Introduzione ai frattali in fisica

324 Pages·2011·3.84 MB·Italian

by  Sergio Peppino Ratti (auth.)

Amiamogliechemisopportadaoltre50anni,
aimieifiglichesonoilmiopresente,
aimieinipotichesonoilmiofuturo

Sergio Peppino Ratti
Introduzione
ai frattali in fisica
~ Springer
SergioPeppinoRatti
DipartimentodiFisicaNucleareeTeorica
Universita` diPavia
UNITEXT-CollanadiFisicaeAstronomia
ISSNversionecartacea:2038-5730 ISSNelettronico:2038-5765
ISBN978-88-470-1961-4 e-ISBN978-88-470-1962-1
DOI10.1007/978-88-470-1962-1
SpringerMilanDordrechtHeidelbergLondonNewYork
(cid:2)c Springer-VerlagItalia2011
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Prefazione
QuestabellamonografiasuifrattalidiSergioRattiesceapochimesidallascompar-
sadiBenoitMandelbrot,coluichehaintrodottoquestoconcettonellamatematica
masoprattuttohaargomentatoinmodomoltoconvincentechelanaturacifornisce
moltissimi esempi di strutture complesse di questo tipo. Nel 1993 ha vinto il Wolf
Prizeperlafisica“peravertrasformatolanostravisionedellanatura”.Questamo-
tivazionechiariscecheilcontributodiMandelbrotvamoltoaldiladellageometria
edellamatematicaeriguarda,inqualchemodo,tuttelescienze.
Lageometriafrattalepermettedicaratterizzarelestrutturechegodonodellapro-
prieta` di invarianza di scala, questo significa che le stesse proprieta` si ripetono a
varie scale. Il termine “frattale” (dal latino fractus = rotto o frammentato) e` sta-
tointrodottosolonel1975daMandelbrot(Mandelbrot,1983).Inpochianniquesto
concettoe`divenutopero`moltopopolareindiversedisciplinecomematematica,fisi-
ca,biologiaedeconomia.Questanuovageometria,purnonusualerispettoaicanoni
matematici,rappresentainveceunconcettonaturaleeinevitabileperladescrizione
diungrannumerodifenomeni,sianaturalisiasociali.
Daunpuntodivistastrettamentematematicoiconcettididimensionenonintera
ediautosomiglianzasononotidamoltotempo.Findal1919essifuronodiscussida
F.Hausorffinunaformasimileaquellaattualeesipossonotrovareancheneilavori
di H. Poincare´ del 1885. Anche Weiestrass, von Koch, Fatou, Julia e altri autori
studiaronooggettimatematiciconquesteproprieta`.
Perlungotempopero` questiconcettichedescrivonolestrutturefortementeirre-
golarisonostatirelegatiaimarginidellamatematicaequasicompletamenteignorati
nellealtrediscipline.Ilmotivoe` chelamaggiorpartedeimetodimatematiciegeo-
metriciusualisonobasatisulconcettodiregolarita` oanaliticita`.L’autosomiglianza
oinvarianzadiscalaimplicainfattiunagrandeirregolarita` chenone` possibilede-
scrivere con i metodi matematici tradizionali. e` facile constatare comunque che in
natura l’irregolarita` e` molto comune come dimostrano chiaramente le strutture di
piante,montagne,nuvolefulminietc.
E` importantenotarecheilconcettodiinvarianzadiscalanone`nuovonellafisica
esie`sviluppatoinmodoparallelomaindipendentedallageometriafrattale.Solopiu`
tardiiduecampisisonoinqualchemodounificati.Essoerabennotonellostudio
vi Prefazione
delleproprieta`critichedelletransizionidifaseede`statodicrucialeimportanzanella
formulazione della teoria del gruppo di rinormalizzazione. Nel caso dei fenomeni
critici pero` l’autosimilarita` era considerata una peculiarita` della competizione tra
ordineedisordineallatemperaturacriticapersistemiinequilibriotermodinamico.
Lestrutturefrattalidimostranoinvecechel’invarianzadiscalae` unaproprieta` ben
piu`generaleede`presenteinmoltifenomenidinonequilibrioincuiquestaproprieta`
risulta da un processo di auto-organizzazione. Questa visione permette di capire
perche´ lestrutturecontalicaratteristichesonoinrealta` moltocomunienondovute
asituazionipeculiaricomeilpuntocriticodell’equilibriotermodinamico.
Unapeculiarita` deifrattalie` ilruolochehaavutoilcalcolatore.Nelcasodipro-
blemi di tipo tradizionale il suo uso ha permesso di ottenere soluzioni accurate di
problemicomplicati.Nelcasodellestrutturefrattalie,ingenerecomplesse,ilsuo
ruolo e` stato molto piu` fondamentale. I modelli matematici in questo campo sono
di carattere iterativo e quindi specialmente adatti a essere programmati. Si e` cos`ı
scoperto che alcuni sistemi iterativi all’apparenza molto semplici possono genera-
restrutturedigrandecomplessita`.Questesimulazionialcalcolatorerappresentano
pertanto una sorta di esperimenti numerici per l’esplorazione e lo studio di queste
strutture.Intalsensolageometriafrattalehareintrodottoelementiesteticinelcam-
poscientificocheeranostatiessenzialmenteeliminatidall’avventodelleequazioni
differenziali.
Rendersi conto che certe strutture in natura hanno proprieta` frattali non spiega
perche´ questo accada, ma e` fondamentale per formulare le domande appropriate.
Cos`ıdopol’introduzionedellageometriafrattalesie` sviluppataunagrandeattivita`
per definire dei modelli fisici per sistemi che mostrano proprieta` frattali e di auto-
organizzazione.Ilfattochemoltifisiciavesserolavoratosuifenomenicriticie`stato
fondamentaleperlosviluppodiquestimodellieperilgrandeimpattochelageome-
triafrattalehaavutonellafisica.Imetodimatematicideifenomenicritici,comead
esempioilgruppodirinormalizzazione,risultaronopero` inadeguatiaquestonuovo
campopervarimotivi.Iprincipalisonocheimodellidicrescitafrattalesonobasati
suunadinamicairreversibileperlaqualenone` possibileutilizzarel’ipotesiergodi-
ca.Inoltreilfattochesonoilprodottodiunprocessodiauto-organizzazionecritica
enoncorrispondonoadalcunequilibriotermodinamicohapostoproblemiconcet-
tualimoltodifficilieancoraingranparteaperti.Questimodellisonobasatisuuna
probabilita` dicrescitadefinitadallesoluzionidell’equazionediLaplaceepertanto
hannovalidita` moltogeneraleancheperfenomeniapparentementediversi.
Unaspettomoltopeculiaredell’attivita` scientificadiMandelbrote` lamancanza
diunacertasistematicita`,almenonelsensochesiusadareaquestotermine.Man-
delbrot infatti si e` sempre considerato un rivoluzionario e non ortodosso rispetto
allaculturascientificadominante.Forseancheperquestohaavutomoltissimiam-
miratorieseguacimanonhacreatounascuolascientificaconallievidiretti.Questa
situazionesie` inqualchemodoriflessaanchenellaletteraturadelcampoeneivari
librichesonoapparsisuifrattali.
Unodeigrandimeritidiquestovolumee` propriodicolmarequestalacunacon
unamonografiasistematicacheforniscedeglistrumentioperativimoltoutiliperuno
studentechesiaccingaaintraprendereun’attivita`scientificanelcampo.Laprospet-
Prefazione vii
tiva generale e` rivolta alle applicazioni concrete dei concetti frattali alla fisica e
ad altre discipline e traspare chiaramente la fascinazione e l’entusiasmo contagio-
sodell’autoreperquestosoggetto.Neipriminovecapitolisidescrivonogliaspetti
generali e metodologici in modo da fornire una base tecnica operativa per le suc-
cessiveapplicazioni.Negliultimitresiconsideranoalcuniesempiparticolarmente
importanti come i sistemi dinamici, la struttura a larga scala dell’universo, i prin-
cipidellamatematicaeconomicaperfinireconapplicazionialladescrizionedidue
disastriecologici:l’incidentechimicodiSevesoequellonuclearediChernobyl.
Complessivamente si tratta di un volume veramente ben fatto e che fornisce
metodi ed esempi estremamente utili e abbastanza rari nell’attuale letteratura del
campo.
Roma,gennaio2011 LucianoPietronero
IstitutodeisistemiComplessi-CNR,
Universita` diRomaLaSapienza

Indice
Prefazione......................................................... v
1 Ifrattalieilnostromondo ...................................... 1
1.1 Considerazioniiniziali ...................................... 1
1.2 NomenestNumen.......................................... 1
1.3 JeanPerrin–1906.......................................... 3
1.4 Ifrattalinaturalienon ...................................... 7
1.5 Ifrattalielafisica .......................................... 7
1.6 Losviluppodelpresentevolume.............................. 9
1.7 Ringraziamenti ............................................ 11
2 Ifrattaligeometrici............................................. 13
2.1 Introduzione............................................... 13
2.2 DimensionediHausdorff-Besicovitch ......................... 13
2.2.1 LacurvadiPeano.................................... 15
2.2.2 Dimensionefrattalediboxcounting .................... 16
2.2.3 LecostedellaNorvegiaedialtriPaesi .................. 17
2.2.4 Lacodimensionefrattale .............................. 19
2.3 LacurvatriadicadiKoch .................................... 20
2.4 L’insiemetriadicodiCantor.................................. 22
2.5 Curdling,tremaewhey...................................... 23
2.6 Dimensionedisomiglianza:affinita` ........................... 24
2.7 Ladimensionefrattaledicluster .............................. 27
2.8 CantoreKoch“generalizzati” ................................ 30
2.9 Frattaliautoinversi.......................................... 32
2.10 InsiemidiMandelbrot-GivenediSierpinski .................... 33
2.11 Frattaliveri:automobiliadidrogeno........................... 36
2.11.1 Un’audaceproposta .................................. 37
2.11.2 Isupercondensatorifrattali ............................ 38