Introduction à l'analyse et à la commande des systèmes non linéaires

269 Pages·4.631 MB·French

by  Philippe Müllhaupt

Philippe Mu¨llhaupt
Introduction `a l’Analyse et `a la
Commande des Syst`emes Non
Lin´eaires
12 juin 2007

Avant-propos
L’objectif de ce livre est de pr´esenter les fondements de l’analyse et de la
synth`ese de loi de commande pour les syst`emes non lin´eaires.
Le terme de syst`eme apparaˆıt de plus en plus pour d´esigner une multi-
tudesdechoses,parexemplepourunensembleorganis´edeconcepts,d’arran-
gements, d’assemblage, de composition d’id´ees et d’objets concrets.
Nous entendrons par syst`eme, une repr´esentation math´ematique par des
´equations diff´erentielles ordinaires non lin´eaires d’une r´ealit´e physique pou-
vant provenir de plusieurs disciplines diff´erentes : biologie, g´enie m´ecanique,
´electrique, chimique, physique, etc.
Ainsi, nous nous d´emarquons`a la fois du sens biologique classiquequi en-
tend par syst`eme,un ensemple structur´ed’´el´ementsnaturels de mˆeme esp`ece
oudemˆemefonction,etdusensm´ecanistequientendparsyst`eme,unappareil
ou dispositif form´e par une r´eunion d’organes, d’´el´ements analogues.
Toutefois,lanaturedestructureestclairementpr´esentedansnotred´efinition
de syst`eme, et nous mettons clairement la notion d’universalit´e d’application
desth´eoriesd´evelopp´ees,pourautantqu’ellespuissentdonnerunead´equation
`ala fois avecl’observationdes ph´enom`enesetavecla pr´edicabilit´ede ceux-ci.
Finalement,laprovenancedes´equationsd´ecrivantsunmod`eledelar´ealit´e
disparaˆıt lorsque l’on´etudie, par voie math´ematique, son comportement.
La compr´ehension de ce comportement fera l’objet de la premi`ere partie
intitul´ee ”Analyse”, et sa modification, l’objet de la seconde partie intitul´ee
”Synth`ese”.
Le comportement est ici `a comprendre dans son sens large, `a savoir non
seulement l’´evolution temporelle des solutions de l’ensemble des ´equations
diff´erentielles ordinaires d´ecrivant le mod`ele, mais ´egalement certaines pro-
pri´et´es topologiques caract´eristiques de cet ensemble : par exemple, type et
qualit´e des points singuliers (c.-`a-d, la classification des points d’´equilibre
stables ou instables), l’existence de cycle limite, la d´elimitation du bassin
d’attraction des points d’´equilibre stables, etc.
VI Avant-propos
Unegrandepartiedulivreestconsacr´e`ad´efinirconvenablementleconcept
de stabilit´eet de donnerdes outils permettantde d´etermineravecun nombre
d’op´erationr´eduit cette propri´et´e.
Nous verrons ´egalement que le comportement peut ˆetre modifi´e par le
conceptder´etroaction(ouloidecommande).Enmodifiantcertainesvariables
apparaissantsdans le syst`emed’´equationsdiff´erentielles(que l’ond´esignepar
le nom d’entr´ee) en utilisant l’information de certaines autres variables de
cet ensemble (appel´ee sortie) de telle sorte que les variables d’entr´ees soient
mises en correspondance avec les variables de sortie, le concept de boucle de
r´etroaction fait son entr´ee, et permet de modifier radicalement le comporte-
mentdel’ensembledes´equationsdiff´erentielles.Ainsi,unsyst`emeinitialement
instable peut devenir stable.
Il est alors n´ecessaire d’exploiter la d´efinition de la stabilit´e et de ces
caract´erisationspour´elaborerlescorrespondancesentreentr´eesetsorties(les
lois de commande) de telle sorte de parvenir `a ces fins.
Ce livre est issu d’un enseignement `a des ´etudiants en fin d’´etudes
d’ing´enieureng´enies´electrique,microtechnique,etm´ecanique.Lamati`ereest
couverte `a raison de deux heures par semaines sur une dur´ee d’un semestre.
Je conseille vivement d’intercaller des s´eances `a l’ordinateur permettant aux
´etudiants d’ˆetre confront´es eux-mˆemes aux probl`emes,ce qui rend le contenu
de la mati`ere plus concr`ete et plus facilement assimilable. Je remercie les
nombreusesvol´eesd’´etudiantsquim’ontpermisd’affinerl’ouvragepropos´eet
surtout ma compr´ehensiondu sujet.
J’esp`ere ´egalement avoir pu leur transmettre les connaissances de cette
discipline ettransmisunpeudemonenthousiasmepourcettemati`ereparfois
d’aspect superficiellement aride.
Ce texte est une introduction au sujet et l’objectif est de permettre,
dans un volume compact, l’acc`es `a une litt´erature difficile `a un large spectre
de lecteurs de formation scientifique et technique diverse. Les pr´erequis ne
sont pas excessifs; de bonnes notions sur les ´equations diff´erentielles et les
repr´esentations associ´ees comme la transform´ee de Laplace et la notion de
fonction de transfert sont requises; il est n´ecessaire ´egalement de connaˆıtre
les concepts de repr´esentation d’´etat lin´eaire, de commandabilit´e et d’obser-
vabilit´e.
Malheureusement, le traitement propos´e dans cet ouvrage ne couvre que
lessyst`emesayantuneseuleentr´eeetned´ependantpasdutemps.Leconcept
d’observateur non lin´eaire n’est pas abord´e et le concept de gouvernabilit´e
non lin´eaire n’est pas trait´e dans toute sa complexit´e. L’accent est mis sur
l’accessibilit´e, pr´esent´ee comme condition n´ecessaire `a la lin´earisation d’´etat.
Lesconceptsquinesontpastrait´espeuventˆetreabord´essereinementunefois
que la mati`ere de ce cours est assimil´ee. Leur exposition correspond mieux `a
un cours au niveau doctoral.
Avant-propos VII
Unebibliographiesetrouve`alafindel’ouvragequicontientexclusivement
des r´ef´erences `a des livres complets. C’est un choix personnel dict´e par la
difficult´edefaireune bibliographiepertinente auniveauintroductifsansl´eser
les auteurs d’´eminentes publications qui seraient laiss´es de coˆt´e, non pas par
manque d’int´erˆet, mais par soucis de compacit´e. Une solution aurait ´et´e de
faireunebibliographieexhaustivemaiselledemanderaituneliste´enorme.Par
exemple,lesr´ef´erences`alalitt´erature(essentiellementrusse)setrouvantdans
l’ouvrage [BS70] couvre d´eja` plus de 35 pages.
J’invite donc le lecteur de se r´ef´erer aux bibliographies d´etaill´ees des ou-
vrages cit´es `a la fin de cet ouvrage. Le premier de ceux-ci qui m’a transmis
l’enthousiasme de la discipline est [SL91]. Il n’est pas ´etonant que le pr´esent
ouvrage en est fortement inspir´e pour la r´edaction de plusieurs chapitres, en
particulierpourlas´eparationendeuxparties,analyseetsynth`ese.Egalement
dans cette mˆeme optique, l’ouvrage incontournable de [Kha02], longtemps
utilis´ecommesupportaucours(avecl’ouvragede[SL91]pr´ec´edemmentmen-
tionn´e), m’a ´egalement fortement inspir´e `a plusieurs reprises. Je f´elicite l’au-
teur pour son ouvrage, un mod`ele de rigueur et un excellent point d’entr´ee
pour quiconque voulant approfondir au dela` du pr´esentcontenu.
Le chapitre g´eom´etrie est inspir´e de [Isi89], [NvdS90], [KN63],[Car71] et
[For59],enparticulierj’attirel’attentionsurcesdeuxderni`eresr´ef´erencespour
la notiondes 1-formes,du calculext´erieuret de la d´eriv´eeext´erieure.J’invite
´egalement le lecteur int´eress´e`a consulter l’excellent [Mor01].
La commande par les m´ethodes de Lyapunov est inspir´ee par plusieurs
passages dans [SJK97] et j’en remercie les auteurs.
Cet ouvrage est ´egalement le fruit de mes nombreuses interactions avec
mes doctorants que je remercie vivement, sans qui l’exposition de la mati`ere
seraitplus opaque.C’est ainsique je t´emoigne ma sinc`eregratitude `a Davide
Buccieri,Jean-YvesFavez,BasileGraf,YvanMichellod,ThierryPrud’homme
et Christophe Salzmann.
Le premier professeur m’ayant transmis les notions essentielles de com-
mande d’´etat est le professeur Roland Longchamp dont la p´edagogie et le
gouˆtpourlasciencem’ontpouss´e`am’orienterversl’automatiquedurantmes
´etudes.Jeleremercievivementpourcela,maissurtoutj’aimeraisleremercier
particuli`erementpour avoirencourag´ela r´ealisationde cet ouvrage,ainsi que
pour son soutient sans faille tout au long de la r´edaction de celui-ci.
Ensuite, j’aimerais chaleureusement remercier le professeur Jean L´evine
quim’a permis de me sp´ecialiseren commandenonlin´eaire,me transmettant
lesconnaissancesindispensablesdurantmons´ejourauCentreAutomatiqueet
Syst`emesdel’EcoledesMinesdeParis`aFontainebleau.Jeremercie´egalement
le professeur Laurent Praly avec qui j’ai pu discut´e de mani`ere quotidienne
lors du repas de midi.
J’aimerais ´egalement remercier le professeur Zhong-Ping Jiang pour l’ex-
cellent travail en commun effectu´e `a Lausanne et `a New York. Son aisance
VIII Avant-propos
avec les in´egalit´es math´ematiques est impressionnante. J’ai r´esum´e quelques
unes de ces techniques dans le pr´esent ouvrage, et je le remercie vivement
pour m’avoir transmis cette connaissance.
J’aimerais ´egalement remercier les professeurs Dominique Bonvin, Sebas-
tian Dormido, Balint Kiss, Balasubrahmanyan Srinivasan, ainsi que le Dr.
Denis Gillet pour le tr`es bon travailscientifique effectu´e en commun aboutis-
sant `a des publications internationales.
Lausanne, Juin 2007 Philippe Mu¨llhaupt
Table des mati`eres
Partie I Analyse
1 D´efinition et propri´et´es des syst`emes non lin´eaires......... 3
1.1 Principe de superposition................................. 3
1.2 Classe de syst`emes....................................... 4
1.3 R´eponse indicielle disym´etrique ........................... 4
1.4 Termes d’ordre sup´erieur ................................. 6
1.5 Points d’´equilibre isol´es multiples.......................... 7
1.6 Explosion en temps fini .................................. 8
1.7 R´eponse harmonique multiple ............................. 8
1.8 Orbites chaotiques....................................... 8
2 Diagramme de phase ...................................... 11
2.1 Plan de phase pour les syst`eme du second ordre ............. 11
2.1.1 Syst`eme masse-ressort ............................. 12
2.2 Techniques de graphe du plan de phase..................... 12
2.3 Syst`emes lin´eaires du second ordre......................... 13
2.3.1 Solutions num´eriques .............................. 14
2.3.2 Graphe des pentes................................. 14
2.3.3 Elimination du temps explicitement.................. 15
2.3.4 Elimination du temps implicitement ................. 15
2.3.5 M´ethode des isoclines .............................. 16
2.3.6 Exemple : oscillateur de van der Pol ................. 17
2.4 Cycles limites ........................................... 19
2.4.1 Classification des cycles limites...................... 20
X Table desmati`eres
2.5 Index .................................................. 20
2.5.1 Type de points d’´equilibre.......................... 22
2.5.2 Classification des points d’´equilibre .................. 22
2.5.3 Th´eor`eme de l’index ............................... 23
2.5.4 Th´eor`eme de Bendixson............................ 24
2.6 Impossibilit´e du chaos planaire............................ 24
2.6.1 Th´eor`eme de Poincar´e-Bendixson.................... 25
2.7 Exemple : dynamique de populations....................... 25
2.7.1 Comp´etition ...................................... 26
2.7.2 Pr´edateur-proie ................................... 28
Exercices ................................................... 30
3 M´ethode du premier harmonique .......................... 31
3.1 Syst`eme lin´eaire et non-lin´earit´e statique ................... 32
3.1.1 Excitation sinuso¨ıdale en boucle ouverte.............. 33
3.1.2 Caract´eristique passe-bas du syst`eme lin´eaire G(s)..... 33
3.1.3 Gain complexe´equivalent .......................... 35
3.2 Premier harmonique ..................................... 37
3.2.1 D´ecomposition en harmoniques...................... 37
3.2.2 Equivalent du premier harmonique .................. 37
3.2.3 Calcul de l’´equivalent du premier harmonique......... 38
3.3 Non-lin´earit´escommunes ................................. 42
3.3.1 Saturation........................................ 43
3.3.2 Zone morte ....................................... 44
3.3.3 Relais............................................ 45
3.3.4 Hyst´er`ese......................................... 45
3.3.5 Non-lin´earit´es sym´etriques,continues par morceaux.... 46
3.4 Syst`eme en r´etroaction................................... 47
3.4.1 Repr´esentation graphique........................... 49
3.4.2 Double int´egrateur et oscillateurs lin´eaires ............ 50
3.4.3 Th´eor`eme de Nyquist .............................. 52
3.5 Crit`ere de stabilit´e....................................... 58
3.5.1 Cycle limite stable................................. 58
3.5.2 Cycle limite instable ............................... 59
3.6 Fiabilit´e de l’analyse par le premier harmonique............. 61
3.7 Oscillateur de Van der Pol revisit´e......................... 61
Table des mati`eres XI
4 Stabilit´e au sens de Lyapunov ............................. 65
4.1 Point d’´equilibre ........................................ 65
4.2 Rappel de la notion de stabilit´e pour les syst`emes lin´eaires.... 65
4.3 Notion intuitive de la stabilit´e............................. 66
4.4 D´efinition math´ematique pr´ecise de la stabilit´e .............. 66
4.4.1 Notion de distance ................................ 66
4.4.2 Stabilit´e : d´efinition formelle........................ 67
4.4.3 Illustration ....................................... 70
4.4.4 Stabilit´e asymptotique ............................. 70
4.4.5 D´esavantages de la d´efinition........................ 70
4.5 M´ethode directe de Lyapunov............................. 71
4.5.1 Candidat de Lyapunov............................. 71
4.5.2 Fonction de Lyapunov ............................. 72
4.6 Exemple : robot......................................... 73
4.6.1 Loi de commande ................................. 73
4.6.2 Lois de la m´ecanique............................... 73
4.6.3 Candidat Lyapunov................................ 74
4.6.4 Fonction de Lyapunov ............................. 74
4.7 Th´eor`eme de stabilit´e locale .............................. 75
4.7.1 Preuve (stabilit´e locale) ............................ 75
4.7.2 Preuve de stabilit´e locale asymptotique .............. 77
4.8 Stabilit´e exponentielle.................................... 79
4.8.1 Exemple : Dynamique des populations ............... 79
4.9 Stabilit´e globale......................................... 79
4.10 Fonction de Lyapunov pour les syst`emes lin´eaires............ 81
4.11 Stabilit´e locale et lin´earisation ............................ 82
4.11.1 Inconv´enients de la m´ethode indirecte................ 84
4.12 Stabilit´e exponentielle.................................... 84
4.13 Th´eor`eme d’invariance de LaSalle.......................... 85
4.13.1 Ensemble invariant ............................. 85
M
4.13.2 Ensemble d’annulation de la d´eriv´ee de la fonction de
Lyapunov ........................................ 86
4.13.3 Exemple : le pendule simple ........................ 87
4.14 M´ethodes de construction des fonctions de Lyapunov......... 91
4.14.1 M´ethode de Krasovskii............................. 92
4.15 M´ethode du gradient variable ............................. 92
XII Table desmati`eres
4.16 R´esultat d’instabilit´e 1 ................................... 95
4.17 R´esultat d’instabilit´e 2 ................................... 95
4.18 R´esultat d’instabilit´e 3 : th. de Chetaev .................... 96
4.19 Techniques de comparaisonet majoration................... 97
4.19.1 Les formes quadratiques............................ 98
4.19.2 Inflation et d´eflation ............................... 99
4.19.3 Le d´eveloppement limit´e ...........................100
4.19.4 La r´eintroduction de V .............................100
4.19.5 L’´equation int´egrale associ´ee........................101
4.19.6 Quelques in´egalit´es standards .......................103
Exercices ...................................................105
5 Passivit´e...................................................107
5.1 Notion intuitive .........................................108
5.2 Exemple de syst`eme statique passif ........................108
5.3 Syst`eme statique passif...................................109
5.4 Exemple de syst`eme dynamique passif......................109
5.5 D´efinition diff´erentielle de la passivit´e ......................111
5.6 Propri´et´es ..............................................111
5.6.1 Connexion parall`ele................................112
5.6.2 Connexion par r´etroaction..........................113
5.6.3 D´efinition int´egrale de la passivit´e ...................114
5.7 Passivit´e des syst`emes lin´eaires SISO.......................114
5.7.1 Preuve du lien entre passivit´e et r´eponse harmonique
positive r´eelle .....................................116
5.8 Syst`eme r´eel positif ......................................118
5.8.1 Degr´e relatif et minimum de phase ..................119
5.8.2 Lien entre Lyapunov et syst`eme RP .................122
5.9 Stabilit´e absolue.........................................128
5.9.1 Non-lin´earit´e statique de secteur ....................128
5.9.2 D´efinition de la stabilit´e absolue.....................128
5.9.3 Conjecture de M. A. Aizerman......................130
5.9.4 Crit`ere du cercle ..................................130
5.9.5 Crit`ere de Popov ..................................135
Exercices ...................................................136