Introduzione alla Meccanica Razionale

288 Pages·2016·1.35 MB·Italian

by  Paolo Biscari

Paolo Biscari
Introduzione
alla Meccanica
T
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Razionale
X
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Elementi di teoria con esercizi
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II
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123 UU
UNITEXT – La Matematica per il 3+2
Volume 94
Editor-in-chief
A.Quarteroni
Serieseditors
L.Ambrosio
P.Biscari
C.Ciliberto
M.Ledoux
W.J.Runggaldier
http://www.springer.com/series/5418
Paolo Biscari
Introduzione alla
Meccanica Razionale
Elementi di teoria con esercizi
PaoloBiscari
DipartimentodiFisica
PolitecnicodiMilano
Milano,Italia
ISSNversionecartacea:2038-5722 ISSNversioneelettronica:2038-5757
UNITEXT–LaMatematicaperil3+2
ISBN978-88-470-5778-4 ISBN978-88-470-5779-1(eBook)
DOI10.1007/978-88-470-5779-1
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©Springer-VerlagItalia2016
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Prefazione
LaMeccanicaèlabrancadellaFisicaClassicachestudial’equilibrioeilmotodei
sistemimateriali.Riuscireinquestoaffascinanteobbiettivosidimostraalquanto
impegnativo,inquantoleequazionidarisolverediventanoviaviapiùcomples-
sequantopiùarticolatodiventailsistemainconsiderazione,oequivalentemente
quantopiùdettagliatasialadescrizionechesirealizzadiesso.
Al fine di affrontare il problema del moto per gradi, la Meccanica Razionale
concentralasuaattenzionesulmovimentodisistemiideali,piùsemplicidiquelli
reali:puntimateriali,corpirigidi,ecombinazionidientrambi.Lostudiodiquesti
sistemiconsentedicapirealmeglioiPrincipidellaMeccanica,eleconseguenze
chederivanodaessi.
AltraidealizzazionepresentenellostudiodellaMeccanicaRazionaleèilmo-
dellodivincolo:moltisistemisonolimitatinelleloropossibilitàdimovimento,
nel senso che diverse loro parti possono non muoversi affatto o muoversi solo
ubbidendoapreciseprescrizioni,qualichesianoleforzechelesollecitano.
Insintesi,ilnostroobbiettivoprincipalesaràquindiquellodifamiliarizzareil
lettoreconl’equilibrioeilmotodipuntimaterialiecorpirigidi,liberiovincolati.
QuestofinevieneperseguitoconilrigoreeglistrumenticaratteristicidelleScien-
zeMatematicheperchélaprecisazionechiaradelleipotesichesottendonoaun
risultatoèessenzialeperpoteresplorareinunsecondomomentoirisultatipiù
generalichesiricavanorilassandounaopiùdelleipotesiiniziali,equestiappro-
fondimenti sono a loro volta fondamentali perché l’abbandono progressivo dei
modelliidealizzatipermettedifocalizzarelanostraattenzionesucorpievincoli
reali.
L’astrazione necessaria per visualizzare e comprendere modelli ideali, come
sonoquellodipuntomateriale,corporigidoevincolo,fannodellaMeccanicaRa-
zionaleunamateriadall’elevatocontenutoteorico.Èperquestaragionechein
questotestosièarricchitalapresentazioneconunconsistentenumerodiesempi
edesercizi,dituttiiqualivienefornitalasoluzione.
Ilpresentetestoèprevalentementemiratoall’insegnamentodellaMeccanica
RazionalenelleScuolediIngegneria,mapuòessereutilizzatoancheincorsidelle
viii Prefazione
ScuolediScienzeMatematicheoFisiche.Inessosiècercatodisemplificarequan-
topossibileilcontenutoteorico,anchepervenireincontroallenecessitàdialcuni
corsichesonocollocatineiprimissimisemestridifrequenzadeicorsiuniversita-
ri.Perfareunesempioesplicito,nonostantelatrattazioneteoricacopraanchelo
studiodellameccanicadeisistemitridimensionali,lamaggiorpartedegliesem-
pivienesvoltapersistemibidimensionali(erisultaaddiritturapossibileritagliare
unpercorsosemplificatoperchivolesselimitareilpropriostudioteoricoaicasi
piani).
Desideroinfineringraziarecoloroche,neimieiprimiannidiinsegnamentodi
questaavvincentemateria,mihannoaiutatoacapirnelaprofondità.Ricordoin
particolareconinfinitagratitudineElisaBriniseCarloCercignani,esonoaltret-
tantogratoaEpifanioVirga.VorreiinoltreringraziareTommasoRuggeri,Giusep-
peSaccomandieMaurizioVianello,mieicoautorideltestoMeccanicaRazionale,
adattoperaltroadapprofondirediversiargomentiquipresentatinellaloroversio-
nepiùsemplificata,perlenumerosissimequantostimolantidiscussionisuogni
aspettodellanostramateria,eStefanoTurziperilsupportograficoinalcunefi-
guredeltesto.Infine,ringrazioanticipatamentetuttiilettori,studentiocolleghi
chegradiscanoinformarmidella(certaquantopurtroppoinevitabile)presenzadi
svisteinquestepagine.Saròlietodiriceverelesegnalazionisullamiacaselladi
postaelettronica<[email protected]>,etenernecontoinunafutura
edizionerivistadeltesto.
Milano,settembre2015 PaoloBiscari
Indice
1 Cinematicadelcorporigidolibero................................... 1
1.1 ImodellidellaMeccanicaRazionale............................. 1
1.2 GlielementidellaCinematica................................... 2
1.3 Configurazionidiuncorporigidolibero ......................... 10
1.4 Attodimotorigido............................................. 16
1.5 Attodimotorigidopiano.Centrodiistantanearotazione ......... 21
1.6 Attodimotorigidotridimensionale.AssediMozzi................ 24
1.7 Motirigidi..................................................... 27
1.8 Soluzionidegliesercizi ......................................... 28
2 Sistemivincolati.................................................... 35
2.1 Classificazionedeivincoli ...................................... 35
2.2 Velocitàespostamentivirtuali .................................. 36
2.3 Vincolisucorpirigidi........................................... 40
2.4 Vincolodipurorotolamento.................................... 50
2.5 Soluzionidegliesercizi ......................................... 56
3 Cinematicarelativa................................................. 65
3.1 Composizionedellevelocità .................................... 66
3.2 Composizionedelleaccelerazioni ............................... 69
3.3 Soluzionidegliesercizi ......................................... 73
4 Geometriadellemasse.............................................. 77
4.1 Sistemidivettoriapplicati ...................................... 78
4.2 Riduzionedeisistemidivettoriapplicati......................... 80
4.3 Centrodimassa................................................ 85
4.4 Momentidiinerzia............................................. 90
4.5 Assiprincipalidiinerzia ........................................ 95
4.6 Soluzionidegliesercizi .........................................101
x Indice
5 LeggidellaMeccanica...............................................113
5.1 IPrincipidellaMeccanicaNewtoniana ..........................113
5.2 Forzeattiveereazionivincolari.Vincoliideali....................117
5.3 Reazionivincolariinvincoliideali...............................121
5.4 Vincolireali.Attrito ............................................125
5.5 Soluzionidegliesercizi .........................................126
6 Statica .............................................................129
6.1 Equazionicardinalidellastatica.................................131
6.2 Principiodeilavorivirtuali......................................136
6.3 Equilibriodicorpirigidi ........................................139
6.4 Equilibriodisistemiolonomi ...................................146
6.5 Soluzionidegliesercizi .........................................151
7 Dinamica ..........................................................157
7.1 Quantitàmeccaniche...........................................157
7.2 Equazionicardinalidelladinamica ..............................168
7.3 Dinamicadelcorporigido ......................................173
7.4 Teoremadell’energiacinetica ...................................178
7.5 Integraliprimi.Conservazionedell’energiameccanica............184
7.6 Soluzionidegliesercizi .........................................190
8 Meccanicalagrangiana..............................................201
8.1 Principiodid’Alembert.........................................201
8.2 EquazionidiLagrange..........................................204
8.3 Integraliprimilagrangiani ......................................211
8.4 Stabilitàdell’equilibrioinsistemiconungradodilibertà..........213
8.5 Motiviciniall’equilibrio.Frequenzadellepiccoleoscillazioni......218
8.6 Soluzionidegliesercizi .........................................222
9 Meccanicarelativa..................................................231
9.1 Riduzioneecomponenticonservativedelleforzeapparenti .......231
9.2 Sistemidiriferimentouniformementeruotanti...................237
9.3 Soluzionidegliesercizi .........................................244
AppendiceA.Complementidialgebralineareeanalisi ....................249
A.1 Calcolovettoriale ..............................................249
A.2 Trasformazionilineari..........................................258
A.3 Curve,superfici................................................262
A.4 Equazionidifferenzialiordinarie(cenni) .........................266
A.5 Soluzionidegliesercizi .........................................271
Riferimentibibliografici.................................................275
Note ...............................................................275
Indiceanalitico .........................................................279