Introduction to Aerodynamics edX Course: MIT.16101

515 Pages·2016·8.78 MB·English

Introduction to Aerodynamics
edX Course: MIT.16101
semester="2015_Fall"
David Darmofal, Mark Drela, Alejandra Uranga1
March 14, 2016
1 c2016. All rights reserved. This document may not be distributed without permission from David
(cid:13)
Darmofal.
2
Contents
1 Overview 17
1.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.1 Objectives, pre-requisites, and modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.2 Measurable outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.3 Contents of a module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.4 Precision for numerical answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.5 Learning strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.6 Syllabus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.7 Grading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.8 Discussion forum guidelines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Spring 2016 Unified Suggested Reading and Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2 Week 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3 Week 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.4 Week 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.5 Week 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.6 Week 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.7 Week 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Aircraft Performance 23
2.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Measurable outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Pre-requisite material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Forces on an Aircraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Types of forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Force and velocity for an aircraft (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.3 Aerodynamic forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.4 Aerodynamic force, pressure, and viscous stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Wing and Airfoil Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3
2.3.1 Wing geometric parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 Airfoil thickness and camber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.3 NACA 4-digit airfoils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Non-dimensional Parameters and Dynamic Similarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1 Lift and drag coefficient definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2 Lift coefficient comparison for general aviation and commercial transport air-
craft (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.3 Drag comparison for a cylinder and fairing (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.4 Introduction to dynamic similarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.5 Mach number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.6 Reynolds number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.7 Mach and Reynolds number comparison for general aviation and commercial
transport aircraft (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.8 Pressure coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.9 Skin friction coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.10 Dynamic similarity: summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.11 Dynamic similarity for wind tunnel testing of a general aviation aircraft at
cruise (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.12 A Glimpse into experimental fluid dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5 Aerodynamic Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.1 Aerodynamic performance plots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.2 Minimum take-off speed (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.3 Drag decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.4 Wetted area estimation of friction and form drag . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5.5 Parabolic drag model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6 Cruise Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6.1 Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6.2 Range estimate for a large commercial transport (PROBLEM) . . . . . . . . . 58
2.6.3 Assumptions in Breguet range analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.7 Sample Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.7.1 Lift and drag for a flat plate in supersonic flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . 61
2.7.2 Aerodynamic performance at different cruise altitudes (PROBLEM) . . . . . . 62
2.7.3 Sensitivity of payload to efficiency (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.7.4 Rate of climb (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.7.5 Maximum lift-to-drag ratio for parabolic drag (PROBLEM) . . . . . . . . . . . 66
2.8 Homework Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.8.1 Cryogenic wind tunnel tests of an aircraft model (PROBLEM) . . . . . . . . . 68
2.8.2 Impact of a winglet on a transport aircraft (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . 69
2.8.3 Minimum power flight with parabolic drag model (PROBLEM) . . . . . . . . . 70
4
3 Control Volume Analysis of Mass and Momentum Conservation 71
3.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.1 Measurable outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.2 Pre-requisite material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2 Continuum Model of a Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.1 Continuum versus molecular description of a fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.2 Solids versus fluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.3 Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.4 Pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.5 Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.6 More on the molecular view of pressure and frictional forces on a body . . . . . 75
3.2.7 Velocity of a fluid element (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.8 Steady and unsteady flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.9 Fluid element in steady flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2.10 Pathlines and streamlines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3 Introduction to Control Volume Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.1 Control volume definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.2 Conservation of mass and momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3.3 Release of pressurized air (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3.4 Water flow around a spoon (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4 Conservation of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4.1 Rate of change of mass inside a control volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4.2 Mass flow leaving a control volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4.3 Conservation of mass in integral form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4.4 Application to channel flow (mass conservation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4.5 Release of pressurized air (mass conservation) (PROBLEM) . . . . . . . . . . . 88
3.5 Conservation of Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5.1 Rate of change of momentum inside a control volume . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5.2 Momentum flow leaving a control volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5.3 Release of pressurized air (momentum flow) (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . 90
3.5.4 Forces acting on a control volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5.5 Release of pressurized air (forces) (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5.6 When are viscous contributions negligible? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.5.7 Conservation of momentum in integral form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.5.8 Release of pressurized air (momentum conservation) (PROBLEM) . . . . . . . 95
3.5.9 Application to channel flow (momentum conservation) . . . . . . . . . . . . . . 96
3.6 Sample Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.6.1 Lift generation and flow turning (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.6.2 Drag and the wake (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5
4 Conservation of Energy and Quasi-1D Flow 101
4.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1.1 Measurable outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1.2 Pre-requisite material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2 Introduction to Compressible Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.1 Definition and implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.2 Ideal gas equation of state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2.3 Internal energy of a gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2.4 Enthalpy, specific heats, and perfect gas relationships . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2.5 Comparing air and battery energy (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3 Conservation of Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.1 Introduction to conservation of energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.2 Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.3 Heat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3.4 Conservation of energy in integral form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3.5 Total enthalpy along a streamline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4 Adiabatic and Isentropic Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.4.1 Entropy and isentropic relationships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.4.2 Speed of sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.4.3 Stagnation properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.4.4 Isentropic variations with local Mach number (PROBLEM) . . . . . . . . . . . 115
4.4.5 Adiabatic and isentropic flow assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4.6 Density variations in a low Mach number flow around an airfoil (PROBLEM) . 118
4.4.7 Stagnation pressure for incompressible flow and Bernoulli’s equation . . . . . . 119
4.5 Quasi-1D Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.5.1 Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.5.2 Incompressible quasi-1D flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.5.3 Compressible quasi-1D flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.6 Sample Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.6.1 Total enthalpy in an adiabatic flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.6.2 Incompressible nozzle flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.6.3 Subsonic nozzle flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.6.4 Supersonic nozzle flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5 Shock Expansion Theory 131
5.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.1.1 Measurable outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.1.2 Pre-requisite material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6
5.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.2 Introduction to shock waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.3 Traffic blockage analogy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2.4 Assumptions for shock and expansion wave analysis . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3 Normal shock waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.1 Isentropic relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.2 Shock reference frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.3 Mach jump relation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3.4 Static jump relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.3.5 Shock wave from explosion (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.3.6 Shock losses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3.7 Total quantities across a shock (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.3.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.3.9 Supersonic-flow pitot tube (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4 Convergent-divergent ducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4.1 Introduction to convergent-divergent ducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4.2 Purely convergent or divergent ducts (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.4.3 Subsonic flow and choking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.4.4 Choked flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4.5 Choked flow with normal shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.4.6 Convergent section of choked duct (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.4.7 Supersonic-exit flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.4.8 Determination of choked nozzle flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.4.9 Summary of convergent-divergent duct flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.4.10 Throat Mach number and area ratio (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.4.11 Back pressure changes (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.5 Oblique shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.5.1 Mach waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.5.2 Oblique analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.5.3 Equivalence between normal and oblique shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5.4 Mach number jump . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5.5 Wave angle relation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.5.6 Static jumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.5.7 Summary of oblique shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.5.8 Supersonic flow past an upward ramp (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.6 Expansion waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7
5.6.1 Oblique shocks and expansion waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.6.2 Wave flow relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.6.3 Prandtl-Meyer function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.6.4 Supersonic flow past a downward ramp (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.7 Sample problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.7.1 Supersonic engine inlets (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.7.2 Flat plate in supersonic flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6 Differential Forms of Compressible Flow Equations 181
6.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.1.1 Measurable outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.1.2 Pre-requisite material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.2 Kinematics of a Fluid Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.2.1 Kinematics of a fluid element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.2.2 Rotation and vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.2.3 Rotationality in duct flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.2.4 Rotationality for circular streamlines (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.2.5 Normal strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.2.6 Calculate normal strain (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.2.7 Shear strain and strain rate tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.2.8 Strain rate for a fluid element in corner flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . 190
6.2.9 Strain rate for another fluid element in corner flow (PROBLEM) . . . . . . . . 191
6.2.10 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.3 Differential Forms of Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.3.1 Conservation of mass (the continuity equation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.3.2 Acoustic measurements (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.3.3 Conservation of momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.3.4 Conservation of momentum in duct flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . 197
6.3.5 Conservation of energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.3.6 Substantial derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.3.7 Substantial derivative for channel flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.3.8 More on substantial derivative (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.3.9 A last embedded question on substantial derivative (PROBLEM) . . . . . . . . 202
6.3.10 Convective forms of the governing equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.4 Sample Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.4.1 Power law (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.4.2 Circular flow: point (free) vortex (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.4.3 Pressure over a wing (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8
6.4.4 Couette flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.5 Homework Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.5.1 Flow over a flat plate (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.5.2 Circular flow: solid-body rotation (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.5.3 Analyzing the motion of a fluid element (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . 214
7 Streamline Curvature and the Generation of Lift 217
7.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.1.1 Measurable outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.1.2 Pre-requisite material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.2 Fundamentals of Streamline Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.2.1 Streamline curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.2.2 Pressure behavior for bump flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.3 Streamline Curvature and Airfoil Lift Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.3.2 Impact of camber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.3.3 Impact of thickness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.3.4 Leading-edge behavior: stagnation points and suction peaks . . . . . . . . . . . 224
7.3.5 Leading-edge behavior (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.4 Sample Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.4.1 Pressure behavior in a nozzle and exhaust jet (PROBLEM) . . . . . . . . . . . 230
7.4.2 Streamline curvature application to a reflexed airfoil (PROBLEM) . . . . . . . 231
7.5 Homework Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.5.1 Matching airfoils and pressure distributions (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . 233
7.5.2 Determining pressure behavior around an airfoil at angle of attack (PROBLEM)234
8 Fundamentals of Incompressible Potential Flows 235
8.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.1.1 Measurable outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.1.2 Pre-requisite material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.2 Justification of Irrotational Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8.2.1 Incompressible flow equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8.2.2 Vorticity equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
8.2.3 Vorticity in incompressible, inviscid flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . 239
8.2.4 Bernoulli equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.2.5 Pressure coefficient and Bernoulli’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.2.6 Velocity and pressure coefficient relationship for incompressible flow over an
airfoil (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9
8.2.7 The fallacy of the equal transit time theory of lift generation . . . . . . . . . . 242
8.2.8 Transit times on a NACA 4502 (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.3 Potential Flow Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.3.1 Governing equations and the velocity potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.3.2 Properties of a potential velocity field (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.3.3 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.3.4 Equipotential lines and flow tangency (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.3.5 Potential for corner flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
8.3.6 Modeling approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8.3.7 Linear superposition in potential flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.4 Two-dimensional Nonlifting Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.4.1 Introduction to nonlifting flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.4.2 Cylindrical coordinate system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.4.3 Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
8.4.4 Calculating mass flow rate for a source (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.4.5 Flow over a Rankine oval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
8.4.6 A new potential flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
8.4.7 Doublet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
8.4.8 Flow over a nonlifting cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.5 Two-dimensional Lifting Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
8.5.1 Point vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
8.5.2 Lifting flow over a rotating cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
8.5.3 Farfield velocity behavior of lifting and nonlifting flows (PROBLEM) . . . . . . 271
8.5.4 Circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.5.5 Kutta-Joukowsky Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.5.6 d’Alembert’s Paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.6 Sample Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
8.6.1 Drag in incompressible potential flow (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . 274
8.7 Homework Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
8.7.1 Modeling the flow over a ridge (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
8.7.2 Behavior of nonlifting flow over a cylinder (PROBLEM) . . . . . . . . . . . . . 278
8.7.3 Lift and drag in 2D flow with application to an airfoil (PROBLEM) . . . . . . 279
9 Incompressible Potential Flow Aerodynamic Models 281
9.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9.1.1 Measurable outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9.1.2 Pre-requisite material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
9.2 Airfoil Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
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