Introduzione alla Analisi Complessa

205 Pages·2016·2.13 MB·Italian

Universita` del Salento
Dipartimento di Matematica e Fisica
“Ennio de Giorgi”
Michele Carriero
Simone Cito
Introduzione alla
Analisi Complessa
Quaderno 2/2015
Universit`a del Salento - Coordinamento SIBA
Quaderni di Matematica
Una pubblicazione a cura del
Dipartimento di Matematica e Fisica“Ennio de Giorgi”
Universita` del Salento
Comitato di Redazione
Angela Albanese
Francesco Catino
Domenico Perrone
I Quaderni del DIipQarutiamdeenrtoniddieMl DatiepmarattiimcaenetoFidsiicMa a“tEenmnaioticDaeeGFiiosrigcai”“dEenl-nio De Giorgi” del-
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e didattica del Dipeardtiidmaetntitcoa. dNeleiDQipuaardtiemrneintsoo.noNpeuibQbuliacadteirnairtsiocnoloi pduibcbalriactatteirearticoli di carattere
matematico che siamnoa:tematico che siano:
(1) lavori di rassegn(1a)elamvoonriogdriarfiaessseugnaargeommeonntoigdraifiriecesrucaa;rgomenti di ricerca;
(2) testi di seminar(i2)diteisnttierdeissseemgeinnaerrialdei, itnetneurteissdeagdenoceeranltei,oternicuetricdataordiodceenlti o ricercatori del
Dipartimento o esteDrnipi;artimento o esterni;
(3) lavori di specific(3o)inlatevroersisdeidsipdeactitfiiccoo.interesse didattico.
La pubblicazione deLialapvuobrbil`eicsaozgiognetetadeailll’aavpoprrio`evaszoigogneettdaelalCl’aopmpirtoavtoazdioinReeddealziCoonme,itato di Redazione,
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base delle competenbzaesespdeeclilfiecchoem. petenze specifiche.
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Prefazione
Questi appunti sono una versione ampliata delle lezioni tenute da Miche-
le Carriero nel Corso di Analisi Complessa per gli Studenti della Laurea
Magistrale in Matematica dell’Universit(cid:224) del Salento.
Il secondo autore Ł uno dei partecipanti al Corso nell’a.a. 2011-2012; a
lui va riconosciuto l’impegno per la cura di questa versione, a partire dagli
appunti delle lezioni tenute in diversi anni.
Lecce, maggio 2015
Michele Carriero
Dipartimento di Matematica e Fisica ‘‘Ennio De Giorgi’’
[email protected]
1
1
Simone Cito
Dipartimento di Matematica e Fisica ‘‘Ennio De Giorgi’’
[email protected]
1
1
1
1
Gli autori ringraziano il Referee.

Indice
1 Il campo (C,+,·) dei numeri complessi 11
1.1 Numeri complessi: richiami e complementi . . . . . . . . . . . 11
C
1.2 Radici algebriche, logaritmi naturali in e potenza ad espo-
nente complesso.
Polidromia e super(cid:28)cie di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Funzioni olomorfe 27
2.1 La derivazione in senso complesso.
Teorema di Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Regole di derivazione. Derivata della funzione composta. De-
rivata della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Integrale curvilineo delle funzioni complesse . . . . . . . . . . 38
2.4 Primitive di una funzione complessa. Forme di(cid:27)erenziali . . . 39
2.5 Logaritmo olomorfo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6 Funzioni armoniche e armoniche coniugate . . . . . . . . . . . 41
2.7 Funzioni olomorfe e trasformazioni conformi . . . . . . . . . . 43
2.8 Teorema dell’integrale nullo e formula integrale di Cauchy . . 46
2.9 Teorema di Morera. Teorema della media integrale di Gauss.
Principio del massimo (minimo) modulo . . . . . . . . . . . . 49
3 Olomor(cid:28)a e analiticit(cid:224) 53
3.1 Olomor(cid:28)a di integrali curvilinei rispetto a parametri comples-
si. Formula integrale di Cauchy per le derivate di una funzione
olomorfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
C
3.2 Serie di potenze in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Teorema di Taylor. Teorema di convergenza di Weierstrass.
Olomor(cid:28)adellasomma diunaseriedipotenze neldiscoaperto
di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6 Introduzione alla Analisi Complessa
3.4 Prodotto e divisione di serie di potenze . . . . . . . . . . . . . 63
4 Funzioni intere e teoremi di Liouville. Zeri di una funzione
olomorfa. Prolungamento olomorfo 67
4.1 Primo e secondo teorema di Liouville . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Teorema fondamentale dell’Algebra . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Zeri di una funzione olomorfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4 Prolungamento olomorfo: unicit(cid:224) . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5 Esistenza di almeno un punto di non prolungabilit(cid:224) olomorfa
sulla frontiera del disco aperto di convergenza di un serie di
potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.6 Prolungamento olomorfo attraverso una curva. Principio di
ri(cid:29)essione di Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.7 Trasformazione conforme del disco aperto unitario su sØ stesso 76
5 Serie di Laurent 81
5.1 Sviluppo in una corona circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Sviluppo in serie di Laurent in un punto singolare isolato al
(cid:28)nito. Teorema di Riemann sulle singolarit(cid:224) isolate eliminabili 84
5.3 Caratterizzazione delle singolarit(cid:224) isolate . . . . . . . . . . . . 87
5.4 Comportamento di una funzione olomorfa all’in(cid:28)nito (com-
plesso) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.5 Comportamento in un intorno di una singolarit(cid:224) essenziale
isolata: Teorema di Casorati -Weierstrass e Teorema di Picard 91
6 Teoria dei residui 95
6.1 Residuo integrale di una funzione in un suo punto singolare
isolato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2 Calcolo dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Primo e secondo Teorema dei residui . . . . . . . . . . . . . . 103
6.4 Indice di avvolgimento di una curva ed estensione del primo
Teorema dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7 Applicazione del calcolo dei residui 107
7.1 Calcolo di integrali curvilinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2 Calcolo di integrali de(cid:28)niti tra 0 e 2π di funzioni razionali di
cosϑ e sinϑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
INDICE 7
7.3 Calcolo di integrali impropri di funzioni
reali razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.4 Teoremi di Jordan del grande e del piccolo cerchio. Lemma di
Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.5 Calcolo di integrali impropri di funzioni
realirazionalimoltiplicateperunafunzioneesponenziale. For-
mula di Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.6 Integrandi che presentano singolarit(cid:224) sulla retta reale . . . . . 129
7.7 Integrali di funzioni polidrome . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.8 Integrali di Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.9 Somma di alcune serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.10 Indicatore logaritmico. Principio dell’argomento. Teorema di
RouchØ. Un’altra dimostrazione del Teorema fondamentale
dell’Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8 Integrali Euleriani di I e II specie.
Trasformata di Laplace 161
8.1 Integrali Euleriani di I e II specie (funzioni Beta e Gamma):
de(cid:28)nizione e propriet(cid:224) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.2 Trasformata di Laplace: de(cid:28)nizione e propriet(cid:224) . . . . . . . . . 168
8.3 Cenni sull’inversione della trasformata di Laplace . . . . . . . 184
8.4 Alcune applicazioni: il metodo della Trasformata di Lapla-
ce per le equazioni di(cid:27)erenziali e per le equazioni integrali di
Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9 Esercizi proposti 201
1
Elenco delle tabelle
8.1 Trasformate di Laplace di alcune funzioni elementari . . . . . 178
8.2 Regole di trasformazione algebriche . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.3 Regole di trasformazione analitiche . . . . . . . . . . . . . . . 184