Table Of ContentIntroducción
a las
MATEMÁTICAS
UNIVERSITARIAS
Contenido
PRÓLOGO IX
CAPÍTULO 1 Lógica simbólica y teoría de conjuntos 1
1.1 Introducción 1
1.2 Proposiciones 1
1.3 Tablas de verdad y tautologías 2
1.4 Cuantificadores 4
1.5 Argumentos lógicos 4
1.6 Prueba directa 4
1.7 Contraejemplo 5
1.8 Prueba por contraposición (contrapositiva) 5
1.9 Prueba por contradicción 5
1.10 Conjuntos 5
1.11 Diagramas de Venn-Euler 7
1.12 Leyes de álgebra de conjuntos 8
1.13 Cardinalidad 9
Problemas resueltos 10
Problemas propuestos 18
Soluciones 24
CAPÍTULO 2 Teoría de los números reales 27
2.1 Introducción 27
2.2 Operaciones aritméticas en el conjunto de los números reales 27
2.3 Exponentes y radicales 29
2.4 Expresiones algebraicas 30
2.5 Valor absoluto 34
2.6 Propiedades del valor absoluto 35
Problemas resueltos 35
Problemas propuestos 42
Soluciones 54
CAPÍTULO 3 Funciones lineales y cuadráticas 59
3.1 Introducción 59
3.2 Relaciones 59
3.3 Funciones y sus propiedades 61
3.4 Función lineal 61
3.5 Ecuaciones y desigualdades lineales 62
3.6 Sistemas de ecuaciones lineales 64
3.7 Función cuadrática 67
3.8 Ecuaciones y desigualdades cuadráticas 68
3.9 Sistemas de ecuaciones cuadráticas 70
V
Introducción
a las
MATEMÁTICAS
UNIVERSITARIAS
Piotr Marian Wisniewski
Universidad de Adam Mickiewicz, Poznañ, Polonia
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, Campus Ciudad de México
Ana Laura Gutiérrez Banegas
Instituto Tecnológico Autónomo de México
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, Campus Ciudad de México
Revisión técnica:
Guadalupe Martínez Hernández
Departamento de Ciencias Básicas
División Ciencias Básicas e Ingeniería
Universidad Autónoma Metropolitana- Azcapotzalco
MÉXICO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRID
NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SANTIAGO
AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI
SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO
Gerente de producto: Javier Reyes Martínez
Supervisor de edición: Felipe Hernández Carrasco
Supervisor de producción: Zeferino García García
INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 2003, respecto a la primera edición por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S. A. de C. V.
A subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.
Cedro Núm. 512, Col. Atlampa
Delegación Cuauhtémoc
06450 México, D. F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736
ISBN 970-10-3904-1
6789012345 09876531024
Impreso en México Printed in México
Este libro se terminó de imprimir y encuadernar
en el mes de septiembre de 2005
en Impresora y Encuadernadora
Progreso, S. A. de C. V. (IEPSA), Calz. de San Lorenzo 244;
09830 México, D.F.
VI CONTENIDO
Problemas resueltos 72
Problemas propuestos 88
Soluciones 111
CAPÍTULO 4 Polinomios 127
4.1 Introducción 127
4.2 Polinomio de una variable 127
4.3 Ecuaciones algebraicas 127
4.4 Desigualdades algebraicas 129
4.5 Sistemas de ecuaciones algebraicas 130
Problemas resueltos 131
Problemas propuestos 139
Soluciones 152
CAPÍTULO 5 Funciones potencia, exponencial
y logarítmica 167
5.1 Introducción 167
5.2 Función de potencia 167
5.3 Ecuaciones y desigualdades con radicales 168
5.4 Función exponencial 170
5.5 Ecuaciones y desigualdades exponenciales 171
5.6 Función logarítmica 172
5.7 Logaritmos 172
5.8 Ecuaciones y desigualdades logarítmicas 173
Problemas resueltos 175
Problemas propuestos 184
Soluciones 201
CAPÍTULO 6 Sucesiones 219
6.1 Introducción 219
6.2 Definición de una sucesión 219
6.3 Sucesiones y sus propiedades 221
6.4 Inducción matemática 223
6.5 Elementos de la teoría de conteo 224
6.6 Teorema del binomio 227
6.7 Sucesión aritmética 230
6.8 Sucesión geométrica 231
Problemas resueltos 232
Problemas propuestos 261
Soluciones 289
CAPÍTULO 7 Funciones trigonométricas 303
7.1 Introducción 303
7.2 Definiciones y propiedades de las funciones trigonométricas 303
7.3 Identidades trigonométricas 307
7.4 Ecuaciones y desigualdades trigonométricas 311
Problemas resueltos 315
Problemas propuestos 345
Soluciones 361
CONTENIDO VIl
CAPÍTULO 8 Geometría analítica 385
8.1 Introducción 385
8.2 Recta 385
8.3 Circunferencia 388
8.4 Elipse 390
8.5 Hipérbola 392
8.6 Parábola 394
Problemas resueltos 397
Problemas propuestos 414
Soluciones 420
CAPÍTULO 9 Introducción al cálculo diferencial 431
9.1 Introducción 431
9.2 Definiciones básicas 431
9.3 Función compuesta 433
9.4 Función inversa 433
9.5 Límite de una función 435
9.6 Continuidad 440
9.7 Derivada de una función 442
9.8 Extremos de una función 444
9.9 Construcción de gráficas 447
Problemas resueltos 449
Problemas propuestos 466
Soluciones 487
CAPÍTULO 10 Introducción al cálculo integral 503
10.1 Introducción 503
10.2 Integral indefinida 503
10.3 Técnicas de integración 504
10.4 La integral definida y sus aplicaciones 506
Problemas resueltos 507
Problemas propuestos 519
Soluciones 525
CAPÍTULO 11 Introducción a la probabilidad 533
11.1 Introducción 533
11.2 Experimento aleatorio, espacio muestral, evento y espacios
de probabilidad finitos 533
11.3 Fundamentos axiomáticos de la teoría de probabilidades 535
11.4 Regla multiplicativa y probabilidad condicional 536
11.5 Eventos independientes 538
11.6 Ensayos de Bernoulli 539
11.7 Variables aleatorias 540
11.8 Valor esperado y varianza de la variable aleatoria 541
Problemas resueltos 542
Problemas propuestos 552
Soluciones 561
CAPÍTULO 12 Geometría plana 569
12.1 Introducción 569
12.2 Paralelas y polígonos 569
12.3 Triángulos rectángulos 575
VIII CONTENIDO
12.4 Círculos 577
12.5 Áreas 580
Problemas resueltos 589
Problemas propuestos 618
Soluciones 629
CAPÍTULO 13 Geometría en el espacio 635
13.1 Introducción 635
13.2 Poliedro 635
13.3 Prismas 636
13.4 Pirámides 638
13.5 Conos 641
13.6 Cilindros 643
13.7 Esfera 645
Problemas resueltos 647
Problemas propuestos 678
Soluciones 684
ÍNDICE ANALÍTICO 691
Prólogo
Nada hay más práctico que una buena teoría.
EMMANUEL KANT
Conocimientos sólidos en matemáticas permiten a los estudiantes un mejor desem-
peño en cursos más avanzados. Por ello, el presente libro surge como una respuesta
a la necesidad de reforzar los conocimientos de precálculo. Los autores elaboramos
este texto con base en la experiencia que hemos adquirido impartiendo cursos de
matemáticas superiores.
El contenido y el nivel del libro están orientados hacia estudiantes de cualquier
especialidad que deseen reforzar, además, los conocimientos de áreas como álgebra,
trigonometría, geometría analítica y análisis matemático. O bien, para aquellas per-
sonas que requieran una herramienta que les ayude en la presentación de exámenes
de admisión en instituciones de educación superior.
La obra no es de utilidad y apoyo sólo para los estudiantes, sino también para
los profesores, ya que cuenta con amplia gama de ejercicios, desde los elementales
hasta los de mayor grado de complejidad.
El presente libro se ha preparado para un curso introductorio de matemáticas.
Puede servir para dicho curso o como complemento de cualquier publicación com-
parable. Asimismo, es posible usarlo como complemento de textos y cursos de pre-
cálculo, lo mismo que para estudiar por cuenta propia.
Empieza con un capítulo de lógica y teoría de conjuntos, al que le sigue uno
sobre la teoría de los números reales y una revisión completa de álgebra. El tercer
capítulo trata sobre las funciones lineales y cuadráticas, así como la solución de
ecuaciones y desigualdades. De esta forma se conecta con otro capítulo sobre
polinomios. En el quinto capítulo se revisan las funciones trascendentales: funcio-
nes potencia, exponencial y logarítmica. Después viene un capítulo sobre sucesio-
nes. El séptimo capítulo contiene los principales conceptos de trigonometría y las
funciones trigonométricas. En el capítulo subsecuente se analizan los principales
conceptos de geometría analítica. El noveno y el décimo capítulos ofrecen elemen-
tos básicos de cálculo diferencial e integral. En el capítulo once se explican los fun-
damentos de probabilidad. Los dos últimos capítulos presentan los conceptos y las
definiciones básicas de geometría plana y del espacio.
Cada capítulo empieza con una breve introducción, donde se exponen los te-
mas a tratar y la importancia de éstos en la vida real. Posteriormente se dan defini-
ciones, principios y teoremas, que vienen acompañados de ejemplos. A esto le si-
guen las secciones referentes a los problemas resueltos y propuestos.
Los problemas resueltos sirven para ilustrar y ampliar la teoría, ya que permi-
ten entender aquellos puntos sin cuya explicación el lector se "perdería", a la vez
que constituyen una reafirmación de los conceptos básicos para lograr un aprendi-
zaje efectivo. Los problemas propuestos son útiles para ejercitar los conocimientos
