Introduction au calcul scientifique par la pratique : 12 projets résolus avec Matlab

306 Pages·10.587 MB·French

by  Ionut Danaila, Pascal Joly, Marie Postel, Sid Mahmoud Kaber

SCIENCES SUP
SCIENCES SUP MI
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A
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Ionut Danaila • Pascal Joly RIL
•A
Sidi Mahmoud Kaber • Marie Postel M •

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P
INTRODUCTION OJO
SL
TY
E
AU CALCUL SCIENTIFIQUE L
E
PAR LA PRATIQUE X Exercices et problèmes corrigés avec rappels de cours
E
R
C
12 projets résolus avec MATLAB IC
E
S
Écoles d’ingénieurs • 2e cycle/Master
Comme leur nom le suggère, les mathématiques appliquées ne peuvent Ionut Danaila, Sidi
seulement s’enseigner de façon théorique. L’expérimentation numérique Mahmoud Kaber et Marie S
Postel sont maîtres de C
est en effet indispensable pour percevoir la puissance, mais aussi les conférences à l’Université IIN
limites, des outils et des méthodes de calcul. Paris 6 Pierre-et-Marie-Curie. E
C’est pourquoi cet ouvrage propose douze « projets », basés sur autant Pascal Joly est ingénieur de NT INTRODUCTION
de problèmes concrets classiques, qui permettent, grâce à des exercices recherche au CNRS. TR
intermédiaires et des rappels théoriques, de passer de façon progressive Tous les auteurs IO
des équations aux résultats. Aboutissement de cette démarche pédagogique appartiennent au laboratoire FD
et pratique, l’ouvrage propose une résolution complète des projets avec Jacques-Louis Lions de IQ AU CALCUL SCIENTIFIQUE
l’UPMC et au CNRS. U
MATLAB (les programmes sont intégralement disponibles sur le site web
U
de l’éditeur). C
Ce livre doit permettre à tous ceux qui sont confrontés au calcul scientifique ET
– étudiants des écoles d’ingénieur ou de 2e cycle/Master, mais aussi PIO PAR LA PRATIQUE
enseignants, chercheurs ou ingénieurs – de comprendre les concepts, les A
méthodes et les enjeux fondamentaux de la discipline. RN
Thèmes abordés :Équations aux dérivées partielles et différentielles non
MATHÉMATIQUES LA
linéaires • Schémas numériques (Euler, Runge-Kutta) • Approximation
AU
polynomiale • Éléments finis • Différences finies • Méthode spectrale • 12 projets résolus avec MATLAB
Analyse multiéchelle, ondelettes • Méthode de Schwarz • Courbes et PHYSIQUE P C
surfaces de Bézier. R
CHIMIE A
Domaines d’application :Élasticité • Thermique • Mécanique des fluides A
L
(équations de Navier-Stokes) • Dynamique des gaz • CAO •Traitement TC
de l’image • Chimie. SCIENCES DE L’INGÉNIEUR I
QU
INFORMATIQUE UL

E
SCIENCES DE LA VIE
SCIENCES DE LA TERRE Ionut Danaila • Pascal Joly
1ercycle 2ecycle 3ecycle
Sidi Mahmoud Kaber • Marie Postel
1 2 3 4 5 6 7 8
LICENCE MASTER DOCTORAT
ISBN 2 10 048709 4 www.dunod.com
pI-IVDanaila Page I Mardi, 21. décembre 2004 12:02 12
INTRODUCTION AU CALCUL
SCIENTIFIQUE
PAR LA PRATIQUE
12 projets résolus avec MATLAB
pI-IVDanaila Page II Mardi, 21. décembre 2004 12:02 12
VIII Tabledesmatières
CHAPITRE8•DÉCOMPOSITIONDEDOMAINESPARLAMÉTHODEDESCHWARZ 166
8.1 Principeetchampsd’applicationdeladécompositiondedomaine 166
8.2 Résolutionpardifférencesfiniesen1D 168
8.3 MéthodedeSchwarzen1D 169
8.4 Extensionaucas2D 172
8.4.1 Résolutionpardifférencesfiniesen2D 173
8.4.2 Décompositiondedomainedanslecas2D 177
8.4.3 Miseenœuvredeconditionslimitesréalistes 180
8.4.4 Extensionspossibles 182
8.5 Solutionsetprogrammes 182
CHAPITRE9•MODÉLISATIONGÉOMÉTRIQUE:COURBESETSURFACESDEBÉZIER 191
9.1 LescourbesdeBézier 192
9.2 PropriétésdescourbesdeBézier 193
9.2.1 Enveloppeconvexedespointsdecontrôle 193
9.2.2 Pointsdecontrôlemultiples 193
9.2.3 Vecteurtangentàlacourbe 194
9.2.4 RaccorddedeuxcourbesdeBézier 195
9.2.5 Constructiond’unpointP(t) 196
9.3 ConstructiondecourbesdeBézier:miseenœuvre 197
9.4 IntersectiondedeuxcourbesdeBézier 201
9.5 SurfacesdeBézier 204
9.6 ConstructiondesurfacesdeBézier:miseenœuvre 207
9.7 Solutionsetprogrammes 207
CHAPITRE10•PROBLÈMEDERIEMANNETDISCONTINUITÉS.ÉTUDEDUTUBEÀCHOC 210
10.1 Problèmephysiquedutubeàchoc 210
10.2 Systèmed’équationsd’Euler1D 211
10.2.1 Adimensionnementdeséquations 214
10.2.2 Solutionexacte 215
10.3 Résolutionnumérique 218
10.3.1 Schémascentrés(Lax-WendroffetMacCormack) 218
10.3.2 Schémasdécentrés(Roe) 223
10.4 Solutionsetprogrammes 227
Tabledesmatières IX
CHAPITRE11•THERMIQUE:OPTIMISATIONDELATEMPÉRATURED’UNFOUR 229
11.1 Formulationduproblème 230
11.2 Discrétisationparélémentsfinis 232
11.3 Miseenœuvre 233
11.3.1 Calculdelamatrice 233
11.3.2 Calculdusecondmembre 234
11.3.3 Lesystèmelinéaire 234
11.4 Priseencomptedesconditionsauxlimites 235
11.5 Formulationduproblèmeinverse 238
11.6 Résolutionduproblèmeinverse 239
11.7 Solutionsetprogrammes 242
CHAPITRE12•MÉCANIQUEDESFLUIDES:RÉSOLUTIONDESÉQUATIONSDE
NAVIER-STOKES2D 246
12.1 ÉquationsdeNavier-Stokes2D,incompressibles 247
12.2 Méthodederésolution 248
12.3 Domainedecalcul,conditionsauxlimitesetmaillage 250
12.4 Discrétisationdeséquations 251
12.5 Visualisationdel’écoulement 259
12.6 Conditioninitiale 260
12.6.1 Dynamiqued’unjetplan.InstabilitédeKelvin-Helmholtz 260
12.6.2 Mouvementd’undipôledevorticité 261
12.7 Miseenœuvre 262
12.7.1 Résolutiond’unsystèmelinéaireàmatricetridiagonaleetpériodique 262
12.7.2 Résolutiondel’équationinstationnairedelachaleur 265
12.7.3 Résolutiondel’équationstationnairedelachaleurenutilisantlesFFT 269
12.7.4 RésolutiondeséquationsdeNavier-Stokes 269
12.8 Solutionsetprogrammes 271
BIBLIOGRAPHIE 278
INDEXGÉNÉRAL 280
INDEXDESPROCÉDURES 285
Avant-propos
Aujourd’hui l’enseignement des mathématiques appliquées ne peut se concevoir
sans l’expérimentation numérique. En effet, seule la mise en œuvre d’une méthode
surunexempleconcretpermetd’enmieuxcomprendrelesqualités(précisionetra-
pidité de calcul) et les défauts (coût et limites d’utilisation). Bien sûr, ces éléments
distinctifspeuventêtreappréhendésd’unpointdevuethéorique;maislacomplexité
de programmation et la variété des champs d’application, critères finalement déter-
minants pour le succès d’une méthode, ne peuvent être mesurées que par l’expéri-
mentation.
Cet ouvrage regroupe quelques exemples d’application de méthodes désormais
classiques de l’analyse numérique, mises en œuvre pour la résolution de problèmes
concrets issus de la physique, la mécanique, la chimie, le traitement de l’image,
etc. Ces problèmes ont été choisis pour satisfaire la curiosité légitime d’un public
assez vaste. Élaborés dans le cadre de cours de mathématiques appliquées (analyse
numérique,calculscientifique),ilsontétéproposéssousformedeprojetsàdifférents
groupesd’étudiantsdel’UniversitéoudeGrandesÉcolesd’ingénieurs.
Nous avons privilégié une approche pédagogique progressive. Chaque projet dé-
crit précisément le problème à traiter et présente, de manière aussi complète que
possible, les bases théoriques nécessaires à sa résolution. Il est structuré en étapes
de difficultécroissante,pouvantêtre proposéesde manièremodulabledansle cadre
d’un enseignement avec des séances de programmation étalées dans le temps. En
début de projet, une “fiche” indique sa difficulté globale (sur une échelle de 1 à 3),
lesnotionsmathématiquesdéveloppées,ainsiquelesdomainesd’application.
Toujours dans un souci pédagogique, une solution de programmation en MAT-
(cid:1)
LAB estfourniepourchaqueprojet.Lesscriptscompletspeuventêtretéléchargés
àpartirdelapagewebdulivre,àl’adresse
http://www.dunod.com/ICSPP/
Avant-propos XI
Dans la pratique, les méthodes de calcul scientifique étudiées sont souvent pro-
grammées dans des langages plus performants (Fortran, C, C++) adaptés à la ré-
solution sur de gros calculateurs de cas concrets industriels. Le choix du logiciel
MATLAB a de multiples motivations : la simplicité de programmation en langage
interprété; la richesse des bibliothèques pré-programmées. Enfin, la facilité de vi-
sualisation graphique des résultats. Tout ceci permet au lecteur, même néophyte en
programmation,deréaliserfacilementlesexpériencesnumériquesproposées.Sibien
que son apprentissage est un passage obligé dans la formation d’un mathématicien
appliqué.Parailleurs,celogicielesttrèslargementemployéaussibiendanslemonde
del’éducationquedansleslaboratoiresderechercheetdéveloppement.Leslogiciels
libresScilabouOctaveconviennentégalementpourcegenredesimulation,cequiest
àprendreencompteàl’Universitéoùl’enseignementauxniveauxLicence,Master,
voire Doctorat, est souvent fait avec des logiciels libres. La traduction de nos solu-
tionsdansceslangagesneposepasdedifficultéparticulière,d’autantplusquepour
privilégier la lisibilité des programmes nous n’avons pas toujours cherché à utiliser
lestechniquesdeprogrammationconduisantàlaconcisionmaximaled’écriture.
IonutDanaila,PascalJoly,SidiMahmoudKaber,MariePostel.
Paris,21décembre2004.
PPP
Projet 1
Approximation numérique
de quelques équations
aux dérivées partielles modèles
Fiche du projet
Difficulté: 1
Notionsdéveloppées: Équations différentielles linéaires : méthodes
d’intégrationnumérique,schémasauxdifférences
finies:schémasd’Euler,deRunge-Kutta.
Domainesd’application: Phénomènes de transport, diffusion, propagation
d’ondes.
Le but de ce projet est de mettre en évidence les propriétés mathématiques et phy-
siquesdes équationsaux dérivéespartielles(EDP),présentéessousla formelaplus
simple possible. En fait, il ne s’agit pas d’un véritable projet, basé sur un problème
bien défini, mais plutôt d’une somme d’exercices théoriques qui visent à familiari-
serlelecteuravecquelquestechniquesdebasedediscrétisationetd’intégrationdes
EDP. Nous commençons par présenter ces techniques dans le cas simple des équa-
tions différentielles ordinaires (EDO), pour les étendre ensuite aux EDP modèles
(équation de convection, des ondes, de la chaleur). Une attention particulière sera
2 Projet1 • Approximationnumériquedequelqueséquations...
accordée à l’analyse des schémas numériques (précision, stabilité, dissipation) et à
lacomparaisondesrésultatsnumériquesaveclessolutionsexactes.
1.1 DISCRÉTISATION D’UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
ORDINAIRE
Considérons l’équation différentielle ordinaire (EDO) : trouver une fonction déri-
vableu : [0,T] (cid:1)→ Rm,solutionde
(cid:1) (cid:2)
u(cid:1)(t) = f t,u(t) , (1.1)
où T est un réel strictement positif et f est une fonction continue de [0,T]×Rm à
valeursdansRm.
Définition 1.1OnappelleproblèmedeCauchy,lecouplagedel’EDO(1.1)
etd’uneconditioninitiale
u(0)= u , (1.2)
0
oùu estunvecteurdeRm.
0
Nous renvoyons à un cours sur les équations différentielles, par exemple, [Crou-
zeix et Mignot, 1989], [Demailly, 1996], [Delabrière et Postel, 2004], pour tout ce
qui concerne l’existence et l’unicité d’une solution du problème de Cauchy (1.1)-
(1.2). Dans cette première partie du projet, nous présentons des méthodes numé-
riques simples pour calculer une approximation de la solution dans le cas scalaire
(onditaussi1D),m = 1.
Puisque l’ordinateur ne peut
renvoyer qu’un nombre fini de
u
résultats, la résolution numé-
rique du problème de Cau- un+1 solution numérique
u
chy (1.1)-(1.2) va commencer n
par choisir les points de cal- solution exacte
cIu=l t[00,,tT1,]...O.,ntNdédfienilt’ianitnesrivualnlee u1 u(t n ) u(t n + 1 )
discrétisation (ou un maillage)
de l’intervalle I. La distribu-
u0 t
tionéquidistante(ouuniforme)
des points de calcul est la 0 t1 tn tn+1 T
h
plus simple et elle sera utilisée
dans ce chapitre : l’intervalle
I = [0,T] est divisé en N in- Figure1.1 Discrétisationd’uneEDO.
tervalles I de même longueur
n
h = T/N (h est appelé pas de discrétisation). On pose I = [t ,t ] avec t = nh
n n n+1 n
(t = 0,t = T,voirlafigure1.1).L’approximationnumériqueconsisteàconstruire
0 N