Introducción a la Teoría de Nudos

57 Pages·2011·0.29 MB·Spanish

Introducci(cid:19)on a la Teor(cid:19)(cid:16)a de
Nudos
(cid:19) (cid:19)
V JORNADAS DE FISICA Y MATEMATICAS,
(cid:19) (cid:19)
UNIVERSIDAD AUTONOMA DE CIUDAD JUAREZ
(11{15 de Abril 2011)
Jos(cid:19)e Luis Cisneros Molina
1
Prefacio
Laspresentesnotascubrenesencialmenteelcontenidodelcursoimpartidoen
las “V Jornadas de F´ısica y Matem´aticas” llevadas a cabo en el Departamento
de Ciencias B´asicas del Instituto de Ingenier´ıa y Tecnolog´ıa de la Universidad
Aut´onoma de Ciudad Ju´arez, del 11 al 15 de Abril de 2011.
Sonunaversi´oncorregidayaumentadadelasnotasdeuncurso,conelmismo
t´ıtulo, que se imparti´o en la Facultad de Ciencias de la Universidad Aut´onoma
deBajaCalifornia,del12al16deNoviembrede2007,enla“EscueladeVerano
en Matem´aticas”, que se llev´o a cabo en la Unidad Cuernavaca del Instituto
de Matem´aticas de la UNAM del 23 al 31 de Agosto del 2000 y durante la
“XSemanaRegionaldeInvestigaci´onyDocenciaenMatem´aticas”realizadaen
el Departamento de Matem´aticas de la Universidad de Sonora, del 1 al 3 de
Diciembre de 1999 en Hermosillo, Sonora.
El objetivo principal del curso es despertar en los estudiantes el inter´es por
el estudio de la topolog´ıa algebraica mediante una introducci´on a la teor´ıa de
nudos. Se escogi´o este tema, por que muchas de las definiciones y resultados
de dicha teor´ıa son muy intuitivas, f´aciles de visualizar y en ocasiones hasta
divertidas.
Como la intenci´on es dar un panorama general de los principales problemas
y t´ecnicas en teor´ıa de nudos, no se dar´an demostraciones de los resultados
expuestos, o a lo m´as, se dar´an “demostraciones intuitivas” en algunos casos.
Para m´as detalles damos como referencia los libros [1, 3, 4].
El curso est´a estructurado de la siguiente manera. En primer lugar, en la
introducci´on, se menciona el uso de los nudos a trav´es de la historia y como
fu´equesecomenzaronaestudiarlosnudosdesdeelpuntodevistamatem´atico.
A continuaci´on, se dan las principales definiciones de la teor´ıa. Posteriormente
sepresentanlosproblemasfundamentalesdelateor´ıadenudos,loscualessonde
dostipos:globalesylocales.Comosiguientepaso,sedescribeelusodeinvarian-
tes para atacar algunos de los problemas presentados y se definen los ejemplos
m´as importantes de invariantes de nudos. Como punto siguiente, se define el
concepto de trenza, se describen sus principales propiedades y su relaci´on con
los nudos. Finalmente se mencionan algunas de las aplicaciones que ha tenido
la teor´ıa de nudos en algunas otras ciencias.
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(cid:19)
Indice general
1. Introducci(cid:19)on 5
2. De(cid:12)niciones 7
2.1. Definiciones b´asicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Nudos anfiqueirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Nudos invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. Nudos d´ociles vs. nudos salvajes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5. Nudos t´oricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6. Suma conexa de nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7. Enlaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8. Diagramas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.9. Nudos y enlaces alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Problemas Fundamentales de la Teor(cid:19)(cid:16)a de Nudos 24
3.1. Problemas globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1. El problema de clasificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.2. Invariantes de nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.3. Una conjetura fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Problemas locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1. ¿Cu´ando un nudo es anfiqueiral? . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.2. ¿Cu´ando un nudo es primo? . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.3. ¿Cu´ando un nudo es invertible? . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.4. ¿Cu´al es el periodo de un nudo? . . . . . . . . . . . . . . 27
4. Invariantes 29
4.1. Movimientos de Reidemeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2. Nu´mero m´ınimo de cruces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3. Nu´mero de puentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4. Nu´mero de enlace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5. Nu´mero de coloraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.6. Grupo del nudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.6.1. Grupo fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.6.2. Grupo del nudo trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.6.3. Presentaciones de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3
4.6.4. Presentaci´on del grupo del tr´ebol . . . . . . . . . . . . . . 38
4.7. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.7.1. Polinomio de Alexander–Conway . . . . . . . . . . . . . . 41
4.7.2. Polinomios de Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5. Trenzas 47
5.1. El grupo de trenzas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2. Presentaci´on de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
n
5.3. Nudos y trenzas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4. El´ındice de trenza de un nudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6. Aplicaciones 55
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Cap(cid:19)(cid:16)tulo 1
Introducci(cid:19)on
Elhombrehautilizadolosnudos,trenzasyenlacesatravezdelosanoshasta
laactualidad.Porejemplo,enlosprimerosanosdenuestraexistencia,nuestros
antepasados, ataron una piedra a un pedazo de madera para formar un hacha.
Tambi´en necesitaron trenzar lianas o pelo de animales para construir cuerdas,
queposteriormenteenlazaronyanudaronparaconstruirredesparalapesca.Los
nudos tambi´en aparecen en manuscritos, esculturas, pinturas y otras formas de
arte alrededor de todo el mundo. Tambi´en es sabido que la antigua civilizaci´on
Inca utiliz´o un sistema a base de nudos llamado “quipu” como lenguaje escrito
y para llevar la contabilidad.
Apesardequelagentehahechousodelosnudosdesdelosalboresdenuestra
existencia,elestudiomatem(cid:19)atico delosnudosesrelativamentejoven.Enelsiglo
XIX los f´ısicos se preguntaban sobre la naturaleza de los ´atomos. Lord Kelvin,
uno de los principales f´ısicos de ese tiempo, propuso en 1867 la ambiciosa idea
de que los ´atomos eran v´ortices tubulares de eter anudados [6]. Sus argumentos
en favor de esta teor´ıa se pueden resumir de la siguiente manera:
Estabilidad Laestabilidaddelamateriapuedeserexplicadaporlaestabilidad
de los nudos (es decir, su naturaleza topol´ogica).
Variedad Lavariedaddeloselementosqu´ımicospuededebersealosdiferentes
tipos de nudos.
Espectro Lasoscilacionesvibracionalesdelosv´orticestubularespuedenexpli-
car las lineas espectrales de los ´atomos.
Desde un punto de vista moderno, podr´ıamos agregar en retrospectiva un
cuarto argumento:
Transmutaci(cid:19)on La habilidad de los ´atomos para transformarse en otros ´ato-
mos a altas energ´ıas puede estar relacionado con el corte y recombinacio´n
de los nudos.
Durante alrededor de 20 a nos, la teor´ıa de Kelvin fu´e tomada seriamen-
te. El veredicto de Maxwell al respecto fue que “satisface mas condiciones que
5
cualquier otro modelo del ´atomo hasta entonces considerado”. P. G. Tait, co-
laborador de Kelvin, se encarg´o del estudio extensivo y de la clasificaci´on de
los nudos [5]. Tait enumer´o a los nudos en t´erminos del nu´mero de cruces de
las proyecciones planas (ver Secci´on 4.2) y tambi´en hizo algunos descubrimien-
tos emp´ıricos los cuales han sido llamados desde entonces las \Conjeturas de
Tait". Despues de que la teor´ıa de Kelvin fu´e descartada como teor´ıa at´omica,
el estudio de los nudos se convirti´o en una rama esot´erica de las matem´aticas
puras.
A pesar del gran esfuerzo hecho por los top´ologos en el siglo XX, las Con-
jeturas de Tait resistieron todo intento de demostraci´on hasta finales de los
80’s, cuando un nuevo invariante de nudos, ahora conocido como el polinomio
de Jones, fu´e descubierto, el cual result´o ser lo suficientemente poderoso para
demostrar la mayor´ıa de las conjeturas f´acilmente.
Uno de los principales logros de la topolog´ıa moderna fue el descubrimiento
en 1928 del polinomio de Alexander de un nudo o enlace. A pesar de que
no ayud´o a probar las conjeturas de Tait fu´e un invariante de nudos muy u´til
y simplific´o grandemente la clasificaci´on de los nudos. Por mas de 50 a nos, el
polinomiodeAlexanderfu´eelu´nicoinvariantedenudosdesutipo.Porlotanto
fu´e una gran sorpresa para todos los expertos cuando, en 1984, Vaughan Jones
descubri´o otro invariante polinomial de nudos y enlaces.
Conelpasodelosanossehanencontradonuevasaplicacionesdelateor´ıade
nudosaotrasdisciplinas,talescomoelestudiodelamol´eculadeADN,qu´ımica,
biolog´ıa molecular, mec´anica cu´antica entre otras.
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Cap(cid:19)(cid:16)tulo 2
De(cid:12)niciones
2.1. De(cid:12)niciones b(cid:19)asicas
En nuestra vida en mu´ltiples ocasiones hemos tenido que hacer algu´n nudo,
por lo menos el mas sencillo de ellos. En la Figura 2.1 se muestran ejemplos de
los nudos mas conocidos.
Experimentando un poco con un par de cordones uno se puede convencer
f´acilmente de que los nudos de la Figura 2.1 son diferentes, ya que no se puede
pasar de uno al otro sin pasar alguno de los extremos por alguna de las asas,
es decir, desanudando primero y luego volviendo a anudar. Pero el hecho de
intentarsin´exitoungrannu´merodeveceseltransformarunnudoenelotrono
esunapruebamatem´aticadequenopuedehacerse.Parapoderdarunademos-
traci´on matem´atica, necesitamos hacer un modelo matem´atico de la situaci´on
f´ısica. Se deben definir objetos matem´aticos que aproximen lo mas cerca posi-
ble a los objetos f´ısicos bajo consideraci´on. El modelo puede ser bueno o malo
dependiendo de si la correspondencia entre objetos matem´aticos y realidad es
buena o mala.
Paraformularnuestromodelomatem´aticodebemosdarunadefinici´onmate-
m´atica de lo que es un nudo y definir matem´aticamente cuando dos nudos son
(a) Nudotr(cid:19)ebol (b) Nudo8
Figura 2.1: Ejemplos de nudos
7
(a) Nudotrebol (b) Nudo8
Figura 2.2: Nudos cerrados
iguales.Comotodonudopuedesertransformadoenotrocualquieradesanudan-
doyvolviendoaanudar,debemosprohibirestaoperaci´on,yaseaenladefinici´on
de cuando dos nudos son iguales o desde la definici´on misma de nudo. Nosotros
optaremos por el segundo enfoque que es el mas f´acil. Para ello, existen dos
formas de hacerlo, la primera es prolongar los extremos hasta el infinito y la
mas sencilla es juntarlos. De este modo, nuestros nudos quedar´ıan como en la
Figura 2.2.
De esta manera, consideramos a un nudo como un subconjunto del espa-
cio tridimensional el cual es homeomorfo al c´ırculo. La definici´on formal es la
siguiente:
De(cid:12)nici(cid:19)on. El subconjunto K ⊂ R3 es un nudo si existe un homeomor(cid:12)smo
del c´ırculo unitario S1 en R3 cuya imagen es K. Donde S1 es el conjunto de
puntos (x,y) en el plano R2 que satisfacen la ecuaci´on x2+y2 =1.
De ahora en adelante, pensaremos en esta definici´on para referirnos a un
nudo.ElnudomassencilloeslacircunferenciaestandarS1 vistaenR3,esdecir,
el conjunto de puntos {(x,y,0)⊂R3 | x2+y2 =1} en R2 ⊂ R3. Este nudo es
llamadonudotrivialycorrespondeanoanudarelcord´onysimplementejuntar
sus extremos. Se dan mas ejemplos de nudos en la Figura 2.3
Uno podr´ıa preguntarse por que se define un nudo como un subespacio de
R3. (¿U´nicamente por que vivimos en un mundo tridimensional?). ¿Por que
no definimos un nudo K como un subespacio de Rn que sea homeomorfo a
S1? Tenemos que n debe ser mayor o igual que dos, ya que toda aplicaci´on
continua de la circunferencia en la recta real manda por lo menos un par de
puntos diametralmente opuestos al mismo punto (ver [3, Corolario 10.3]) y por
lo tanto no puede haber subconjuntos de R homeomorfos a S1. Sin embargo, si
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Figura 2.3: Algunos nudos
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