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- I
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I
METRIIJ S
José Manuel Dí az Moreno
Seruicio de Publicaciones
Uniuersidad de Cádiz
Díaz Moreno, José Manuel
Introducción a la topología de los espacios métricos / José
Manuel Díaz Moreno. -- Cádiz : Universidad, Serviciode
Publicaciones, 1998. -- 200 p.
ISBN 84-7786-514-0
l. Espaciosmétricos. 1. Universidad de Cádiz. Servicio de
Publicaciones, ed. 11. Título.
515.124
Edita: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz
I.S.B.N.: 84-7786-514-0
Depósito Legal: CA-741/1998
Diseño Cubierta: CREASUR
Imprime: Jiménez-Mena, s.1. Printed in Spain
Polígono Industrial Zona Franca. Cádiz
PRÓLOGO
Como estructura matemática abstracta, el concepto de espacio métrico
fue introducido inicialmente por el matemático francés M. Fréchet en
1906, y más tarde desarrollado por F. Hausdorffen su Mengenlehre. En
parte, su importanciaradicaen que constituye una interesantegenerali
zacióndelosespaciosnormados,cuyateoríafuebásicamentedesarrollada
por Stephan Banach como cimiento del Análisis Funcional. El desarro
llo posteriorde las investigaciones sobre topología métrica ha puesto de
manifiestosuextraordinariopoder para unificar una amplia variedad de
teorías hastaentonces dispersas y aparentementeindependientes.
Actualmente, todas lasobras de topologíageneraldedican algún espacio
al tratamiento de los espaciosmétricos, bien como caso particularde los
espaciostopológicos,biencomounamaneranaturaldeintroducirlos. Sin
embargo, la teoríade losespaciosmétricoses el fundamento indispensa
ble para un estudio serio y riguroso del Análisis Matemático y puede
presentarseen forma de unahermosateoríaacabada, muy asequiblea la
intuicióngeométricay pocopropensaa presentarfenómenos patológicos,
muyalcontrariodeloqueocurreconlosespaciostopológicos, rarasveces
al alcance de la intuición, llenos de sutilezas axiomáticas y de extraños
fenómenos. Todoelloinclina a pensar que la teoría de espacios métricos
merecería un estudio independiente; sin embargo, existe un sorprenden
te vacío de obras dedicadas al desarrollo independiente de la topología
métrica.
Estelibro,que tienesuorigenenloscursosquesobrelamateriael autor
explicaen la Facultad de Cienciasde laUniversidadde Cádiz, recogelos
principalesconocimientosque es necesarioposeer paraestarencondicio
nes de seguir posteriormente un curso de Análisis Funcional elemental.
El autoresperaademásque el lector percibay disfrute de labellezama
temáticaque los espaciosmétricos por símismos representan.
Los prerrequisitosparaasimilarelcontenidodeestelibroson pocos; des
de un punto de vista formal, los únicos conocimientos previos que se
presuponen son: familiaridad y destrezacon las nociones elementales de
la teoríade conjuntos, incluyendo lo relativo al principio de inducción y
las nociones básicassobre numerabilidadj y, muy especialmente, el cono
cimiento del cuerpo de los números reales, particularmente en lo que se
refiereal axiomadelsupremoya los resultadosbásicossobrevalorabso
luto y desigualdades. ElcapítuloOestádedicadoa recordar las nociones
que deberían conocerse antes de abordar el texto en sí. Finalmente, el
últimocapítulo, requiere conocimientos elementales de álgebralineal.
Contalesrequisitos,laexperienciademuestraqueelmaterialdelpresente
libro puede adoptarse como texto para un curso semestral de topología
métricadestinado a estudiantes de Matemáticaso disciplinas afines.
Aunque sería deseable que el lector poseyera cierta madurez matemáti
ca lograda después de haber perdido la inocencia matemática, predo
mina en la obra la idea de introducir la estructura definición-teorema
demostración, característica de la matemática contemporánea, tan sua
vemente comoseaposiblej ademáscadaconceptonuevose acompañade
motivaciones intuitivas, en un lenguaje llano y ordinario (en ocasiones
con el riesgo que ello conlleva) y se ha procurado siempre destacar la
significacióny gradode trascendenciade los resultados.
Al final de cada capítulo se ofrece una numerosa colección de proble
mas, perosehaintentandono hacer uso de elloscomo parteintegraldel
desarrollo teórico; a 10 más se cita alguno en calidad de contraejemplo.
Sin embargo, no se debe interpretarque puede prescindirsede ellos; por
el contrario, los problemas evidencian las posibilidades de la teoría, le
confieren una mayor significación y apuntan hacia ramificaciones intere
santes.
Algunoscapítulosfinalizanconunapéndicededicadoalosespaciosdesu
cesionesydefunciones. Talesespaciosmétricossoncomplejosdeanalizar
en un primer curso sobre topología métrica pero ofrecen contraejemplos
no triviales sobrealgunascuestiones poco intuitivas. Es en este sentido,
y sóloeneste, por lo que se han añadidoal texto.
El capítulo 1introduce casi todos los conceptos básicos de la topología
métricaen la recta real. Esto ayudaráal lector a situarel contenido del
libro y le familiarizará con las nociones más habituales en un contexto
más asequibleque la teoríageneral.
Todoelcapítulo2sirveparaqueellectorcomprendaquelosaxiomasque
definen losespaciosmétricos (que desdeel puntode vistaestructuralista
constituyen el inicio abstracto de la teoría) son el resultado de un largo
procesodeabstracciónydetrabajocientíficosobrelasnocionesintuitivas
de distancia.
Junto a la base axiomática de los espacios métricos, los capítulos 3 y 4
tienen latareade introducir loselementostopológicosprimigenios.
Enloscapítulos,5,6,7setratanclasesespecialesdeespaciosmétricosque
sondeimportanciaparticularenlasaplicacionesdelAnálisisMatemático;
se habla respectivamente de las propiedades de conexión, compacidad y
completitud, tres conceptos fundamentales y que constituyen junto al
estudiodelasaplicacionescontinuasentreespaciosmétricos (capítulo8),
el núcleo central. Exigen, pues, un estudio cuidadoso porque deriva en
unaseriede teoremasfundamentales que constituyen los resultados más
notables de lateoría.
Sefinaliza, enelcapítulo9con unaintroduccióna losespaciosnormados
en el que se ha tratado, fundamentalmente, de resaltar las especiales,
y a veces sorprendentes, relaciones entre dos estructuras, la topológica
y la algebraica, que, al menos en principio, aparecen como fuertemente
independientes.
Estoy en deuda con el doctor don Francisco Benítez Trujillo, quien leyó
y corrigióel manuscrito, haciendomuchassugerenciassiemprevaliosasy
útiles.
ii
Índice General
o Introducción 1
0.1 Valorabsoluto . . . . . . . . . . . . 1
~
0.2 Conjuntos acotados. Supremo e ínfimo 5
0.3 Intervalos 8
0.4 Sucesiones . 10
0.5 Conjuntos numerables 14
0.6 Problemas ..... 15
1 Topología usual de R 19
1.1 Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados 19
1.2 Interior,exterior y fronterade un conjunto 23
1.3 Adherenciay acumulación de un conjunto 25
1.4 Conjuntos densos . . . 29
1.5 Conjuntos compactos. 30
1.6 Problemas ... 34
2 Espacios métricos 39
2.1 Distancias . . . .......... 39
2.2 Espacios y subespaciosmétricos . 42
2.3 Distanciasentre conjuntos 45
2.4 Problemas ......... 48
2.5 Apéndice. Espacios de funciones y espaciosde sucesiones 50
3 Topología de los espacios métricos 53
3.1 Conjuntos abiertos 53
3.2 Conjuntoscerrados 58
3.3 Abiertos y cerradosen lossubespacios 61
3.4 Distanciasequivalentes . 64
3.5 Problemas ........ 66
3.6 Apéndice. Espaciosde funciones y espaciosde sucesiones 68
iii
4 Subconjuntos notables 71
4.1 Interior, exteriory frontera de un conjunto 71
4.2 Adherenciay acumulaciónde un conjunto 74
4.3 Subconjuntosdensos 79
4.4 Problemas ...... 80
4.5 Apéndice. Espacios de funciones y espaciosde sucesiones 84
5 Conjuntos conexos 81
5.1 Conjuntos separados 87
5.2 Conjuntosconexos 89
5.3 Componentesconexas 93
5.4 Conjuntos conexosenla rectareal 95
5.5 Problemas ...... ........ 96
6 Conjuntos compactos 99
6.1 Conjuntos acotadosy totalmenteacotados . 99
6.2 Conjuntos totalmenteacotados 103
6.3 Conjuntos compactos ...... 106
6.4 Propiedad de Bolzano-Weierstrass 110
6.5 Problemas .............. 112
6.6 Apéndice. Espaciosde funciones y espacios de sucesiones 114
1 Sucesiones y espacios completos 111
7.1 Sucesiones . . 117
7.2 Subsucesiones 122
7.3 Sucesionesde Cauchy 124
7.4 Espacios ysubespacioscompletos 128
7.5 Algunosespacios completosimportantes 131
7.6 Conjuntos compactosen Rn 133
7.7 Problemas .......... 137
7.8 Apéndice. Espaciosde funciones y espacios desucesiones 140
8 Aplicaciones continuas 145
8.1 Continuidad local . 145
8.2 Continuidadglobal 152
8.3 Continuidad uniforme 158
8.4 Aplicacionescontractivasy teoremadel puntofijo. 161
8.5 Homeomorfismose isometrías 164
8.6 Problemas ........... 167
iv
9 Espacios normados 172
9.1 Espacios normados .. 172
9.2 Topologíade losespaciosnormados . 175
9.3 Normas equivalentes .. 179
9.4 Aplicaciones lineales continuas 182
9.5 Espacios normados de dimensiónfinita. 185
9.6 Problemas . . . .. 191
9.7 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones 193
BibliogratTa 197
índice de términos 199
v
o
Introducción
Este capítulo cero debe interpretarse como un breve recordatorio de al
gunas propiedadesde los números reales estrechamenterelacionadas con
los axiomas de cuerpo y orden que los define. Hemos tenido la necesi
dad de reprimir tentaciones de desarrollar y ahondar en una variedad
de cuestiones que conducen a resultados de gran trascendencia pero que
estánfuera denuestrasnecesidades. Aunqueseesperamás bien queeste
capítulo sirva de soporte técnico al objeto principal de nuestro estudio,
ellectordeberíaponer un especialcuidadoen comprendery dominar los
conceptosy propiedadesaquíexpuestosporqueseránusadasprofusamen
te a lolargode este libro.
0.1 Valor absoluto
El hecho de que -a > Osi a < Oes la base de un concepto, el de valor
absoluto, que vaa desempeñar un papel sumamente importante en este
curso.
Definición 0.1.1 Para todo número a E IR definimos el valor absoluto
lal de a como sigue:
lal ={ -aa ssii aa::~; OO
Tenemos, porejemplo,
I- 31 =3, 171 =7, 101 =O,
11+.J2- V3/ =1+.J2- V3,
y
11 +.J2- v'lOl =v'lO- .J2- 1.
En general, el método más directo deatacarun problemareferente a va
loresabsolutosrequierelaconsideraciónporseparadode distintos casos.
Porejemplo, parademostrar que
la+bl ::; lal+Ibl
deberían considerarseloscuatro casos posibles
(i) a~O y b~ O;
(ii) a~O y b::; O;
(iii) a::;O y b~ O; y
(iv) a::;O y b::; o.
Aunqueestamaneradetratarvaloresabsolutosesaveceselúnicométodo
disponible, confrecuenciase puedenemplearmétodos mássencillos. Nó
tese, por ejemplo, que lal es siempre positivo excepto cuando a =Oy,
1
portanto,eselmayordelosnúmeros ay -a;estehechopuedeutilizarse
paradar una definiciónalternativa,
lal =máx{a,-a},
que permiteprobarde forma muy simple algunos resultados básicos.
Proposición 0.1.2 Para todo a EIR se tiene
-lal:5 a:5lal
DEMOSTRACIÓN
Puestoque lal =máx{a,-a} setiene que
lal ~a y lal ~ -a,
o bien, -Ial :5a; así que -Ial :5 a:5 la\.
•
Proposición 0.1.3 Para todo a,bEIR se verifica
-b:5 a:5 b si y sólosi lal S b
DEMOSTRACIÓN
Setiene que -b:5 a S bsi y sólosi -b:5 ay a :5 bj es decir, si y sólosi
y b~ -a.
Portanto, -b:5 a :5 bsi y sólosi
b~ máx{a,-a} =lal.
•
Los resultados anteriores pueden usarse ahora para demostrar ciertos
hechos muy importantes relativosa valoresabsolutos.
Teorema 0.1.4 Para todo a,bEIR se verifica
la+bl Sial+Ibl
DEMOSTRACIÓN
Puestoque
se tiene, sumando,
-(Ial+lb!) :5a+b:5 lal+Ibl
y, por la proposición anterior,
la+bl :5 lal+Ibl
•
2
-
Teorema 0.1.5 Para todo a,bE lR se verifica
lal- Ibl $ Ilal- Ibll ::; la- bl·
DEMOSTRACiÓN
Laprimeradesigualdadesobvia. Veamoslasegunda: setiene
lal =la- b+bl ::; la- bl +Ibl;
portanto, lal-Ibl ::; la- bl y, deformaanáloga, Ibl-Ial ::; lb- al =la- bl·
Asíque
la- bl ~ máx{lal-lbl,-(¡al-lb!)} =lIal-lbll
•
Cuando identificamos lRconlarecta real de la manerahabitual, el valor
absolutodeun número lal puedeinterpretarsecomoladistanciadesdeel
origenal puntoa. Porejemplo I± 51 =5significaque los puntos 5y -5
están a unadistancia5del origen.
Másgeneralmente;elvalorabsolutonoSpermitedefinirladistanciaentre
dos números reales cualesquiera, pero demoraremos esta cuestión hasta
su momentoadecuado.
Laideafundamentalenquesebasanenúltimainstancialamayorpartede
las desigualdadesque involucrana valores absolutoses, porel elemental
que pueda parecer, el hecho de que a2 ~ Opara todo numero real a.
En particularse tiene paracualesquieranúmeros reales x e y (¿cómo se
deduce esto?)
(0.1)
lo que permite probar la primera, sin duda, de las desigualdades impor
tantes: la desigualdad de Schwarz.
Teorema 0.1.6 (desigualdad de Schwarz)
Si ai ybi son números reales para todo i =1,...,n, entonces
DEMOSTRACiÓN
Si ai = Oo bi = Opara todo i = 1,...,n, la desigualdad es evidente.
Supongamos, pues, que existealgún a¡ #- Oy algún b¡ #- OYpongamos
y
Sustituyendo ahora
lail Ib¡1
x=- e y=
p q
3
