Table Of ContentMATE MATICA
SUPERIOR
PR0BLEMA5
RESUELTOS
I. I. Liashko, 4. K. Boiarchuk
Id. C. Gai, G. R Colovath
Analisis matematico
Introduction il analisis
Calculo diferencial para
hinciones de una variable
TEMATI/IKA
URSS
M, HJiuitiM), A. K lioup'iyK, M. f. I . Jl. I oiroim'i
Cii|M»o*nmu uocofine iio iibicmcti MaTCivurriiKc*rIV>M I. Macii> 1.
MhtcmsithmcckhMi imiuiifi: iiiicjieiiHi 11 uiiujih3, npoH3uo;uiitH
L L Litishkfi, A, K. Haiti relink, hi, G, Gai, G. R Golovach
Matemitica superior Problemas resueltos. Tonio 1. Analisis matematico:
introduccidn al anjlisis y calculo diferencial para funriones de una variable
Traduction de la cuarta edition rusa (1997)
Esta serie consta de ocho volumenes- Los cuatro primeros tomos con Jos que se abre esta obra,
cstan dedicados al estudio practico de las funriones, las sucesiones, las series, el calculo diferencial e
integral de las f unciones de una y varias variables; en ellos se presentan soluciones completamente
detalladas de los problemas expuestos en el famoso libra de B. P. Demidovich.
En los tomos 5 y 6, aparte de una detaliada exposition de la teorfa de las funciones de variable
compleja, se resuelven escrupulosamente cerca de 400 problemas, muchos de los cuales aparecen en
la inmortal coleccion del matematico sovietico L. L Volkoviski Ademas de los temas caractensticos
de los cursos de este tipo, en esta parte de la obra se hallan cuestiones menos comunes como son la
integral de Newton—Leibniz y la derivada de Fermat—Lagrange. Se presta una especial a tend on a
las aplicaciones conformes.
En aproximadamente 800 problemas resueltos paso a pa so, los tomos 7 y 8 abarcan todos los topicos
del curso habitual de la teona de las ecuaciones diferenciales. En cada seccion se expone el nunimo
teorico estrictamente necesario para la resoluci6n de los problemas correspondientes; muchos de
estos aparecen en la genial coleccion de A. F.Filfppov. Asimismo, en estos volumenes se analizan
toda una serie de temas bastante atlpicos para libros de esta clase (teona de la prolongation de la
solution del problems de Cauchy, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden
no lineales, algunos metodos numericos para la resolution de ecuaciones diferenciales, aplicacion de
los criterios de existencia de los ciclos limites en el piano fasico, etc.).
En la edicion de este libro participaron;
Director Domingo Marin Ricoij
Vicedirector Natalia Finoguienova
Director de production Irina Makieeva
Director de sistemas Viktor Romanov
Traduction Viktoria Malishenko, Konstantin Miedkov y Maria Andridnova
Diseno Viktor Romanov y Vasili Podobied
Enmaquetacion Natalia Beketova
Procesamiento de texto Svietlana Bondarenko y Anna Tiiirina
Correction Igor Korovin, Larisa Kirdidshkina y Luis Rodriguez Garcia
Realization tecnica Natalia Arincheva y Elena Logvinova
Rcservados todos los derechos en todos los idiomas y en todos los pafees del mundo. Quedan rigurosamente
prohibidas, sin la autorizacion escrila del titular del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes,
la reproduction total o partial de esia obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografia
y el tratamiento in forma tico, y la distribution de ejemplares de ella mediante alquiler o prestamo publico.
ISBN 5-88417-183-8 (Obra completa)
5^88417-184-6 (Tomo 1)
Editorial URSS
http:// urssjsa.ac.ru €> Editorial URSS, 1999
De la editorial
Los cuatro prinieros iomos que abren la seric
"Ma tenia lica superior. Problemas resueltos", soil
la traduccion al castellano de la obra "Manual
de cons Li It a de analisis matemitico", bautizadn
por los estudiantes sovieticos con el seudotitulo
de "Anti-Demido vich".
Las dos prim eras ediriones fueron rcali-
zadas durante la existencia de la Union Sovietiea
con una tiiada total de mas dc 200 mil ejern-
plares. tin 1995, tras un gran intervalo de a us en-
da en li brer fas y bibliotecas, Editorial URSS y
el colectivo de autores acordaron no s61o limi-
tar.se a llevar a cabo la tcrcera edition (revisada
y ampliada) del "Anti-Demidovich", sino crear
ademAs un proyecto que de algiin modo de-
sarrollase en otras rainas de ia matematica el
camino ma read o por el "Anti-Demidovich". Asf
nacio la serie "Mateniatiea superior. Problemas
resueltos", la cual asimismo incktye, por a bo-
ra, dos lomos sobre la teorfa de la variable
compleja y dos tomos sobre la feorfa de las
ecuaciones diferenciales. li.stas partes de !a serie
ban sido denominadas, respect iv a mcnte, "Anti-
Voikoviski" y "Anti-Filfppov" no solo debido a
que muchos de los problemas que en el las se
presentan aparecen enunciados en las magnifi-
cas colecciones de problemas de L. 1. Volkoviski
y A. F. Fitfppov, sino tambicn como un sfmbolo
de reconocimiento a cstos autores.
Moscil 1999
C a p i t u l o 1
Introduccion al analisis
§1. Elementos de la teoria de conjuntos
1.1, Sfmbolos logicos
Frecuentemente, en las matenititicas algunas exprcsiones verba tes se sustituyen
por sfmbolos. Asf, por ejcmplo, el snnbolo V sustituye a la expresion "para to do" o
"t ualquiera que sea", y el simbolo 3, a la expresi6n "existe". Los sfmbolos V y 3 se llaman
fiumtificadores.
La notacion A B (implication) quiere deck que la validez del enunciado A
predetermina la validez del enunciado B. Si, ademas, de la.validez del enunciado B se
deduce la validez de A, cscribimos A & B. Si A B, el enunciado B es condicion
neeesaria y sufiricntc para que se cumpla la afirmacion A.
Si las a firmadones A y B son simullAneamente validas, so cscribe A A B. Si a I
menos una de las a firmadones es valida, se denota A V B.
1.2. Opcraciones con conjuntos
El concepto matemitico de conjunto de elementos se considers ra intuitive. Un
conjunto se define por una regla o un criterio con forme al cual se determina si un elemento
dado perlencce o no al conjunto.
Los conjuntos se designan mediante el sfmbolo A = {a:}, dortde x es la notacion
general para todos los elementos del conjunto A, Frecuentemente los conjuntos sueten
escribirse de la forma A — {a, fe, ..}, donde entre Ilaves van indieados sus elementos.
Usaremos las notaciones siguientes:
N, conjunto de los numeros naturales;
%, conjunto de los numeros enteros;
Q, conjunto de los numeros racionales;
R, conjunto de los numeros rcales;
C, conjunto de los numeros complejos;
Zn, conjunto de los numeros enteros no negativos.
La notacidn a C. A (o A 3 a) significa que el elemento a pertenece al conjunto A.
La notacion a g A {o A 2 a) significa que el elemento a no pertenece a I conjunto A.
Si cada uno de los elementos dt; un conjunto B, pertenecen a un conjunto A, se dice
que B es un subamjunto del conjunto A, y en ese caso se escribe B C A {o A D B) (fig, 1).
N6tese que VA se verifica que A C A, pues, naturalmente, todo elemento del conjunto A
6
Gipilulo I. I iiL iocU kcioii «i1 <111 ill is is
pcTtenive a A. lil conjunto vaeio, es decir, el conjunto quo no contiene ningun elemento,
se dcnotnrd con el simbolo 0. Cualquier con junto contiene a I conjunto vacio como uno de
sus subconjuntos*
Be. A
Fig.l Fig. 2.
Definition 1, Si A C B A B C A, los conjuntos A y B se denominan conjuntos
iguales, y se escribe A — B.
Definicion 2, Sea A C J - El conjunto de elementos del conjunto J no pertenecien-
tes a A, se llama complemento del conjunto A respecto al conjunto J (fig. 2).
El complemento del conjunto A respecto al conjunto J se designa con el simbolo
CjA; tambi^n puede escribirse de forma mas simple, CA, siempre que se sepa respecto a
que conjunto se toma el complemento. De este mo do,
CjA=^ {x:x € J Ax £ A},
Si A C J y B C J, el complemento del conjunto B respecto al conjunto A se llama,
a veces, diferencia de los conjuntos A y B y se representa por A \ B (fig. 3), es decir,
A \ B ^={x:x G A Ax g B}.
Sean A y B subconjuntos del conjunto J.
Definicion 3. Se denomina union de los conjuntos A y B al conjunto (fig. 4)
A U B = {x : x e A V x £ B}.
AuB AnB AAB
Fig. 3. Fig. 4. Fig. 5. Fig. 6.
Por analogia, si Aj j — n son subconjuntos del conjunto J, la union de los
f t
mismos es el conjunto
n
( I Aj - {x : X e Al V X e A V ... V as G A }.
2 n
j-1
Definicion 4, Se denomina intersecciim de los subconjuntos A y B al conjunto
fj 1. IdemontoM do la leorfa <lc (onjuulnr. 7
11
Por analogfa, nn\liante el simbolo f) 4/ se designs! Li intersecdon do los mi boon
i .1
juntos Aj C J , j — 1,11, es decir, el conjunto
it
Aj = {a;: x G Ai A x £ A-> A ... A a; 6
j=i
Si cada elemento /tfMse pone en correspond enda con un cierto conjunto A , se
fl
dice que esta definida una familia de conjuntos {A }, ji € M. En este caso, el conjunto
jt
(J Ap = {todos los x tales que x t A al menos para algdn [i € M} se denomina unidn
(1
K M
de la familiu de conjuntos {A^}, ft <?_ M; el conjunto — [x : x F A V/j. Q M} ye
fl
llama intersection de esta familia.
Definicion 5. Se denomina diferencia simehiai de dos conjuntos A y B al conjunto
determinado por la uni6n de Lis diferencias A\B y B \ A (fig. 6).
La diferencia simetrica se denola con el simbolo A A B.
Definicl6n 6. Dos elementos a y ft se denominan par ordenado, si se indica cuSI
de dichos elementos es el primero y cual es el segundo, y, ademas, se verifica que
{{a, b) = (c, (J)) (a ~cAb~ d).
Un par ordenado de elementos a y b se denota con el simbolo (a, 6).
De modo analogo se define un sistema ordenado de n elementos a.\, «2) (cid:129) (cid:129) (cid:129), a„,
el cual se designa con el sfinbolo {(ii <i2,..., a,,)- Los elementos «i, aj,..., a se llaman
T n
coordenadas del sistema ordenado (flj, a,..., a,J,
2
Definicion 7. El conjunto de todos los pares ordenados posibles (a, 6), donde
a G A, b EE B, se denomina producto de los conjuntos A y B y se designa con el simbolo
AxB.
Analogamente, mediante el simbolo A\ X A X (cid:129) (cid:129) (cid:129) X A se designa el producto dc
2 tl
los conjuntos Aj C J , j = 1. n, es dedr, el conjunto dc todos los sistemas ordenados
posibles (oi, a?,..., a ), donde aj £ Aj, j = 1, n.
n
1.3. Algebra tie Boole
Sean A, B y D subconjuntos arbitrarios del conjunto J . De esta forma, de
las definiciones de union, intersection y complemenlo se deducen iumediatamente las
afirmaciones siguientes:
1) A u B C J , A n B C J {caracter interno de las operationes de union e
interseccion);
2) A U B — B U A, A n B = B n A (conmutatividad de las operaciones de union
e interseccion);
3) A U (B U D) = (A U B) U D, A n (B H D) - (A n B) n D (asociatividad do las
operaciones de union c interseccion);
4) A U (B n D) = {A U B) n (A U D) (distributividad de la operation de union
respecto a la operation de interseccion);
A ft {B U D) = (A D B) U (A n D) (distributividad de la operation de
interseccion respecto a la operation de nmon);
5) ADA — A n >4 - A;
6} 0 U S = S)#(An£#A);
7) A U 0 = A, A n J - A, A n 0 = 0, A U J = J)
8) A U CA ~ J , An QA — 0.
K C'iipftuJo I. (ntroduccion al aruilisis
Si para los elementos de un conjunto a = {A, B C,.*.} estan definidas las
}
operaciones de union U y do intersection n, las cuales verifican las relaciones l)-8), la
lema (cr, U, n) se denomina algebra de Boole. De este modo, si cr es una familia de todas
las partes del conjunto J , entonces U, Pi) es un algebra de Boole.
1.4. Principio de dualidad
Para cualquier par de conjuntos Ay B del conjunto J se verifican las igualdades
C (A U B) = CA fl CB C(Af)B) = CA U CB. (1)
t
Las propiedades expresadas por las igualdades (1) se denominan principio de duali-
dad. Verbalmente dichas igualdades pueden enunciarse del modo siguiente: el complemento
de la union de los conjuntos es igual a la interseccion de sus complements, y el complemen-
to de la interseccion de los conjuntos es igual a la unidn de sus complementos. El principio
de dualidad se extiende sin dificultad alguna a un numero arbitrario de subconjuntos A^;
en este caso se escribe
/t fi $ p
Es decir, al intercambiar entre si el orden en que se escribe el simbolo de complemento C y el
simbolo U (o bien el fl), este ultimo se transforms en el fl (en el U, correspondientemente),
1.5* Algebra de conjuntos
Sea J un conjunto y P(J), el sistema de todos los subconjuntos del conjunto J .
C
Definicion 1. Una familia no vacfa R P{J) en donde la union, interseccion y
diferencia de conjuntos son operaciones internas, se denomina anillo de conjuntos.
Definicion 2* Un conjunto E se llama unidad de la familia de conjuntos £ si E £ S
y VA G 2 se verifica la igualdad A n E ~ A.
Definicion 3. Un anillo de conjuntos que contiene a la unidad como uno de sus
elementos se denomina algebra de conjuntos*
Definicion 4. Una familia de conjuntos S C P{J) se denomina semianillo si
contiene al conjunto vacio y V4 G S y VAi C A existen conjuntos A , .., A G S tales
2 n
que
A = At U A \J . (cid:129). U 4
2
donde el simbolo U designa la union de conjuntos disjuntos.
1* Demostrar la validez de las afirmaciones l)-8) del p. 1.3.
Solucion. 1) Conforme a la definicion 3 del p. 1.2 se tiene
AUB ^{xe J :x € AV x € B},
y, por consiguiente, de la inclusion x G A U B se deduce que x G J , es decir, A U B C J .
Analogamente, segun la definicion 4 del p, 1.2
Af)B = {x € J :x e AAx £ B},
por lo cual de la inclusion x G A fl B resulta la inclusion A fl B C 3.
2) Dado que la afirmacion x Q Av x € B e s estrictamente equivalente a la afirma-
cion x £ B\f x G A, resulta
A\jB = {xeJ:xeAVx£B} = {xeJ:x€BVx€A}=BuA.
La seeunda imialdad se demupstra de modn analnpn.
fi i. ElomcntiK) tie l.i teorfn de mnjuiKnu
3) En virhid de las propiedades del sfmbolo fftgicti v, se lieru*
A l J {B U D) = fit G J : x G A V x G {B U D)} .|g £ J : m fc A V (a 6 BV xGD)} -
{.r £ J : (x € 4 V at G If) V x £ D) = 6 J : a; 6 (4 U fl) V ar £ D> = (.A U B) U O.
I a sejjunda igualdad de 3) se dcmuestra de modo ana logo.
4) Tenemos que
A U {B D D) = {x € J : x £ A V X £ (B n D)} =
{.r £ J : x £ A V (a; 6 B A x £ £>)> = {a; £ J : (as G A V a; G B) A {a £ A V x £ £>)} ~
= {« € J : (x € U B) A (a: 6 >1 U D)} = {A U B) fl [A U D).
I ,a segunda igualdad se dcmuestra de modo analogo.
5) Sea x £ A U A, entonces ai G A A x G A, es decir, x € A y, por tanto, se verifica
la inclusion A U A C A. La inclusion invcrsa A C A U A se deduce inmediatamente de In
definition dc union. De las dos ultimas inclusiones se obticne la igualdad A U A = A.
La igualdad A n A = A se dcmuestra dc modo analogo.
6) Supongamns Ucita la igualdad A n B = A. Entonces
(A n B = A) m (A C A n fl) s> (A C fl).
IJtilizando la inclusion obtenida hallamos que
A U B ^ {X e J : x £ AV x € B} C {x € J : x <E B V x £ B} = B,
y, como A U fl J B, vemos que A U B = B, Dc este modo,
(A n B - A) => (AU B = B). (I)
Sea ahora A U B = B. Oil este caso son v,ilidas las implicaciones
{A U fl = fl) => (A U B C B) ^ (A C B).
limpleando la inclusion A c fl obtenemos
A n B = € J : x e A Ax e 3 {« G 3 : X G A A x = A.
Dado que tambien es v<5Iida la inclusion inversa A D fl C A, entonces A fl B = A y, por
consiguiente,
(A U B — B) (A n B = A). (2)
De (1) y (2) se deduce que (A n B - A) (A U B = B).
7) Si x £ A IJ 0, se tiene que a.1 € A V x £ 0. Dcbido a que el conjunto 0 no
contiene ningun elemento, dc x € A U 0 sc deduce que a; G A, es decir, A U 0 C A, li>
cual conjuntamente con la inclusion A u 0 J A es equivalence a la igualdad A u 0 ~ A.
De0CAD0C0se deduce directamente la igualdad Afl0 = 0.
Dado que A C 3, Lencmos A n J =-- {x € J : x £ A A x £ J ) D (at £ J :
x G A A x C A) = A, lo cual junto con la inclusion A n J C A conduce a la igualdad
AC\ J — A.
Finalmente, a partir de las inclusiones J C A U J C J se deduce directamente la
igualdad A U J = J.
8) De acuerdo con la propicdad 1)
A 11CA f .1 M
10 CiipiLulo I. Iti(ruducti6n a I iinalisis
Sea x G J ; entonces, si x G A tendremos que x E A U CA; por otra parte, si x A,
resulta que x £ CA y do nuevo, x G A U CA. De este modo, de x & J se deduce que
f
x G A u CA, es decir,
J C A U CA. (4)
De (3) y (4) se obtiene la igualdad
A U CA = J . (5)
Para demostrar la igualdad A fl CA = 0 probemos que el conjunto A fl CA no
contiene ningiin eleme.nto, En e fee to, de acuerdo con la igualdad (5) cualquier elemento
del conjunto J pertenece bien a A bien a CA, Si x G A entonces x CA y por tanto,
t r
x g A D CA. Por otro lado, si x G CA, se tiene que x A (pues si fuera x G A resultarfa
t
que x £ CA), y, de nuevo, x g? A Pi CA. Dado que el conjunto A n CA no contiene ningun
elemento, este conjunto es vacio, o sea, A fl CA = 0. (cid:129)
(cid:129) (cid:129) (cid:129) (cid:129) (cid:129) (cid:129) (cid:129)
2* Demostrar el principio de dualidad:
CflU^B) - CA n CB, (1)
C (A n B) = CA U CB (2)
(veanse las igualdades (1) del p. 1.4),
M Solution. Demostremos la igualdad (1) (la (2) se demuestra analogamente).
Sea x G C (A U B), entonces de acuerdo con la igualdad (5) del problema anterior,
x S? A U B, es decir, x g A Ax $ B, de donde x G CA Ax G CB, y, por tanto, x G CA (1CJ3.
De este modo>
C (A U B) C CA n CB. (3)
Supongamos ahora que x G C4 fl CB. Entonces x £CAAx G CB, es decir, x $ A Ax $ B
f
y, consecuentemente, xgAUB yx EC (A 1) B). Por lo tanto,
C(iU J3)cCAnCJB. (4)
De las inclusiones (3) y (4) se deduce la igualdad (1). (cid:129)
(cid:129) (cid:129)(cid:129) (cid:129) (cid:129)(cid:129) (cid:129) (cid:129)(cid:129) (cid:129)_U
3. Demostrar las igualdades:
AU(AnB) = An{A\jB) = A. (1)
^ Solution. Utilizando las propiedades 4) y 5) del problema 1 obtenemos la primera de las
igualdades (1):
n
A U (A H B) = (A U A) {A U B) = A n (A U B).
Queda por demostrar que An (A I) B) — A. Si & G A fl (A U B), resulta x £ A Ax £
A U B y, por consiguiente,
An(AUB)C A. (2)
Pero si x G A, tendremos x G A U B, y, por tanto, a ; G i O ( i U B), es decir,
AcAn(AU B). (3)
De las inclusiones (2) y (3) se deduce la segunda de las igualdades (1).
4. Demostrar las igualdades:
a) CCj I = A; b) CJ = 0; c) C 0 = J .
S I. llomcnlo* ili' Id ti'fllf<i ih< ruiffimliM
Solut ion. a) Si x t' C.'OI, rcMilhi ijiir it) / I'A, pin' lit ciiitl ;r < A y es Bdta la inclusion
(('/) ( A. Vioeversa, si a! ( A, I'titttfuvu J' </ (VI, y, pur l.mlo, x { CCji y <a> v;1lida la
inclu skill A C CCjI. I3e law iiulusio 10* ik-inoHlnntii.H sc deduce la igualdad a).
L>) El conjunto CJ es vado, pneslu qui: la negation <? CJ es licitn V® € J.
c) Si x G J, se ticnc x 0, y, por ;t; € C 0, por lo cual J C C 0. Dado que
jhi-mpro ticnc lugar C 0 C 3, de las ultimas dos inclusiones se deduce la igualdad e). (cid:129)
5. Demostrar la validez de la inclusion
(A\B)C(A\D)n(D\B).
Solution. Sea x £ (A \ B), entonces x £ A A x g B. Si, ademas, x £ D, resulta quo
.»(cid:129) < (,'1 \ D) y, por consiguiente, x € (A \ D) U (D \ B). Si, por lo contrario, x G D,
iiilunces, Co mo x g B, vemos que x £ (D \ B), y, por eso, x £ (A \ D) U (D \ B). De este
inoili), tanto para x £ D como para X G D de la con die ion x Q (A \ B) se deduce que
.<(cid:129) i {/I \ D) U (D \ B), lo que es equivalents a la inclusion que se demuestra. (cid:129)
Definir los conjuntos A U B, A 0 B, A \ B, B \ A, A A B si;
a) =
b) A ^ {x : x2 - 3x < 0}, B = {x : x2 - 4x + 3 > 0};
c) A = {x : |x - lj < 2}, B = {x : jx - 1| + [a: - 2| < 3}.
Nohieidn. Haciendo uso de las definiciones de union, interseccion, diferenria y diferencia
uinietrica de conjuntos hailamos
a) A U B = {x : (0 < x < 2) V (1 ^ x < 3}} = {x : 0 < x ^ 3} ;
ln5 = {i:(0<a;<2}A(Ha;q)) = { s : U i < 2 } ;
J
A \ B = {a;: (0 < X < 2) A x [1,3]} = {x : 0 < a: < 1};
B \ A = {x : (1 < x ^ 3) A x <£ JO, 2[} s= {x : 2 < x < 3>;
A A B = {x : (A \ B) U (B \ 4)} = {a;: (0 < x < 1) V (2 < x < 3)}.
b) Dado que x2 -- 3x < 0 para 0 < x < 3, lendremos A — (i ; 0 < a; < 3}. f,a
desiguddad x2 — 4x + 3 p 0 se verifica para —00 < a; S 1 y 3 < i < +oo, Designemos
I) ~ {a; : -oo < x < 1}, E = fx : 3 < x < -foe}, entonces B = D U fl. Empleando las
j)iopiedades de las operaciones con conjuntos obtenemos
AUB = AU(DUE)=AUDUE — {x: (Q<x< 3) V
V (-00 <a?<l)V(3<»< +oo)} = {x : -oo < x < -too};
A n & = A n (d u iE) - (A n jD) u {A n - {»: (0 < x 4X) v'w e 0} =>
= {x:0<x^ 1};
A = A\(P U^ = {x ! jE ^ A A (» % D Vx £&)} =
= {x : {a; € A A X € D) V (x G A A X £ ft1)) = (4 \D) U U \ =
= {x:l<x<3};
B\A = (DuE)\A = {x:(x£ DVx£E)Ax<?' A} =
= {x : (x G D A x g A) V [x € E A x £ J)} = {D \ A) U (E \ A) =
= {x : (-oo <x<0)v(3^x< foo)};
AAB = AA{DUE)~(A\(D tj E)) U ((D UE)\A) =
= [x : (1 < x < 3) V (-co <x<0)V(3^x< +oo)} =
= (x : (—oo < x sZ. 0W(1 < x < +ooH.
