Introduzione ai metodi inversi: Con applicazioni alla geofisica e al telerilevamento

295 Pages·2012·2.29 MB·Italian

by  Rodolfo Guzzi (auth.)

Introduzioneaimetodiinversi
Rodolfo Guzzi
Introduzione ai metodi inversi
Con applicazioni alla geofisica
e al telerilevamento
Springer
RodolfoGuzzi
OpticalSocietyofAmerica
UNITEXT-CollanadiFisicaeAstronomia
ISSNversionecartacea:2038-5730 ISSNelettronico:2038-5765
ISBN978-88-470-2494-6 ISBN978-88-470-2495-3 (cid:11)(cid:72)(cid:37)(cid:82)(cid:82)(cid:78)(cid:12)
DOI10.1007/978-88-470-2495-3
SpringerMilanDordrechtHeidelbergLondonNewYork
(cid:2)c Springer-VerlagItalia2012
Quest’operae`protettadallaleggesuldirittod’autoreelasuariproduzioneancheparzialee`ammes-
saesclusivamenteneilimitidellastessa.Tuttiidiritti,inparticolareidirittiditraduzione,ristampa,
riutilizzodiillustrazioni,recitazione,trasmissioneradiotelevisiva,riproduzionesumicrofilmoaltri
supporti,inclusioneindatabaseosoftware,adattamentoelettronico,oconaltrimezzioggicono-
sciutiosviluppatiinfuturo,rimangonoriservati.Sonoesclusibrevistralciutilizzatiafinididattici
ematerialefornitoadusoesclusivodell’acquirentedell’operaperutilizzazionesucomputer.Iper-
messidiriproduzionedevonoessereautorizzatidaSpringerepossonoessererichiestiattraverso
RightsLink(CopyrightClearanceCenter).Laviolazionedellenormecomportalesanzionipreviste
dallalegge.
Lefotocopieperusopersonalepossonoessereeffettuateneilimitidel15%diciascunvolumedie-
tropagamentoallaSIAEdelcompensoprevistodallalegge,mentrequelleperfinalitdicarattere
professionale,economicoocommercialepossonoessereeffettuateaseguitodispecificaautoriz-
zazionerilasciatadaCLEARedi,CentroLicenzeeAutorizzazioniperleRiproduzioniEditoriali,
[email protected].
L’utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi regi-
stratiecc.,anchesenonspecificatamenteidentificati,nonimplicachetalidenominazioniomarchi
nonsianoprotettidallerelativeleggieregolamenti.Leinformazionicontenutenellibrosonoda
ritenersiveritiereedesattealmomentodellapubblicazione;tuttavia,gliautori,icuratoriel’editore
declinanoogniresponsabilitlegaleperqualsiasiinvolontarioerroreodomissione.L’editorenonpu
quindifornirealcunagaranziacircaicontenutidell’opera.
Immaginedicopertina:AnnaRebecchi,Bologna
Layoutcopertina:SimonaColombo,Milano
Impaginazione:CompoMatS.r.l.,Configni(RI)
Stampa:GECAIndustrieGrafiche,CesanoBoscone(MI)
StampatoinItalia
Springer-VerlagItaliaS.r.l.,ViaDecembrio28,I-20137Milano
SpringerfapartediSpringerScience+BusinessMedia(www.springer.com)
Prefazione
None` faciledefinirechecosae` unproblemainversoanchese,ognigiorno,faccia-
mo delle operazioni mentali che sono dei metodi inversi: riconoscere i luoghi che
attraversiamo quando andiamo al lavoro o passeggiamo, riconoscere una persona
conosciutatantianniprima.Eppurelanostraculturanonhaancorasfruttatoappie-
no queste nostre capacita`, anzi ci insegna la realta` utilizzando i metodi diretti. Ad
esempioaibambinivieneinsegnatoafaredicontoutilizzandolequattrooperazio-
ni.Guardiamoadesempiolamoltiplicazione:essae` basatasulfattochepresidue
fattoriemoltiplicatitradilorosiottieneilloroprodotto.Ilcorrispondenteproblema
inversoe` quelloditrovareunpaiodifattorichedianoquelnumero.Noisappiamo
che questo problema puo` anche non avere una unica soluzione. Infatti nel cercare
diimporreun’unicita` dellasoluzione,utiliziamoinumeriprimiaprendounmondo
matematicocomplesso.
Probabilmenteilpiu` anticoproblemainversoful’interpolazionelinearedescritto
daErodotonellasuastoriasull’Egitto.Ilproblemadiretto,quellodicalcolareuna
funzionelineare,fornisceunrisultatoimmediatoquandosicongiungonoduepunti
conunaretta;ilproblemainverso,comequellodell’interpolazionelinearetradueo
piu` punti,invece,puo` avereunasoluzione,nessunasoluzioneoinfinitesoluzioniin
relazionealnumeroeallanaturadeipunti.
Ilproblemadirettoe`quellodicalcolarel’outputdatodall’inputconvolutoconla
descrizionematematicadelsistema.Ilgoaldelproblemainversoe` quellodideter-
minarel’inputoilsistemachedannoluogoall’outputmisurato.Ilproblemainverso
nascedallanecessita`dideterminarelastrutturainternadiunsistemafisicoattraver-
soilcomportamentodelsistemamisuratooppureneldeterminarel’inputincognito
cheda` luogoall’outputdiuncertosegnale.
Poiche´ esiste una stretta dipendenza tra il problema diretto e quello inverso, e`
buona norma impratichirsi con il problema diretto prima di affrontare il problema
inverso.Questoapprocciorichiedeche,soprattuttoquandosihaachefareconmo-
dellifisico-matematici,sisviluppiunastrategiasulmodellodiretto,utilizzandotutti
glistrumentidellaconoscenza.Adesempiocercarelesoluzionidituttelepossibi-
licombinazionichepossonoessereottenuteutilizzandovaridatidiinput;fareuna
presentazionegraficadeirisultatichecipermettono,daunaopiu`curve,diricavarei
vi Prefazione
limitidiutilizzabilita`delmodelloequindicidannoun’ideadellepossibilisoluzioni
nell’intornochevogliamoanalizzare.
Sullabasediquesteconsiderazionisipuo` affermarechepartendodalproblema
direttosiapronodueproblemiinversi.
UnochedefiniremoCausaleel’altrochedefiniremoIdentificativo.Datal’equa-
zione
y=Kx, (0.1)
ilproblemadirettoconsistera` neltrovareunarelazionefunzionaleKtral’inputxe
l’outputyo,inaltritermini,quelloditrovareKx,ilvalorediunoperatoreneipunti
xdelsuodominio.Ilprimoproblema,quelloCausalepartedall’assunzionechese
conosciamol’outputydiunmodelloKpotremodescrivereilproblemainversocer-
candoilvaloredixchehacausatoquell’output.Seilmodelloe` invertibileavremo
chesipotra` ottenerexattraversoK−1,masenonloe` siapreunaseriedisoluzioni
chesonodescritteinquestolibro,utilizzandodifferentimodalita` matematiche.
L’altroproblemainversoe`quellocheabbiamochiamatoIdentificativo,chesorge
nel momento in cui la causa e l’effetto sono noti e si vuole dare una identita` al
modello.
SeKe`unoperatore,alloradatouninputnelsuodominio,sihaunoutputchefas`ı
cheilproblemainversoabbiaun’unicasoluzione.Tuttavianonc’e`garanziaassoluta
cheilprocessocausaleequelloidentificativoabbianoun’unicasoluzione.Inoltrese
l’operatore K e` continuo allora la soluzione e` stabile rispetto ai piccoli cambi che
si possono fare all’input, ma cio` puo` non essere vero nel processo inverso, perche´
l’operatoreinversopuo` esserediscontinuo.
I problemi inversi hanno avuto una notevole influenza sulla scienza, anche se
l’approccioconvenzionalee` quellodiprivilegiareilproblemadiretto.Tuttaviacon
l’avvento dei calcolatori i problemi inversi hanno beneficiato di parecchi vantaggi
tra cui quello di meglio controllare le instabilita` computazionali e quello di poter
meglio affrontare problemi che richiedono un grande sforzo computazionale. No-
nostantequestolepercentualidisuccessoperlasoluzionedeiproblemiinversisono
ancora basse e quindi c’e` la necessita` di un nuovo e piu` approfondito lavoro che
questolibrotratteggiafornendolostatodell’artedellascienzadeiproblemiinversi.
La struttura del libro e` stata pensata per fornire un’ampia trattazione, possibil-
menteomogenea,dichecosasonoiproblemiinversiecomesonoepossonoessere
impiegatinelTelerilevamentoeinGeofisicadellaTerrasolidaefluida.
ICapitoli2e3trattanodeiModelliDiretti,valeadirediqueimodellichepermet-
tonodiimitarelarealta`.Imodellidirettisonoessenzialiperinterpretarelemisure,
maanchepercrearegliscenarisucuipoicostruireimodelliinversi.
Laconoscenzadellafenomenologiadiunprocessonascedallanostraesperien-
zaedallanostracapacita` dimodellarlo.Questaconoscenzasiottienefacendouna
sperimentazionecontinuasuimodellieconfrontandoliconlemisurecomevedremo
nelcapitolisuccessiviedinparticolarenelcapitolodedicatoall’Assimilazione.
I modelli su cui ci soffermeremo sono legati alla Geofisica: quello relativo ai
processiradiativiall’atmosferaequellorelativoaiprocessidinamicidellaTerraso-
lida.Inentrambiicasinonc’e`nessunaintenzionedisostituirciailibrichetrattanoi
Prefazione vii
dueargomentiinmodopiu` esaurienteedapprofonditodiquestocapitolo.Lanostra
intenzione e` invece quella di fornire uno strumento di conoscenza che permetta di
utilizzare i modelli fisici che trattano gli argomenti corrispondenti e nel contempo
di fornire quegli elementi di base per comprendere quei modelli che si trovano in
reteechemoltevoltenonsonoadeguatamentechiarisiadaunpuntodivistafisico
sia matematico. Inoltre ci siamo limitati a trattare questi due campi di ricerca an-
cheperche´ sonostrettamentecollegatiaiproblemiinversidefinitinelcapitolodelle
Applicazioni.
Il Capitolo 4 tratta dell’equazione integrale di Freedholm di primo tipo e delle
tecniche di espansione e decomposizione ai valori singolari; tratta dei processi di
instabilita` edeimetodipertrovarelasoluzioneutilizzandolacurvaL.
IlCapitolo5e`un’introduzionealletecnicheBayesianeealleRegolediProbabi-
lita`erappresentaun’introduzionealCapitolo6cheaffrontailproblemadeiMetodi
OttimaliperModelliLinearieNonLineari.
Il Capitolo 7 tratta delle catene di Markov Monte Carlo e degli algoritmi svi-
luppati per affrontare vari e differenti problemi inversi. Il Capitolo 8 tratta del si-
gnificato e dell’applicazione dei filtri di Kalman. Il Capitolo 9 tratta dei metodi di
AssimilazionedeidatiincampoGeofisico,perlopiu` nelcampodellaMeteorologia
edellaOceanografia.
IlCapitolo10trattadelmetododellaDiffusioneInversa.Questometodohaavuto
molteapplicazioniincamponucleareeperlostudiodeisolitoni,solorecentemente
stanno nascendo delle applicazioni nella geofisica della Terra solida e fluida e per
questointeressantiinGeofisica.
IlCapitolo11introducealcuneApplicazioniincampoatmosfericoedellaTerra
solida che hanno origine nei capitoli dei Modelli Diretti. Il Capitolo 12 introduce
leAnalisialleComponentiPrincipali,lecosiddetteFunzioniEmpiricheOrtogonali
(EOF).IlCapitolo13introduceimetodidiKrigingediAnalisiOggettivautiliper
laricostruzionedelcampodeidati.
Infine,inAppendice(dallaAallaF)sonoraccolteespiegateletecnichematema-
ticheutilizzateneivaricapitolidellibro.EssespazianodaivarimetodidiMinimiz-
zazione,utiliperconfrontareidaticonimodelli,alleCaratteristichedelleMatrici,
agli Integrali di Gauss, alle Variabili Casuali, al Calcolo Variazionale, agli Spazi
Funzionaliedall’integrazionediMonteCarlo.
Il libro si rivolge ad un pubblico che ha conoscenze di matematica solitamente
impartite in Analisi I e Analisi II dei corsi di laurea ad indirizzo scientifico, con
aggiuntadelcalcolomatricialeedellaprobabilita` statistica(adesempio[104]).
RingrazioicolleghiGiulianoPanzaeStefanoGresta,perlarevisionefattasulla
partediGeofisicadellaTerrasolida,eWalterDinicolantonio,perlapartediappli-
cazioni di Telerilevamento atmosferico, e per gli utili consigli che mi hanno dato
durantelastesuradellibro.Ringrazioancheimolticolleghi,italianiestranieri,con
cuihoavutounoscambiodiopinionimoltoutiliapianificarelastrutturadellibroe
adefiniremegliogliargomentideisingolicapitoli.Datalamoledellepubblicazio-
ni nei settori che questo libro tratta, ho selezionato quelle piu` importanti in modo
da permettere di approfondire i singoli argomenti. Inoltre ho selezionato vari siti
viii Prefazione
suwebcheriportanodocumentazioneesoftwarededicatiagliargomentitrattatinel
libro,riportandone,allafinedeirispettivicapitoli,gliindirizzidirete.
Dueparolesullacopertinadisegnatadall’artistaAnnaRebecchi,acuivailmio
doveroso ringraziamento. Il disegno nasce dalla necessita` di far capire, in modo
visivoeintuitivo,cosasianoiproblemiinversi.Visivamenteparlandosonolaproie-
zionediunoggettoinunaltrospazio,matematicamentesidirebbeilmappaggiodi
quell’oggetto.L’artistahaquindiinterpretatoquestooggettomisterioso,quelpape-
rogiganteinvolochesiportailfardellodiuncastello(ledifficolta` dellascienza),
mappandolosuvaripiani.Ilrisultatovadiparipassoconl’intuizionedifondolega-
toaiproblemiinversi,fornendounsensodimisteroallamateriadellibrocongrande
gustoartistico;indefinitiva,amioavviso,uneccellenteconnubiotraarteescienza.
Roma,gennaio2012 RodolfoGuzzi
Indice
1 Introduzione................................................... 1
2 Modellidiretti:ilmodelloradiativodell’atmosfera................. 7
2.1 L’equazioneditrasferimentoradiativoperladiffusionedellaluce
inunaatmosferaplanetaria................................... 9
2.2 Diffusionesempliceemultipla ............................... 11
2.3 SoluzioneapprossimatadellaIntensita` diradiazione ............. 13
2.3.1 Atmosferaomogenea................................. 24
2.3.2 Atmosferanonomogenea ............................. 25
2.4 Trasferimento radiativo per la componente ad onda lunga
emergentedaunaatmosferaplanetaria......................... 26
2.5 AccoppiamentodellasoluzionedellaRTEconigas.............. 29
2.5.1 Metodiadistribuzionekedistribuzionekcorrelata........ 29
2.6 Calcolodelladiffusionedovutoalleparticelle................... 31
2.6.1 CalcolodeipolinomidiLegendredaicoefficientidiMie ... 35
2.7 Modelliradiativiinrete ..................................... 38
3 Modellidiretti:lateoriadelraggiosismico........................ 41
3.1 L’equazioneelastodinamica.................................. 41
3.2 Soluzionedelleequazioniiconali ............................. 47
3.3 Soluzionedell’equazionedeltrasporto......................... 49
3.4 Approssimazionedeiraggiparassiali .......................... 51
3.5 Modellidellateoriadelraggiosismicoinrete................... 54
4 Regolarizzazionediproblemimalposti ........................... 55
4.1 L’equazioneintegralediFreedholm ........................... 57
4.2 Espansioneaivalorisingolari(SVE) .......................... 58
4.3 Discretizzareilproblemainverso ............................. 60
4.4 Decomposizioneaivalorisingolari(SVD) ..................... 60
4.5 Cercareunasoluzione....................................... 64
4.5.1 Soluzioneaiminimiquadrati .......................... 64
x Indice
4.5.2 Matricedivarianzacovarianza ......................... 66
4.6 Imetodidiregolarizzazione.................................. 67
4.6.1 LadecomposizioneaivalorisingolaritroncataTSVD...... 67
4.6.2 LaregolarizzazionediTikhonov-Phillips ................ 68
4.6.3 IlcriteriodellacurvaL ............................... 70
4.7 Laregolarizzazioneinrete................................... 72
5 Teoriadell’inversionestatistica .................................. 73
5.1 MetodiBayesiani........................................... 73
5.1.1 Ipotesiesaustiveedesclusive.......................... 76
5.2 Assegnarelaprobabilita` ..................................... 78
5.2.1 Casodiunparametro................................. 78
5.2.2 Casoincuisiacoinvoltopiu` diunparametro ............. 80
5.2.3 Generalizzazioneadunamultivariata.................... 83
5.2.4 Rumoregaussianoemedie ............................ 85
5.2.5 Teoriadellastima.................................... 86
5.2.6 Assegnarelaprobabilita` .............................. 90
5.2.7 IlrasoiodiOckhamelaselezionedelmodello............ 93
6 Metodiottimaliperproblemiinversilinearienonlineari ........... 99
6.1 Formulazionedelproblemainverso ........................... 99
6.1.1 Inversioneottimalelineare ............................100
6.1.2 IlmetododiBackuseGilbert ..........................106
6.1.3 Inversioneottimalenonlineare.........................108
6.1.4 Soluzionealsecondoordine ...........................110
6.1.5 Metodiiterativinumerici .............................113
6.2 StatisticaBayesianainrete...................................115
7 MarkovChainMonteCarlo.....................................117
7.1 LecatenediMarkov ........................................118
7.1.1 CatenediMarkovdiscrete(DTMC).....................119
7.1.2 CatenediMarkovcontinueneltempo(CTMC) ...........120
7.1.3 Matricediprobabilita` ditransizione.....................121
7.1.4 Glialgoritmiperlasoluzionediunintegraleconilmetodo
MonteCarlo ........................................121
7.1.5 L’algoritmodiMetropolis-Hastings....................123
7.1.6 Simulazioneconilmetododell’annealing................125
7.1.7 L’algoritmodiGibbs .................................127
7.2 MarkovChainMonteCarloinrete ............................129
8 IfiltridiKalman...............................................131
8.1 Sistemilinearielorodiscretizzazione..........................134
8.2 CostruendoilfiltrodiKalman ................................136
8.3 AltrifiltridiKalman ........................................140
8.3.1 IlfiltrodiKalmanestesoEKF .........................140
8.3.2 SigmaPointKalmanFilter(SPKF) .....................142
Indice xi
8.3.3 UnscentedKalmanFilter(UKF)........................150
8.3.4 EnsembleKalmanFilter(EnKF) .......................153
8.4 IfiltridiKalmaninrete .....................................156
9 Assimilazionedeidati ..........................................159
9.1 Cosasiintendeperassimilazione .............................159
9.2 Assimilazionecomeproblemainverso .........................160
9.3 L’approccioprobabilistico ...................................163
9.4 Metodistazionari...........................................167
9.4.1 Metododidiscesadelgradiente ........................167
9.4.2 Interpolazioneottimale ...............................167
9.4.3 Approcciovariazionale:3-DVAR ......................168
9.5 Metodievolutivi ...........................................168
9.5.1 Metodo4D-Var .....................................169
9.5.2 FiltrodiKalman .....................................172
9.6 Stimadellaqualita` dell’analisi................................173
9.7 Assimilazioneinrete........................................174
10 Ilmetododelladiffusioneinversa ................................175
10.1 Evoluzionedegliautovalorieautofunzioni .....................176
10.2 Latrasformatadelladiffusioneinversa.........................182
10.3 Ladiffusioneinversainrete..................................186
11 Applicazioni ...................................................187
11.1 Contenutoinformativodiunrisultato ..........................187
11.2 Gradidiliberta`.............................................188
11.3 Applicazioniincampoatmosferico............................192
11.3.1 Applicazioniperlaselezionedellerigheutiliamisurarei
gasnellebandediassorbimento ........................192
11.3.2 Analisideicanaliutiliadottenereilcontributoatmosferico
degliaerosolecalcolodelladistribuzionedimensionale ....194
11.3.3 Definizionedelmodellodiradianzadell’atmosfera ........196
11.3.4 Preparazionediunmodelloveloceperilcalcolodella
radianza ...........................................199
11.3.5 Il problema inverso per ottenere i parametri fisici
dell’atmosfera.......................................202
11.3.6 MisuradeigasintracciamediantelatecnicaDOAS .......203
11.3.7 Misuradellapressioneallacimadiunanubemediantela
bandaAdell’Ossigeno................................210
11.3.8 Studio del profilo di aerosol utilizzando la banda A
dell’Ossigeno .......................................213
11.4 ApplicazionidiproblemiinversiingeofisicadellaTerrasolida:
Tomografiasismica .........................................217