Introduction a la theorie des points critiques: et applications aux problemes elliptiques (Mathematiques et Applications) (French Edition)

331 Pages·1994·4.37 MB·French

by  Otared Kavian

Otared Kavian
Introduction a` la
Th´eorie des
Points Critiques
et Applications aux Probl`emes Elliptiques
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg NewYork
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HongKong Barcelona
Budapest

Avant propos
Les pages1 quisuiventsontle d´eveloppementd’uncours deDEAenseign´epen-
dantlesann´eesuniversitaires1987–1988et1991–1992a`l’Universit´edeNancyI.
Ilnousasembl´eutilederegrouperdansunpremierchapitreintitul´eQuelques
outlis de base divers r´esultats qu’il est bon de connaˆıtre lorsque l’on aborde
l’´etude des probl`emes semilin´eaires soit par les m´ethodes variationnelles, soit
par d’autres m´ethodes. Nous n’avons pas h´esit´e, au risque de paraˆıtre trop
´el´ementaire,a`rappelerdesr´esultatsquisontpeut-ˆetreduniveaud’unetroisi`eme
ouquatri`emeann´eed’´etudesuniversitaires.Cependantlelecteurint´eress´eparles
m´ethodesvariationnellespeutsurvolerlesdeuxpremierschapitresetcommencer
son´etude par le chapitre 3.
Nousdevrions´egalementinsistersurlefaitquecesnotessontdestin´eesavant
tout aux ´etudiants et chercheurs de diff´erents niveaux qui commencent l’´etude
des techniques de points critiques. Par cons´equent sur bon nombre de points
il n’y a pas de r´ef´erence aux derniers r´esultats connus et nous ne dressons
pas l’´etat de l’art. C’est aussi la raison qui nous a pouss´e a` inclure un grand
nombre d’Exercices comme des compl´ements de cours ou des pr´etextes a` un
entraˆınement. Malheureusement, faute d’espace et contrairement a` notre inten-
tion de d´epart, nous n’avons pas pu inclure un chapitre d’Indications pour la
r´esolution des exercices ni un chapitre de Solutions.
Les diff´erents lemmes, propositions, th´eor`emes, corollaires, exemples et re-
marques d’une part, et les formules d’autre part, sont num´erot´es dans chaque
chapitre, par paragraphe, de mani`ere s´equentielle. Par ailleurs une r´ef´erencedu
type “lemme 1.4.8” ou bien “l’´equation 3.(9.4)” se reporte au lemme 4.8 du
chapitre 1 ou a` l’´equation (9.4) du chapitre 3.
Je dois remercier mes amis Philippe Bougerol, Thierry Cazenave, G´erard
Kerk Yacharian, Claude Morlet, Bernard Roynette avec qui j’ai eu des discus-
sionsplusoumoinsnombreusesettoujoursfortutileslorsqu’ilsm’ontfaitpartde
leursentimentdenon-sp´ecialistesdesm´ethodesvariationnelles,ainsiqueBopeng
Rao qui m’a fait l’amiti´e de lire une grandepartiede la premi`ere version.Elisa-
beth Rouy, avec une patience et une efficacit´e sans pareilles, a enti`erement relu
letexte etm’a sugg´er´edenombreusesam´eliorationsdestyle;je suis n´eanmoins
leseulresponsabledeserreursetimperfectionsquel’onrencontreraparlasuite.
1 Cet ouvragea´et´e r´edig´e avec l’aide duMinist`ere de l’Enseignement Sup´erieuretde
la Recherche,D´el´egation a` l’InformationScientifiqueetTechnique(DIST).
VI Avant propos
Jean Michel Coron m’a sans cesse encourag´e de terminer la r´edaction de ces
notes, et a toujours fait semblant de me croire lorsque je lui disais qu’il aurait
les notesd´efinitives dans deux outroismois, promessesqui ont´et´e r´ep´et´eesune
dizaine de fois... Je lui exprime ici toute mon amiti´e, et je le remercie pour les
remarques qu’il a faites sur divers points du texte qui suit. Enfin je remercie
Henri Berestycki et Thierry Gallou¨et qui ont soutenu le projet de parution de
ces notes dans la collection de la SMAI.
Je ne pourrais pas finir cet Avant Propos, sans exprimer toute ma tendresse
pourElisabeth,AzadehetNiloufarquiontnotammenttol´er´equelepetitbureau
familial soit envahi par une multitude d’articles, de notes et de brouillons :
Niloufar a toujours pens´e que le bureau ´etait suffisamment ordonn´e, Azadeh a
rang´e r´eguli`erement, souvent trop bien, et enfin Elisabeth s’y est r´esign´ee avec
philosophie.
O.K.
Nancy, le 20 Juillet 1993
Table des mati`eres
Avant-propos .................................................. v
Chapitre 1. Quelques outils de base ............................ 1
1. Motivations ............................................. 1
2. Espaces r´eflexifs, espaces de Hilbert ........................ 5
3. Espaces de fonctions continues ............................ 7
4. Quelques crit`eres de convergence ........................... 9
5. Th´eor`emede changement de variable ....................... 14
6. La mesure superficielle ................................... 18
7. La formule d’int´egration par parties ........................ 19
8. Espaces de Sobolev ...................................... 23
9. Op´erateurselliptiques du second ordre ..................... 38
10. Principes du maximum ................................... 42
11. Th´eor`emes de r´egularit´e .................................. 44
12. Valeurs propres .......................................... 48
13. D´eriv´ees et points critiques ............................... 52
14. Multiplicateurs de Lagrange ............................... 55
15. Fonctions convexes ....................................... 58
16. Quelques op´erateurscontinus .............................. 60
17. Quelques fonctionnelles diff´erentiables ...................... 63
Exercices du chapitre 1 ....................................... 70
Chapitre 2. Le degr´e topologique .............................. 97
1. Degr´e topologique de Brouwer ............................. 97
2. Propri´et´esdu degr´e ...................................... 102
3. Quelques applications .................................... 107
4. Le genre ................................................ 115
5. Degr´e topologique de Leray-Schauder ...................... 120
6. Propri´et´esdu degr´e de Leray-Schauder ..................... 125
7. Exemples d’application ................................... 126
Exercices du chapitre 2 ....................................... 131
Chapitre 3. Points critiques sans contrainte .................... 135
1. Fonctionnelles minor´ees ................................... 135
2. Exemples d’application ................................... 139
VIII Table des mati`eres
3. Le th´eor`emede Ky Fan-von Neumann ...................... 145
4. Une application du th´eor`emede min-max ................... 149
5. Ensembles de niveau et points critiques ..................... 153
6. Condition de Palais-Smale ................................ 156
7. Le lemme de d´eformation ................................. 164
8. Le th´eor`emedu col ...................................... 169
9. Points critiques multiples ................................. 175
Exercices du chapitre 3 ....................................... 185
Chapitre 4. Points critiques avec contraintes ................... 195
1. Pourquoi des contraintes ? ................................ 195
2. La condition de Palais-Smale .............................. 199
3. Champ de pseudo-gradient tangent ........................ 204
4. Le Lemme de d´eformation ................................ 207
5. Quelques applications du principe de min-max .............. 209
Exercices du chapitre 4 ....................................... 216
Chapitre 5. Fonctionnelles sans sym´etrie ....................... 223
1. La situation du probl`eme ................................. 223
2. Perturbations de fonctionnelles paires ...................... 224
3. Comportement des valeurs critiques ........................ 228
4. Un probl`eme semilin´eaire non homog`ene .................... 233
5. Probl`emes de demi-valeurs propres ......................... 239
6. Existence de demi-valeurs propres ......................... 242
Exercices du chapitre 5 ....................................... 245
Chapitre 6. Probl`emes sans compacit´e ......................... 249
1. Compacit´e des fonctions a` sym´etrie sph´erique ............... 250
2. L’identit´e de Pohoˇzaevet ses cons´equences .................. 253
3. Sym´etrisation de Schwarz ou r´earrangement ................. 259
4. Existence d’un ´etat fondamental ........................... 266
5. Le Cas de la dimension deux .............................. 276
6. Le lemme de Lieb ........................................ 279
7. Une application du lemme de Lieb ......................... 280
8. La m´ethode de concentration-compacit´e .................... 285
9. L’exemple de l’´equation de champ ......................... 294
10. L’exposant limite de Sobolev .............................. 298
Exercices du chapitre 6 ....................................... 302
Bibliographie .................................................. 311
Index des notations ............................................ 320
Index .......................................................... 321
1
Quelques outils de base
1. Motivations
La r´esolution de l’´equation Ax b = 0 ou` A, une matrice sym´etrique d’ordre
−
n 1, et b Rn sont donn´es, revient a` chercher un point x0 Rn tel que la
≥ ∈ ∈
d´eriv´ee de la fonction
1
x (Axx) (bx)
$→ 2 | − |
s’annule en x0 (ou` par ( ) on d´esigne le produit scalaire de Rn). Ce point de
·|·
vue, qui en apparence semble plus laborieux (du moins dans le cas ou` n=1), a
l’avantage de se g´en´eraliser a` un grand nombre de probl`emes lin´eaires ou non-
lin´eairesdansuncadreabstrait;d’autrepart(consid´ererlecasou` n 2surcet
≥
exemple), au lieu d’´etudier l’op´erateur x Ax b de Rn dans Rn on ´etudiera
$→ −
unefonctiondeRn a`valeursdansR,cequipourraitˆetreplussimple.Parailleurs
ungrandnombred’´equationsauxd´eriv´eespartiellesd´ecrivantdesmod`elesdela
physique,delachimieoudelam´ecaniquepeuventˆetre´etudi´eesaveccepointde
vue : par exemple une solution qui correspond a` un´etat d’´equilibreest obtenue
comme un point de minimum d’une fonctionnelle d’´energie.
Cette approche variationnelle a ´et´e notamment employ´ee pour la r´esolution
de l’´equation de Laplace qui intervient en particulier en ´electro-statique et, en
fait,sur cetexempleonvoitpr´ecis´ementletype dedifficult´esquel’onrencontre
dans le calcul des variations (voir R. Courant [49] ou` on trouvera´egalementles
probl`emesli´esauxapplicationsconformesetauxsurfacesminimales).SoitΩ un
domaine born´ede R3 de fronti`ere∂Ω. Si ϕ est une fonctioncontinued´efinie sur
∂Ω, il s’agit de r´esoudre:
∆u=0 dans Ω
(1.1) −
u=ϕ sur ∂Ω.
!
Comme on l’a remarqu´e depuis Gauss, lord Kelvin et Dirichlet, en posant :
J(v):= v(x)2dx, K := v C2(Ω); v =ϕ sur ∂Ω ,
0
|∇ | ∈
"Ω
# $
si l’on parvient a` trouver une fonction u K telle que J(u) J(v) lors-
0
∈ ≤
que v parcourt K , alors u est solution de (1.1). En effet, pour toute fonction
0
w C2(Ω) et tout t>0 on a u tw K et :
∈ c ± ∈ 0
2 Chapitre 1. Quelques outils de base
J(u) J(u tw)=J(u) 2t u(x) w(x)dx+t2J(w),
≤ ± ± ∇ ·∇
"Ω
ce qui entraˆıne que tJ(w) 2 u(x) w(x)dx 0. En faisant tendre t vers
± Ω∇ ·∇ ≥
z´ero et finalement par int´egrationpar parties on voit que :
%
0= u(x) w(x)dx = ∆u(x) w(x)dx.
∇ ·∇ − ·
"Ω "Ω
Commecela estvraipour tout w C2(Ω), onen conclut,enfin decompte,que
∈ c
∆u=0 dans Ω ; par ailleurs puisque u K , on a aussi u=ϕ sur le bord ∂Ω,
0
∈
et par cons´equent u est solution de (1.1).
Lefaitquel’onpuissetrouverlasolutionde(1.1)parceproc´ed´ea´et´eutilis´e
par Riemann, qui l’a appel´e principe de Dirichlet, alors que la fonction J porte
lenomdel’int´egrale de Dirichlet.CependantWeierstrassaobject´een1869qu’il
y avaitunefailledansleprincipe deDirichlet.Eneffet,s’ilestvraiquela borne
inf´erieure
α:= inf J(v),
v∈K0
est un r´eel positif ou nul, il n’est pas du tout clair pourquoi elle serait atteinte.
Autrement dit, il n’est pas ´evident qu’une suite minimisante (u ) de K , i.e.
n n 0
telle que u K et J(u ) α, converge dans l’ensemble K , ni mˆeme qu’elle
n 0 n 0
∈ →
soit born´ee dans l’espace C2(Ω). En fait, dans certains cas, on sait montrer
que (1.1) admet une solution qui n’appartient pas a` K ce qui, compte tenu de
0
l’unicit´e de la solution, montre que la borne inf´erieure α n’est pas atteinte.
En v´erit´e, si le principe de Dirichlet donne un moyen ´el´egant pour r´esoudre
l’´equation de Laplace (1.1), une premi`ere difficult´e est de choisir l’ensemble K
0
ou` onvaminimiserlafonctionJ,etladifficult´eessentielleestdemontrerquela
borne inf´erieure est atteinte, i.e. que α est un minimum. Pour montrer qu’une
borne inf´erieure est atteinte, on doit disposer de crit`eres de compacit´e assur-
ant que les suites minimisantes sont relativement compactes pour une certaine
topologie, suffisamment riche et maniable pour ˆetre exploit´ee dans le cadre de
la fonctionnelle a` minimiser. Par exemple, dans le cas ci-dessus, il faudra rem-
placer dans la d´efinition de K , l’espace C2(Ω) par l’espace de Hilbert obtenu
0
en compl´etant C2(Ω) pour la norme :
1/2
v := v(x)2+ v(x)2 .
1,2,Ω
( ( |∇ | | |
&"Ω )
’ (
Aux chapitres 3, 4 et 6 nous ´etudierons la minimisation de fonctionnelles, sous
diverses hypoth`eses concernant la fonctionnelle ou l’ensemble ou` on cherche le
minimum.
Un autre exemple ou` les m´ethodes variationnelles constituent un bon cadre,
c’est lorsque l’on souhaite montrer la multiplicit´e de solutions, par exemple
l’existence d’une infinit´e de solutions, comme dans le probl`eme suivant. Sup-
posons que Ω est un ouvert r´egulier de R3 et que l’on s’int´eresse a` la question
de savoir si l’´equation :
1. Motivations 3
§
∆u=u3 dans Ω
(1.2) −
* u=0 sur ∂Ω.
admet des solutions non-triviales (ou non-banales), i.e. des solutions diff´erentes
de la solutionnulle.Un moyensimple pour voirl’existenced’aumoinsune solu-
tion,estdeconsid´ererl’int´egraledeDirichletJ,d´efinieplushaut,surl’ensemble:
S := v H1(Ω); v4(x)dx=1 .
∈ 0
! "Ω +
Icil’espaceH1(Ω) estl’espacedeHilbertdefonctionsou` l’int´egraledeDirichlet
0
peut ˆetre consid´er´ee comme le carr´e d’une norme, plus pr´ecis´ementle compl´et´e
de C1(Ω) pour la norme . Alors, en montrant que la borne inf´erieure :
c (·(1,2,Ω
λ:= inf J(v)
v S
∈
est atteinte en un point v S, on peut montrer qu’il existe un multiplicateur
0
∈
de Lagrange µ R tel que :
∈ ∆v =µv3.
− 0 0
Enmultipliant(ausensduproduitscalairedeL2(Ω))lesdeuxmembresdecette
´egalit´e par v et en effectuant une int´egration par parties, on voit que :
0
λ=J(v )= v (x)2dx= ∆v (x) v (x)dx
0 0 0 0
|∇ | − ·
"Ω "Ω
=µ v4(x)dx=µ.
0
"Ω
Cela implique que µ = λ > 0, et en posant u := µ1/2v , on peut v´erifier que
0 0
u 0 est solutionde (1.2).Noter qu’icila constructiondeu par homoth´etie a`
0 0
)≡
partirdev estrenduepossibleparcequelanon-lin´earit´eu u3 esthomog`ene.
0
$→
Expliquons pourquoi on s’attend a` ce que (1.2) admette une infinit´e de
solutions. Sur l’espace ’2 := ’2(N) des suites de carr´e sommable, consid´erons
l’op´erateur:
Au:=((n+1)2u )
n n 0
≥
d´efini sur le domaine D(A) := u ’2 ; Au ’2 . Pour u ’2, d´esignons par
∈ ∈ ∈
u3 la suite d´efinie par : u3 := (u3) . Alors l’´equation (1.2) ressemble d’une
#n n≥0 $
certaine mani`ere a` :
Au=u3
(1.3)
u D(A).
! ∈
On voit tout de suite que si e := (δk) , alors pour tout k 0 la suite
k n n≥0 ≥
u:=(k+1)e est solution de . On peut consid´erer que e minimise la fonction
k k
v (Av v) sur l’ensemble
$→ |
∞
M := v ’2 ; v =0 pour 0 i k 1, et v 4 =1 ,
k i i
* ∈ ≤ ≤ − | | -
i=k
,
4 Chapitre 1. Quelques outils de base
et quela valeurde ce minimum estpr´ecis´ement(k+1)2 ; ensuitepar leproc´ed´e
d’homoth´etie que nous venons de signaler on v´erifie que (k+1)e est solution
k
de (1.3).
Naturellement l’´equation (1.2) ne se prˆete pas aussi simplement a` l’´etude,
mais cependant l’id´ee de trouver des solutions en construisant des valeurs cri-
tiques pour l’int´egrale de Dirichlet J(v) sur des ensembles topologiquement
diff´erents peut ˆetre conserv´ee. Pour l’´equation (1.3) les ensembles M sont
k
toplogiquement diff´erents en ce sens que l’espace vectoriel engendr´e par M
k
est de codimension k. Nous verrons que pour (1.2) la notion ad´equatepour dis-
tinguer topologiquement les ensembles n’est plus celle d’ˆetre de codimension k,
mais plutoˆt celle d’ˆetre de genre k.
Danslecoursquisuit,nousnetraitonssyst´ematiquementquedesprobl`emes
semilin´eairesfaisantintervenirle laplacienou unop´erateurauto-adjointd’ordre
deux (et le plus souvent avec la condition de Dirichlet) ; mais un examen
rapidedesm´ethodesemploy´eespermetdevoirquebeaucoupd’autresprobl`emes,
ou` l’op´erateur sous-jacent est auto-adjoint, peuvent ˆetre trait´es par les mˆemes
proc´ed´es (en particulier les probl`emes faisant intervenir le bilaplacien ∆2 pour
les probl`emes de plaques, le p-laplacien div( up 2 u), un grand nombre de
−
|∇ | ∇
probl`emes vectoriels, etc.).
Dans la suite de ce chapitre nous regroupons quelques r´esultats de base qui
serontutilis´esdansleschapitressuivants,ouqu’ilnoussembleutiledeconnaˆıtre
pour ´etudier les probl`emes non-lin´eaires. Par commodit´e nous avons inclus des
r´esultats qui sont en r`egle g´en´erale suppos´es acquis ou du domaine du grand
public,maisdontiln’estpasfaciledetrouverdanslesmanuelslespluscourants
une d´emonstration accessible. Certains r´esultats ´enonc´es mais non d´emontr´es
dans le texte sont trait´es sous forme d’Exercices a` la fin du chapitre.
Au chapitre 2 nous introduirons la notion de degr´e topologique qui permet
de montrer entre autres choses le th´eor`eme de Borsuk-Ulam qui conduit a` la
d´efinition du genre. Nous donnerons ´egalement dans la liste des Exercices un
certain nombre de cas ou` on peut utiliser la notion du degr´e topologique pour
r´esoudredes ´equations semilin´eaires.
Lechapitre3estconsacr´eauxprobl`emesdeminimisationsanscontrainte(ou
avec une contrainte convexe), et plus g´en´eralement on y aborde les techniques
de recherche de points critiques pour des fonctionnelles d´efinies sur un espace
de Banach, sans imposer de contrainte. Comme exemple d’application de ces
techniques nous r´esoudrons quelques probl`emes semilin´eaires du type ∆u =
−
g(x,u). Au chapitre 4 nous aborderons une ´etude analogue mais sur diff´erents
types de contrainte.
Auchapitre5 nous´etudieronsquelquesprobl`emessanssym´etrie,ou` onpeut
montrer n´eanmoins l’existence de solutions multiples. Enfin au chapitre 6 nous
aborderons les probl`emes de minimisation sans compacit´e.