobayashi.
Themaingoalofourbookistopresentasystematicstudyofinvariantpseudodis-
tances and their infinitesimal counterparts, the invariantpseudometrics. To illustrate
variousaspectsofthetheory,weaddalotofconcreteexamplesandapplications. Al-
though wehave triedtomake the book ascomplete as possible, the choiceof topics
wepresentobviouslyreflectsourpersonalpreferences.
x Prefacetothefirstedition
Our interest in this area started in the middle of the eighties when we, somehow
accidentally, came across the “Schwarz Lemma on Cartesian products” (in the ter-
minology of the book, the “product property of the Carathéodory distance”). This
resultwasstatedinthe1976surveyarticleIntrinsicdistances,measuresandgeomet-
ricfunctiontheoryofS.Kobayashibutnoproofwasgiventhere(infact,asitturned
outlater,noproof didexistatthattime). Inourattemptstofindaproof ofthistheo-
rem,wehavegonedeeperintothefieldofinvariantdistances. Forinstance,wehave
learnedthata lot of seemingly simple questions werestill waitingfor solutions. We
were able to solve some of them but most remain still without answer. We have put
manyoftheseproblemsintothetext(markingthemby ). Thereaderisencouraged
toworkonsomeofthem.
Accordingtoourexperienceoverthelasttenyears,wefeelthatweshouldrefrain
fromdiscussingmanifoldsandcomplexspaces.SoweonlydealwithdomainsinCn.
Evenhere,ofcourse,plentyofresultsarebeyondthescopeofourbook. Forthecon-
venienceof thereaderwhowouldlike togofurther,wecollect(withoutproofs)part
ofthismaterialinasupplementarychapter(Miscellanea). Wementionthat,although
manyoftheresultsinthebookarestatedinthedomaincase,theycanbealmostliter-
allytransformedtothemanifoldcase;see,forinstance,[3,137,178,312,335,398].
During the preparation of this book, we had to decide what kind of knowledge
the reader is supposed to have. We have assumed that he is familiar with standard
complexanalysisofseveralvariables. Ofcourse,whatwemeanby“standard”reflects
our academiceducation. Asaformof acompromise, wehaveaddedanappendixin
whichwecollectresultsweassumetobeknown(orwhicharenoteasytofindinthe
literature). Moreover,chaptersconcludewithroughnotesandsomeexercises.
In the text, we often use certain standard symbols and notation without explicit
definitions and the reader is referredto the “list of symbols” at the end of the book.
Moreover,abbreviationsHF,PSH,PSC,AUT,GR,MA,andHrefertothesectionsof
theAppendix.1
Itisourdeeppleasuretobeabletostateadebtofgratitudetoourteachers:Profes-
sorsHansGrauertandJózefSiciak,whohaveledourfirststepsincomplexanalysis.
Next,wewouldliketothankourcolleaguesforstimulatingdiscussionsandhelpdur-
ingwritingthisbook. WeespeciallywanttothankM.Capin´ski,H.-J.Reiffen,R.Ze-
instra, and W. Zwonek, who also helped us with corrections of the text. We express
ourgratitudetoMrs.H.Böske,whospentalotoftimetypingandretypingournotes.
We thank both our universities for support before and during the preparation of the
book. Finally,wearedeeplyindebtedtotheWalterdeGruyterPublishingCompany,
especiallytoDr.M.Karbe,forhavingencouragedustowritethisbook.
MarekJarnicki
Kraków–Vechta,December1992 PeterPflug
1 NoticethatinthesecondeditionofthebookthereferencestotheAppendixareorganizedinadifferent
way.