Introduzione alla probabilità

140 Pages·2016·0.75 MB·Italian

by  © Luciano Battaia

LUCIANO BATTAIA
INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ
Appunti dalle lezioni del corso di Matematica per il Design
per l’ISIA di Roma, sede di Pordenone
www.batmath.it
Introduzione alla probabilità
Appunti dalle lezioni del corso di Matematica per il Design
per l’ISIA di Roma, sede di Pordenone
LucianoBattaia
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Mi piace guardare alla matematica più come un’arte che come una scienza, perché l’attività dei matematici,
che creano costantemente, è guidata ma non controllata dal mondo esterno dei sensi; quindi assomiglia, io
credo, in realtà all’attività di un artista, di un pittore. Proprio come non si può essere pittore senza una
certa tecnica, così non si può essere un matematico senza il potere della ragione accuratamente giunto a un
certo punto. Tuttavia queste qualità, fondamentali, non fanno un pittore o un matematico degno di questo
nome, né in verità sono i fattori più importanti. Altre qualità di una specie più sottile, alla cui vetta vi è in
entrambi i casi l’immaginazione, creano un buon artista o un buon matematico.
Bocher, Bulletin of the American Mathematical Society, 11, 1904
La bellezza è un fattore matematico. In un viso ad esempio è tutta una questione di distanza fra occhi,
lunghezza di naso: la bellezza è matematica pura. Le proporzioni sono tutto. Guardate San Pietro, il
colonnato, le finestre: è tutta una questione di proporzioni.
Giorgietto Giugiaro, Intervista a Repubblica, 9 novembre 2013

Indice
Elencodellefigure vii
Premessa ix
1 Logica. Insiemi 1
1.1 Logicaproposizionale 1
1.1.1 Connettivilogici 2
1.2 Logicadeipredicati 3
1.2.1 Quantificatori 3
1.3 Ilsimbolodisommatoria 4
1.4 Insiemi 6
1.5 Operazionitrainsiemi 8
1.6 DiagrammidiEulero-Venn 9
1.7 Partizionidiuninsieme 11
1.8 Funzioni 15
1.9 Cardinalità 17
1.10 Numeri 18
1.11 Intervallidinumerireali 19
1.12 Esercizi 20
2 Cennidicalcolocombinatorio 25
2.1 Introduzione 25
2.2 Disposizioni 26
2.3 Permutazioni 27
2.3.1 Permutazionifraelementidistinti 27
2.3.2 Permutazionifraelementinontuttidistinti 28
2.4 Combinazioni 28
2.5 Esercizi 30
3 Incertezzaesuavalutazione 35
3.1 Duesituazionifamose 37
3.2 Eventieoperazioniconessi 42
3.3 Laconcezionesoggettivadellaprobabilità 46
3.4 Unionedieventieprobabilità 48
3.5 L’impostazioneassiomaticadellaprobabilità 52
LucianoBattaia batmath.it v
Indice Introduzioneallaprobabilità
3.6 Valutazionedellacoerenzanelleassegnazionidiprobabilità 53
3.7 IlproblemadideMéré 62
3.8 Probabilitàcondizionataeteoremadelleprobabilitàcomposte 63
3.9 IlteoremadiBayes 71
4 Numerialeatorieloroprevisione 77
4.1 Numerialeatorisemplici 77
4.2 IlmodelloBernoulliano 86
4.3 Numerialeatoridiscreti 88
4.4 Numerialeatoricontinui 89
4.5 Lacurvanormale 92
5 Qualcheapplicazione 97
5.1 Ilproblemadelcompleanno 97
5.2 Ilparadossodelsecondofiglio 98
5.3 IlparadossodiMontyHall 99
5.4 Ilparadossodell’ispezione 100
5.5 Percorsocasualeerovinadelgiocatore 100
6 Cennoall’inferenzaprobabilistica 103
6.1 Deduzioneeinduzione 103
6.2 InferenzaeteoremadiBayes 108
A Comeèstataprogettataquestadispensa 113
Notazioniutilizzate 119
Alfabetogreco 123
Bibliografia 125
Indiceanalitico 127
vi batmath.it LucianoBattaia
Elenco delle figure
1.1 Uninsiemeconalcunielementichegliappartengonoedaltrichenongliappartengono 10
1.2 DueinsiemiAeB elalorounione 10
1.3 DueinsiemiAeB elalorointersezione 10
1.4 DueinsiemiAeB eladifferenzaA\B 10
1.5 DueinsiemiAeB elalorodifferenzasimmetrica 11
1.6 Complementarediuninsiemerispettoall’universoU 11
1.7 UninsiemeuniversoΩetresuoisottoinsemi: A,B,C 12
1.8 A∩B∩C =I eA∩B∩Cc =I ,conriferimentoallafigura1.7 13
1 2
1.9 Ac∩B∩C =I eA∩Bc∩C =I ,conriferimentoallafigura1.7 13
3 4
1.10 A∩Bc∩Cc =I eAc∩B∩Cc =I ,conriferimentoallafigura1.7 13
5 6
1.11 Ac∩Bc∩C =I eAc∩Bc∩Cc =I ,conriferimentoallafigura1.7 14
7 8
1.12 Trecaselledalasciarevuoteoriempireconlalettera“c” 14
1.13 Costituentiincasoditresottoinsiemidisgiunti 15
1.14 Diagramma“afrecce”pervisualizzareunafunzione(trainsiemifiniti) 16
1.15 Insiemidicardinalità2 17
2.1 Disposizionidi“n”oggettidistintiin“k”casellenumerate 26
3.1 Eventidell’esempio3.11erelativicostituenti 56
3.2 Eventiecostituentiperl’esercizio3.6 59
3.3 Eventiecostituentiperl’esercizio3.8 60
3.4 Eventidell’esempio3.10erelativicostituenti 62
4.1 Distribuzionediprobabilitàdell’esempio4.1 78
4.2 Distribuzionediprobabilitàdell’esempio4.1,graficoacanne 79
4.3 Distribuzionediprobabilitàdell’esempio4.1,istogrammaabarre 79
4.4 Costituentiperl’esercizio4.1 83
4.5 Costituentiperl’esercizio4.2 84
4.6 Probabilità e densità di probabilità per un numero aleatorio continuo, nell’intorno di un
punto 91
4.7 Probabilitàedensitàdiprobabilitàperunnumeroaleatoriocontinuo,inunintervallo 91
4.8 Esempiodicurvanormale 92
4.9 Curvenormalicondiversivaloridiσ 93
4.10 Proprietàdellacurvanormale 94
6.1 Sommadegliangoliinterniinuntriangoloequilatero 104
LucianoBattaia batmath.it vii
Elencodellefigure Introduzioneallaprobabilità
6.2 Sommadegliangoliinterniintriangolirettangolieisosceli 105
A.1 Legature 115
viii batmath.it LucianoBattaia
Premessa
QuestiappuntisonorivoltiaglistudentidelprimoannodelcorsodiMatematicaperilDesigndell’ISIA
diRoma,sedediPordenone. IlcorsodiMatematicaperilDesignsiarticolaneiprimidueannidicorso:
nelsecondoannosarannotrattatigliargomentipiùpropriamentelegatiall’arteealdesign,comeisolidi
platonici,variecurveesuperficigeometriche,uncennoallaquartadimensione,uncennoaifrattali. Nel
primoannoilprogrammaprevedeinveceunaintroduzioneelementarealcalcolodelleprobabilitàcon
loscopoprincipaleditrasmettereilmododipensaretipicodeiragionamentiprobabilistici,imparandoa
farevalutazioniincondizionidiincertezza,alfinediprendereunadecisione;tuttoquestonaturalmente
senzarinunciareadintrodurreconuncertorigorelenozioniteorichepiùimportanti.
Questiappunticontengonosoloedesclusivamenteloschemadellelezionisvoltesenzaalcunapretesadi
completezzaesistematicità. Anzi,trattandosiprincipalmentediundiariodellelezioni,alcuniargomenti
possonoessereancheripresipiùvolteincontestidiversi,asecondadelledomandeeosservazionidegli
studenti. Inoltrealcuniargomentisonosemplicementeaccennati,peraltrisièfattaunatrattazionea
voltepiùestesaeapprofonditadiquantofattoinclasse,perstimolareeventualiapprofondimentida
partedegliallievi. Inognicasosirimandaaitestiviaviaconsigliatiperinecessaricompletamentiche
nontrovanopostoinquestiappunti.
Sitengacomunquecontoche,essendoinognicasoquestadispensaunlibroditesto,abbiamodovuto
esserepiùrigorosidiquantononsuccedaconlelezioniinaula,doveèammessounostilemenoformale.
Gliappuntisonoadattiperuncorsocomplessivodi32oredilezione,comprensivediesercitazioni:
laristrettezzadeitempiadisposizioneimponenumeroselimitazionisianellasceltadegliargomenti
sia nel grado di approfondimento degli stessi. Naturalmente si è tenuto conto, sia nella scelta degli
argomentichenellalorotrattazione,dellecaratteristichespecifichedelcorsoincuivengonoutilizzati
questiappunti.
Questotestoèliberamentedisponibilesulsitowebdell’autore,www.batmath.it. Comeognitesto
di matematica, anche questo non può essere esente da errori, imperfezioni, lacune: chiunque abbia
qualcosadasegnalareèpregatodiusarel’indirizzodimailcollegatoalgiàcitatositowebdell’autore.
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