三角形几何学导引 Introduction to the Geometry of the Triangle

137 Pages·2013·3.144 MB·Chinese

by  Paul Yiu

Introduction to the Geometry of the Triangle

三角形几何学导引

[美] 保罗▪姚 著 赵 勇 译
内容简介

本书主要讲解重心坐标方法在三角形几何学研究中的运用，包含了最基本的方法和结论.
作者以重心坐标为工具，证明或介绍了三角形几何学中的许多精致优美的结论.这其中既包
含一些古典的结果，也有很多近些年才得到的新结果.
本书是学习重心坐标和进行三角形几何学研究的很好的入门书，也是一份内容丰富的参
考资料.
本书适合大、中学师生，欧氏几何学爱好者的学习与收藏.
译者赘言

本书译自美国佛罗里达州大西洋大学(Florida Atlantic University)数学系的保罗•姚
(Paul Yiu)先生的讲义：Introduction to the Geometry of the Triangle. 这份讲义写成于2001
年，并在2012 年做了修订.作者Paul Yiu 先生是著名的欧氏几何学电子期刊Forum
Geometricorum 的主编，在欧氏几何学方面有精深的造诣，擅长于运用重心坐标来进行研
究.
这本讲义写成的时间虽然不长，但在国外已有非常广泛的影响，在研究论文中被引用的
频率非常高.我想这主要得益于该讲义的如下几个特点：
首先，作者的语言非常精炼，点到即止，绝不拖泥带水.这使得这本讲义在不长的篇幅
中汇聚了丰富的内容.其中选用的证明往往都是非常巧妙简洁的，如§1.2.4 节关于海伦公
式的推导.这要求读者在读本书时，在很多地方要更多地进行思考.
其次，内容丰富，既有传统的主要结果，也有很多新结论.古典的结果，如拿破仑定理，
费尔巴哈定理，西摩松线等等；新结果如§8.4 节介绍的介拉倍克点以及费马点的布洛卡型
点等等.这些结果新颖有趣，引人入胜.其中的一些新概念是进行进一步研究的基础.如§8.3
节的塞瓦商，在三次曲线的研究中有很多应用.作者还从数学期刊，网上论坛中选取了很多
结论作为练习.这使得本讲义成为一本难得的参考资料.
再次，这本讲义包含了重心坐标的主要方法和结论.传统的欧氏几何学研究，一般采用
综合的方法.而近现代欧氏几何学的研究对象，往往是更加复杂，更加精细的构形.解决这类
问题时，单使用综合法往往是很难奏效的.而重心坐标就是研究这类问题的一个有力工具.
保罗•姚先生的这本讲义，由浅入深地介绍了重心坐标中最重要和最基本的方法和结论.其中
的一些记号法则，已成为现代论文中的标准记号.如§3.4 节介绍的康韦的记号.
一直以来，我国都没有一本系统论述重心坐标的书.这是我翻译这本讲义的主要原因.
由于这只是一本讲义，而不是正式出版的书籍，校订方面相对来说并不是那么严格.所以在
最初的翻译过程中，发现了不少的错误.我将这些问题通过电子邮件请教了原作者，保罗•
姚先生又结合其他读者所提的一些意见，在2012 年底对讲义进行了修订.改正了一些错误并
重新画了所有的插图.但修订后的讲义，一些插图中的记号与上下文并不相符，所以在翻译
中，我结合原来的讲义，对其中的一些插图做了一些小小的修改.另外，修订后的讲义中还
是存在一些明显的录入错误.对这些我都直接进行了修正，而不再一一予以指出.修订后讲义
的目录，原作者加入了第三级的小标题，这样显得过于琐碎.所以在目录的翻译中，我采用
的是修订前的版本，即省略了第三级的小标题的翻译.在书中少量难以理解的地方，还加入
了一些译者注.
译者建议读者在阅读本书之前，最好能对三角形几何学的基本内容有个大概的了解.对
此不熟悉的读者，可以先看看约翰逊的《近代欧氏几何学》一书(单墫译，哈尔滨工业大学
出版社2012 年出版).这样可以看出对于同一个问题，传统的综合法与本书的重心坐标法各
是如何处理的.这样能加深对问题的理解.另外，阅读本书还需要一些简单的射影几何和线性
代数方面的知识.
译者只是位普通的小学数学教师，水平和能力都很有限，译文中难免有错漏之处，恳请
读者朋友们不吝批评指正.

赵 勇
2013 年元月于六安东桥
目 录

第1章 外接圆与内切圆 ∥1
1.1 预备知识 ∥1
1.2 三角形的外接圆与内切圆 ∥4
1.3 欧拉公式与斯坦纳系 ∥8
1.4 附录：伪内切圆 ∥9

第2章 欧拉线与九点圆 ∥12
2.1 欧拉线 ∥12
2.2 九点圆 ∥14
2.3 西摩松线与反射 ∥16
2.4 附录：位似 ∥18

第3章 齐次重心坐标 ∥21
3.1 关于三角形的重心坐标 ∥21
3.2 塞瓦线与迹 ∥24
3.3 等截共轭点 ∥26
3.4 康韦公式 ∥28
3.5 基尔勃特透视中心 ∥30

第4章 直线 ∥35
4.1 直线的方程 ∥35
4.2 无穷远点与平行线 ∥38
4.3 两条直线的交点 ∥39
4.4 垂足三角形 ∥42
4.5 互相垂直的直线 ∥45
4.6 附录 ∥49

第5章 圆Ⅰ ∥52
5.1 等角共轭点 ∥52
5.2 外接圆是无穷远直线的等角共轭像 ∥54
5.3 西摩松线 ∥56
5.4 九点圆的方程 ∥58
5.5 一般圆的方程 ∥59
5.6 附录：密克理论 ∥60

第6章 圆Ⅱ ∥64
6.1 内切圆的方程 ∥64
6.2 内切圆与九点圆的交点 ∥65
6.3 旁切圆 ∥69
6.4 布洛卡点 ∥71
6.5 附录：三圆组（A(a)，B(b)，C(c)） ∥73

第7章 圆Ⅲ ∥76
7.1 距离公式 ∥76
7.2 圆的方程 ∥77
7.3 三圆组的根圆 ∥79
7.4 卢卡斯圆 ∥82
7.5 附录：另外的三圆组 ∥83

第8章 一些基本的作图 ∥85
8.1 重心积 ∥85
8.2 调和伴随点 ∥88
8.3 塞瓦商 ∥89
8.4 布洛卡型点 ∥90

第9章 外接二次曲线 ∥92
9.1 外接二次曲线是直线的等角变换像 ∥92
9.2 外接双曲线的无穷远点 ∥95
9.3 外接二次曲线的透视中心与中心 ∥96
9.4 附录：点A处切线的直尺作图 ∥98

第10章 一般二次曲线 ∥99
10.1 二次曲线的方程 ∥99
10.2 内切二次曲线 ∥100
10.3 伴随矩阵 ∥102
10.4 含参数二次函数表示的二次曲线 ∥103
10.5 二次曲线的矩阵 ∥104
10.6 对偶二次曲线 ∥105
10.7 二次曲线的类型、中心与透视中心 ∥107

第11章 一些特殊的二次曲线 ∥110
11.1 给定焦点的内切二次曲线 ∥110
11.2 内切抛物线 ∥112
11.3 一些特殊的二次曲线 ∥113
11.4 包络 ∥116

第12章 另外的一些二次曲线 ∥120
12.1 与平行截点有关的二次曲线 ∥120
12.2 同时等分周长与面积的直线 ∥123
12.3 以三角形顶点为焦点，对边线为准线的抛物线 ∥125
12.4 索迪双曲线 ∥126
12.5 附录：与二次曲线有关的作图 ∥128
人名索引 ∥130
第1章 外接圆与内切圆 1

第1章 外接圆与内切圆

1.1 预备知识
1.1.1 直线上点的坐标化
设B，C是直线L上的两个定点，直线 L上的每一个点X 都可以用下述几种方法之一
来进行坐标化：
BX
⑴ 分比：t  .
XC
⑵ 绝对重心坐标：X 的表达式是点B与点C的一个凸组合：
X (1t)BtC，
表示对于直线L外的任意一点P，向量PX是向量PB与PC的一个线性组合：
PX (1t)PBtPC.
P
B X C

⑶ 齐次重心坐标：比XC:BX ,表示在点B，C处放上成这一比例的质量，则点X 就
是这个(两质点)运算系统的平衡点.
1.1.2 两个圆的位似中心
考虑两个圆O(R)和I(r)，圆心距OI d.令点X 在圆O(R)上运动，并自点I 作射线
OX 的反向平行射线，交圆I(r)于点Y .你会发现直线XY 与直线OI始终交于同一个点P .
我们称这个定点为这两个圆的内位似中心.它分线段OI成比例OP:PI  R:r.点P 关于
线段OI的绝对重心坐标是
RI rO
P  .
Rr
2 三角形几何学导引

Y
O P Q
I
Y'
X

另一方面，如果我们自点I 作射线同向平行于射线OX 交圆I(r)于点Y，则直线XY
与OI始终交于另一个点Q.此点是这两个圆的外位似中心.它分线段OI成比例OQ:QI
 R:r，并具有绝对重心坐标
RI rO
Q  .
Rr
1.1.3 调和分割
如果
BX BY
  .
XC YC
则两点 X 和Y 称为调和分割另外两点 B ，C.它们关于线段BC互为调和共轭点.
(译者注：这里应要求X ，Y ，B，C是共线的四点.)
练习
⒈ 若点 X ，Y 调和分割点B，C，则点B，C也调和分割点X ，Y .
⒉ 已知直线BC上的一点X ，作出它关于线段BC的调和共轭点.区分点X 内分与外
分BC这两种情形.1
⒊ 已知B，C是两个定点，则使得 BP : CP  k (常数)的P点的轨迹是一个圆.
1.1.4 梅涅劳斯定理与塞瓦定理
考虑三角形ABC和分别在边线BC，CA，AB 上的点X ，Y ，Z .
梅涅劳斯定理
点 X ，Y ，Z 共线当且仅当
BX CY AZ
   1 .
XC YA ZB

1 利用两圆位似中心的概念.
第1章 外接圆与内切圆 3

A A
Z
Y
P Y
Z
X B C B X C

塞瓦定理
直线AX ，BY ，CZ共点当且仅当
BX CY AZ
   1 .
XC YA ZB
调和共轭点的直尺作图
设 X 是直线BC上的一个点，为了作出点X 关于线段BC的调和共轭点，我们可以按
下面的步骤进行：
⑴ 在直线BC外任取一点A，并作出直线AB 与AC.
⑵ 在直线AX 上标出任意一点P，并作直线BP，CP各与直线CA，AB 交于点Y 和
Z .
⑶ 作直线YZ 与BC的交点X.

A
Z
Y
P
B X C X'

则点X 和 X调和分割点B和C.
1.1.5 点关于圆的幂
点P关于圆C=O(R)的幂就是数值C(P):(OP)2R2.幂是正值，零，或负值取决于
点P位于圆外，圆上，或圆内.如果它是正的，其值就等于自点P所引该圆的切线段长的平
方.
4 三角形几何学导引

T
O
X
Y P
T'

相交弦定理
若经过点P的直线L交圆C 于X ，Y 两点，则乘积PX PY (有向长度)的值就等于点
P关于此圆的幂.
1.2 三角形的外接圆与内切圆
对于一般的三角形ABC，我们将用a，b，c分别表示边BC，CA，AB 的长度.
1.2.1 外接圆
三角形ABC的外接圆是唯一经过三个顶点A，B，C的圆.其圆心，即外心O，是三
边垂直平分线的交点.外接圆半径R由正弦定理给出：
a b c
2R    .
sin A sin B sinC
A A
Z
O
X
I
B C
D
C
B Y

1.2.2 内切圆
内切圆与三条边BC，CA，AB (不含延长部分)中的每一条都相切.它的圆心，即内
1
心 I ，是三条内角平分线的交点.内切圆半径r与三角形的面积 S 之间有如下关系
2
S (abc)r .
若内切圆分别与边BC，CA，AB 切于X ，Y ，Z 各点，则