introduzione alla fisica del plasma

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INTRODUZIONE ALLA FISICA DEL
PLASMA
Appunti dal corso di Fisica del plasma
Claudio Chiuderi
March 4, 2010
1
1 Introduzione
I plasmi possono a buon titolo essere considerati il quarto stato della materia: infatti essi
posseggonocaratteristicheunicherispettoaglialtristatitradizionali,solido,liquidoegassoso.
Cos`ı come le transizioni solido-liquido e liquido-gas si ottengono portando il sistema in esame
a temperature sempre piu` elevate, anche la transizione gas-plasma si ottiene scaldando il
sistema. A temperature sufficientemente alte, le molecole o gli atomi del gas si scindono
nelle loro componenti primarie, cio`e elettroni e ioni positivi, formando una gas ionizzato.
Nel gas sono quindi presenti cariche elettriche libere di muoversi e di generare densita` di
carica e di corrente, che a loro volta generano campi elettrici e magnetici. Un gas ionizzato
`e un esempio di plasma ed `e anche il tipo di plasma piu` frequente in natura. Si calcola che
oltre il 95 % della materia nell’Universo si trovi nello stato di plasma. Da questo punto di
vista, l’ambiente terrestre rappresenta un’eccezione. La definizione di plasma richiede alcune
precisazioni che saranno esaminate tra poco. Una prima definizione abbastanza generale `e
la seguente:
Si dice plasma un sistema la cui dinamica `e dominata dalle forze elettromagnetiche: il
plasma `e l’insieme delle particelle cariche e dei campi da esse generate.
E’ importante sottolineare quest’ultimo aspetto: anche se talvolta puo` essere conveniente
separare le particelle cariche dai campi, solo il loro insieme rappresenta il plasma nella sua
totalita`. Questa affermazione risulta piu` chiara se la si inquadra in uno schema quantistico.
In meccanica quantistica anche i campi possono essere rappresentati da particelle e cio` per-
mette di descrivere un plasma come in insieme di particelle discrete, che comprende appunto
sia le particelle ”vere” (elettroni, ioni, atomi), sia le particelle che rappresentano il campo
elettromagnetico (fotoni) o le eccitazioni del sistema (plasmoni, fononi...). Lo schema quan-
tistico permette di comprendere meglio la natura delle interazioni tra le varie componenti
del plasma: da questo punto di vista l’interazione onda-onda, cio`e, ad esempio, plasmone-
plasmone, nondifferiscesostanzialmentedallescatteringelettrone-ioneoelettrone-plasmone.
Queste considerazioni contribuiranno a rendere piu` trasparente il concetto di smorzamento
non collisionale, che verr`a discusso in seguito. In questo testo tuttavia faremo esclusivamente
uso di una descrizione classica.
In base alla nostra definizione, anche gli elettroni di conduzione in un metallo formano un
plasma. Infatti gli ioni del reticolo cristallino formano semplicemente uno ”sfondo” immobile
e la dinamica del ”gas” elettronico`e governata per intero dalle interazioni elettromagnetiche.
Inquestocorsotuttaviaconsidereremoquasiesclusivamenteplasmicostituitidagasionizzati.
A questo punto viene naturale chiedersi quale debba essere il grado di ionizzazione di un
gas per poterlo considerare un plasma. Una risposta a questa domanda pu`o venire dal cal-
colo elementare della conducibilit`a elettrica di un gas parzialmente ionizzato. Consideriamo
quindi un plasma composto di elettroni, ioni positivi e atomi neutri. Supponendo che ioni e
atomi siano immobili, l’equazione di moto degli elettroni (carica −e e massa m ) in presenza
e
2
di un campo elettrico costante, E, si scrive:
dv
m = −eE−m ν v
e e c
dt
cio`e
dv e
+ν v = − E.
c
dt m
e
ν rappresenta l’effetto frenante dovuto alle collisioni degli elettroni con le altre particelle.
c
La soluzione stazionaria della precedente equazione `e:
e
v = − E.
m ν
e c
Definendo la densit`a di corrente come J = −en v, e ricordando la relazione che definisce la
e
conducibilita` elettrica, σ, cio`e J = σE, otteniamo :
e2n
e
σ = , (1.1)
m ν
e c
dove n `e la densita` numerica degli elettroni. Resta da valutare ν . Le collisioni che ci
e c
interessano sono quelle tra gli elettroni e gli ioni e quelle tra gli elettroni e gli atomi:
ν = νi +νa.
c c c
D’altra parte,
v¯
ν = = nσ v¯ = αn; α = σ v¯,
c c c
λ
dove v¯ `e la velocita` media degli elettroni (tipicamente la velocit`a termica), λ il cammino
libero medio, σ la sezione d’urto per il processo considerato e n la densit`a numerica dei
c
centri di scattering. Potremo dunque scrivere:
αan
ν = αin +αan = αin (1+ a).
c i a i αi n
i
Introducendo il grado di ionizzazione,χ,
n 1
i
χ = = ,
n +n 1+ na
i a ni
si ottiene:
αa1−χ
ν = αin (1+ ),
c i αi χ
e finalmente, tenendo conto che n = Zn , dove Ze `e la carica degli ioni,
e i
Ze2 1 σ
max
σ = = ,
m αi1+ αa1−χ 1+ αa1−χ
e αi χ αi χ
3
dove σ `e il valore massimo che assume la conducibilita` in corrispondenza alla completa
max
ionizzazione, χ = 1. Per stimare l’effetto del grado di ionizzazione sulla conducibilita` possi-
amo calcolare il valore χ per cui σ = σ /2. Ricaviamo cos`ı:
0 max
αa1−χ
0
= 1.
αi χ
0
Poich`e
αa σ (a)
c
= ,
αi σ (i)
c
e poich`e la sezione d’urto per lo scattering elettrone-atomo neutro `e molto minore di quella
per lo scattering elettrone-ione (sperimentalmente si trova che questo rapporto vale circa
10−2) se ne deduce che `e sufficiente un grado di ionizzazione dell’ordine dell’ 1% per avere
una conducibilita` pari alla met`a di quella di un gas completamente ionizzato. Con un grado
di ionizzazione dell’8% la conducibilita` `e pari a 0.9σ .
max
1.1 L’equazione di Saha
Il grado di ionizzazione dipende dai parametri fisici che caratterizzano lo stato di equilibrio
termodinamico di un plasma. Per determinare χ consideriamo un insieme di particelle di
energia E alla temperatura T. La loro densit`a numerica, n , `e data dalla formula di
m m
Boltzmann:
n = g exp(−E /kT),
m m m
dove g `e il fattore di degenerazione, cio`e il numero di stati che corrisponde all’energia E e
m m
k `e la costante di Boltzmann. Quindi il rapporto R delle densita` degli stati corrispondenti
lm
rispettivamente alle energie E e E `e :
l m
n g
l l
R = = exp[−(E −E )/kT].
lm l m
n g
m m
Se identifichiamo lo stato l come quello di una coppia elettrone-ione e lo stato m come lo
stato fondamentale dell’atomo neutro , avremo
n g
i i
= exp[−I/kT],
n g
0 0
dove I `e l’energia di ionizzazione. L’espressione per i fattori di degenerazione, g, ci `e fornita
dalla meccanica quantistica, che, con buona approssimazione, d`a:
g (cid:18)m kT(cid:19)3/2 1 T3/2
i (cid:39) e (cid:39) 2.4×1015 ,
g 2π(cid:126)2 n n
0 i i
Utilizzando la precedente espressione si ottiene la equazione di Saha
T3/2
n /n (cid:39) 2.4×1015 exp(−I/kT). (1.2)
i 0
n
i
4
Χ
1
0.8
0.6
0.4
0.2
T
7000 8000 9000 10000 11000 12000
Figure 1: χ in funzione di T per n = 1013cm−3
tot
Nel caso dell’idrogeno ricordando che l’energia di ionizzazione `e 13.6eV, si ha
T3/2
n /n (cid:39) 2.4×1015 exp(−1.58×103/T)
i 0
n
i
.
Infine, introducendo il grado di ionizzazione:
n n
i i
χ = =
n +n n
0 i tot
e usando l’equazione di Saha, si ottiene:
1−χ
(cid:39) 4.14×10−16n T−3/2exp(1.58×103/T).
χ2 tot
Nelle formule precedenti ed in tutto il testo i valori numerici si intendono
riferiti al sistema cgs misto, cio`e un sistema in cui tutte le quantit`a elettromagnetiche si
misurano in unit`a del sistema cgs elettromagnetico, tranne la carica elettrica che `e misurata
nel sistema cgs elettrostatico. Questo porta all’apparizione di fattori c nelle formule, ma
questo inconveniente `e compensato dal fatto che nel sistema misto vi sono tre sole grandezze
fondamentali, lunghezze (cm), masse (g) e tempi (s), cio` che semplifica considerevolmente
le verifiche dimensionali. Le temperature vengono misurate in gradi Kelvin (K).
Un grafico del grado di ionizzazione dell’idrogeno in funzione della temperatura per una
densita` n = 1013cm−3 `e riportato in Fig. 1.1. Come si vede, la ionizzazione `e pressoch`e
tot
totale anche per temperature notevolmente inferiori a T (cid:39) I/k (cid:39) 1.58×105K.
5
1.2 La lunghezza di Debye
La presenza di un grado di ionizzazione piu` o meno elevato non `e una condizione suffi-
ciente per considerare il gas un vero e proprio plasma. Bisogna infatti completare la nostra
definizione tenendo presente una caratteristica fondamentale dei plasmi, la condizione di
quasi-neutralit`a. Una carica in un plasma `e, in linea di principio, in grado di interagire
con tutte le altre attraverso le interazioni coulombiane, che sono interazioni a grande raggio
d’azione. Il potenziale di una carica nel vuoto decresce infatti ”lentamente”, cio`e come 1/r.
Tuttavia le cariche sono libere di muoversi e questo fa s`ı che nell’intorno di una carica pos-
itiva vi sia una rarefazione di cariche positive ed un addensamento di cariche negative, per
cui la carica positiva risulta circondata da una regione a carica prevalentemente negativa.
Di conseguenza a una certa distanza la carica risulta schermata e di fatto il potenziale `e
nullo o quasi. Se indichiamo con r il valore della distanza alla quale l’azione di schermo
s
diviene importante, ne consegue che volumi di dimensioni lineari maggiori di r saranno
s
elettricamente neutri. Detta Q(r) la carica contenuta nella sfera di raggio r, la condizione
di quasi-neutralita` puo` essere espressa da Q(r ) (cid:39) 0.
s
Cerchiamo ora di determinare l’ordine di grandezza di r . Supponiamo di introdurre in
s
plasma di idrogeno una carica aggiuntiva e > 0 nel punto r = 0. Questa generera` un campo
0
elettrico dato da:
∇·E = −∇2Φ = 4πq = 4πe(n −n )+4πe δ(r),
i e 0
dove e `e la carica del protone e si `e introdotto il potenziale elettrostatico Φ, legato al campo
elettrico da :
E = −∇Φ
In condizioni di equilibrio a temperatura T la densita` degli elettroni sar`a data dalla
distribuzione di Boltzmann:
n = n exp[−(−eΦ)/kT] (1.3)
e 0
dove n `e la densita` in assenza della carica aggiuntiva. Analogamente, i protoni saranno
0
distribuiti come
n = n exp[−(eΦ/kT)] (1.4)
i 0
L’equazione per Φ risulta quindi:
∇2Φ = 4πn e[exp(eΦ/kT)−exp(−eΦ/kT)] −4πe δ(r)
0 0
= 8πn e sinh(eΦ/kT)−4πe δ(r) (1.5)
0 0
(cid:39) 8πn e(eΦ/kT)−4πe δ(r)
0 0
dove si `e supposto eΦ/kT << 1 , approssimazione sulla cui validita` torneremo tra poco.
Esplicitando la precedente equazione in coordinate polari sferiche:
1 ∂ ∂Φ
(r2 ) = 8πn e(eΦ/kT)−4πe δ(r)
r2∂r ∂r 0 0
(1.6)
Φ
= −4πe δ(r)
λ2 0
6
dove si `e posto
(cid:114)
kT
λ =
8πn e2
0
. La precedente equazione puo` anche essere scritta nella forma:
d2 rΦ
(rΦ) = −4πe rδ(r)
dr2 λ2 0
da cui, poich`e l’ultimo termine `e identicamente nullo:
exp(−r/λ)
Φ = e (1.7)
0
r
dove si`e imposta la condizione che nel vuoto, (n = 0,λ → ∞) il potenziale sia quello usuale.
0
In fisica del plasma si definisce la lunghezza di Debye , λ , come
D
(cid:114) kT √
λ = = 2λ (cid:39) 6.9T1/2n−1/2 (1.8)
D 4πn e2 0
0
.
In Fig. 1.2 `e mostrato il confronto tra l’andamento del potenziale coulombiano (curva
tratteggiata) e del potenziale schermato, Eq. (1.7).
7
Φ
(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)
e0 ΛD(cid:4)0.07
100
80
60
40
20
r
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
Figure 2: Confronto tra il potenziale coulombiano e il potenziale schermato
Q
1
0.8
0.6
0.4
0.2
r
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)
Λ
1 2 3 4 5 D
Figure 3: La carica contenuta all’interno della sfera di raggio r
L’effetto di schermo appare evidente se si calcola la carica contenuta all’interno della sfera
di raggio r,
(cid:90) (cid:90) r (cid:90) r
Q(r) = qdV = 4πqr2dr = (−∇2Φ)r2dr
V 0 0
(cid:90) r Φ (cid:90)
= − ( )r2dr+e δ(r)dV
λ2 0 (1.9)
0 V
e (cid:90) r
0
= − rexp(−r/λ)dr +e
λ2 0
0
= e exp(−r/λ)(1+r/λ)
0
Come si vede dalla Fig. 1.3 la carica contenuta nella sfera di raggio r `e praticamente nulla
per valori di r pari a qualche unita` di λ.
E’ importante sottolineare che l’uso della meccanica statistica, cio`e delle funzioni di dis-
tribuzione di Boltzmann per descrivere la densita` delle particelle in regioni di dimensioni
¯ ¯
lineari dell’ordine della lunghezza di Debye, ha senso solo se d << λ , dove d `e la distanza
D
media tra le particelle. Ricordando che d¯ (cid:39) n−1/3 , la precedente condizione pu`o essere
scritta nella forma:
nλ3 >> 1 (1.10)
D
8
che rappresenta l’espressione formale della condizione di quasi-neutralit`a.
¯ ¯
Se ora calcoliamo il rapporto eΦ/kT per r = d, tenendo conto che d << λ, otteniamo:
e2 exp(−d¯/λ) e2 1 e2 (cid:18)d¯(cid:19)2
(eΦ/kT) = (cid:39) (cid:39) n1/3 (cid:39) << 1
d¯ kT d¯ kT d¯ kT λ
e vediamo che l’approssimazione eΦ/kT << 1 usata precedentemente `e pienamente giustifi-
cata per un plasma.
1.3 Parametri caratterisitici dei plasmi
La lunghezza di Debye introdotta nel paragrafo precedente costituisce un primo esempio
di stima dei parametri caratteristici di un plasma. Possiamo ora cercare di individuarne
alcuni altri. Come velocit`a caratteristica si considera abitualmente la velocit`a termica delle
particelle, definita come:
(cid:112)
v = 3kT/m.
T
Un tempo caratteristico, τ , si ottiene dalla combinazione λ /v . Una frequenza caratteris-
p D T
tica, proporzionale all’inverso di τ , `e la frequenza di plasma `e definita da :
p
(cid:114)
4πe2n
ω = (1.11)
p
m
Nell’equazioneprecedentecompaionosialacaricachelamassadellaparticellaconsiderata
e quindi bisognera` distinguere la frequenza di plasma degli elettroni, ω , da quella dei
pe
protoni, ω e cos`ı via. Nel caso degli elettroni si ha:
pi
ω (cid:39) 5.64×104n1/2.
pe e
La frequenza di plasma, da noi ottenuta da considerazioni puramente dimensionali, ha tut-
tavia un preciso significato fisico. Per vederlo, consideriamo il caso di un plasma in cui, in
condizioni di equilibrio, sia n = n = n = cost.. Supponiamo ora di introdurre una piccola
e i 0
perturbazione nella distribuzione degli elettroni, n = n +n(cid:48) con |n(cid:48)| << n . Supponiamo
e 0 e e 0
inoltre che la distribuzione degli ioni non subisca variazioni, cio`e che gli ioni costituiscano
semplicemente uno sfondo immobile. L’equazione di moto per gli elettroni (in una dimen-
sione) si puo` quindi scrivere:
∂v
m = −eE (1.12)
e
∂t
con il campo elettrico dato dall’equazione:
∂E
∇·E = 4πq → = −4πen(cid:48)
∂x e
9
L’equazione di continuit`a , tenendo conto che n(cid:48) , v e E sono quantita` piccole del primo
e
ordine, si scrive:
∂n(cid:48) ∂v
e +n = 0.
0
∂t ∂x
Derivando la (1.12) rispetto a x e utilizzando le due equazioni successive, si puo` ricavare
un’equazione per v che risulta:
∂2v 4πe2n
= − 0v = −ω2 v.
∂t2 m pe
e
Gli elettroni eseguono quindi un moto armonico con frequenza ω . Questo moto ordi-
pe
nato `e la conseguenza della nascita di un campo elettrico dovuto alla violazione locale della
neutralita` di carica.
Un’altra frequenza importante `e la frequenza di collisione. Una maniera approssimata
di calcolarla `e la seguente. Definiamo collisione (binaria) l’interazione che avviene tra due
particelle quando la loro distanza scende al disotto di una lunghezza caratteritica, b, per
esempio quella in cui l’energia elettrostatica sia pari all’energia cinetica del moto relativo.
Si osservi che questa condizione non `e in contrasto con quella precedentemente utilizzata
che imponeva che l’energia elettrostatica fosse molto minore dell’energia termica quando le
¯
particelle si trovano ad una distanza pari alla distanza media d. Ci`o significa semplicemente
¯
che b << d. Se le particelle in questione hanno cariche Z e e Z e e masse m e m , avremo:
1 2 1 2
Z Z e2 3
1 2
(cid:39) kT,
b 2
La sezione d’urto per collisioni sara` quindi:
4πZ2Z2e4
σ = πb2 = 1 2 ,
c (3kT)2
e la frequenza di collisione:
4πZ2Z2e4n
ν = nσ v = 1 2 . (1.13)
c c T m1/2(3kT)3/2
Le precedenti formule approssimate hanno la corretta dipendenza dai parametri delle parti-
celle che collidono: una trattazione esatta deve per`o tener conto che in realta` in un plasma le
collisioni non vanno pensate come un singolo evento che coinvolge due sole particelle, poich`e,
all’interno della sfera di Debye, ogni particella interagisce con tutte le altre. Le modifiche
alla precedente espressione consistono nell’introduzione di fattori numerici e, soprattutto, in
quella di un termine moltiplicativo, il cosiddetto logaritmo coulombiano, lnΛ. La formula
corretta per la frequenze di collisione per una coppia elettrone-elettrone `e:
4πe4n
e
ν = 1.43 lnΛ
ee m1/2(3kT)3/2 ee (1.14)
e
(cid:39) 3.75n T−3/2lnΛ .
e ee
10