Introduccion a la teoria de la probabilidad.

428 Pages·2005·2.762 MB·Spanish

by  Miguel Angel Garcia Alvarez

García_de la probabilidad_ForroRust_T2 26/09/2008 12:25 Page 1
El volumen que el lector tiene en sus manos integra Z Introducción a la teoría
E
todo el material que forma parte del programa
R de la probabilidad
de un segundo curso de probabilidad que se ofrece A
en varias universidades. Al igual que en el Primer curso V
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de esta obra, se pretende aquí presentar una introducción
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M I G U E L Á N G E L G A R C Í A Á LVA R E Z M I G U E L Á N G E L
a la formulación moderna de la teoría de la probabilidad.
A G A R C Í A Á LVA R E Z
Este Segundo curso está dividido en tres grandes partes:
Í cursó la licenciatura en matemáticas
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en la primera se realiza el estudio de las distribuciones R SEGUNDO CURSO en la Facultad de Ciencias de la UNAM.
de vectores aleatorios; en la segunda se tratan A Realizó sus estudios de posgrado,en teoría de
los teoremas límite, y en la tercera se exponen G los procesos estocásticos,en la Universidad
temas sobre la historia de la teoría de probabilidades. de Estrasburgo,bajo la dirección del doctor

Paul André Meyer.Actualmente es profesor
Precisamente sobre este tema, en ambos volúmenes d
a titular del Departamento de Matemáticas
se incluye gran parte de la investigación que el autor d
li de la UNAM.
ha realizado sobre la historia de la teoría i
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de la probabilidad, incorporada en la presentación de b
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los diferentes temas. De esta forma, la exposición se hace r
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de tal manera que la teoría no sea asimilada como
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algo estático, sino en permanente evolución,
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como corresponde a la realidad.

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Reimpresión / Rústica con solapas/ Refine 16.5 cm x 23 cm / 432 pp / Papel Cultural 75 grs./ lomo 2.1 cm/ Tamaño final del documento +rebases= 63.1 cm x 27 cm /CUO A-01 / GUARDAS PANTONE 327 U
M I G U E L Á N G E L
G A R C Í A Á LVA R E Z
cursó la licenciatura en matemáticas
en la Facultad de Ciencias de la UNAM.
Realizó sus estudios de posgrado,en teoría de
los procesos estocásticos,en la Universidad
de Estrasburgo,bajo la dirección del doctor
Paul André Meyer.Actualmente es profesor
titular del Departamento de Matemáticas
de la UNAM.

Sección de Obras de Ciencia y Tecnología
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Segundo curso
Comité de Selección
Dr. Antonio Alonso
Dr. Francisco Bolívar Zapata
Dr. Javier Bracho
Dr. Juan Luis Cifuentes
Dra. Rosalinda Contreras
Dr. Jorge Flores Valdés
Dr. Juan Ramón de la Fuente
Dr. Leopoldo García-Colín Scherer
Dr. Adolfo Guzmán Arenas
Dr. Gonzalo Halffter
Dr. Jaime Martuscelli
Dra. Isaura Meza
Dr. José Luis Morán López
Dr. Héctor Nava Jaimes
Dr. Manuel Peimbert
Dr. José Antonio de la Peña
Dr. Ruy Pérez Tamayo
Dr. Julio Rubio Oca
Dr. José Sarukhán
Dr. Guillermo Soberón
Dr. Elías Trabulse
Coordinadora
María del Carmen Farías R.
MIGUEL ÁNGEL GARCÍA ÁLVAREZ
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA
DE LA PROBABILIDAD
••
Segundo curso
FONDO DE CULTURA ECONÓMICA
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Primera edición, 2005
Primera reimpresión, 2008
García Álvarez, Miguel Ángel
Introducción a la teoría de la probabilidad. Segundo
curso / Miguel Ángel García Álvarez. — México : FCE,
2005
426 p. : il. ; 23 × 17 cm — (Colec. Obras de Ciencia
y Tecnología)
ISBN 978-968-16-7515-8 (segundo curso)
978-968-16-7578-3 (obra completa)
1. Probabilidad, teoría de 2. Matemáticas I. Ser. II. t.
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ISBN 978-968-16-7515-8 (Segundo curso)
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Impreso en México • Printed in Mexico
ÍNDICE GENERAL
Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Primera Parte
Vectores aleatorios
[]
I. Distribuciones conjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.1 Funciones de distribución conjuntas . . . . . . . . . . . 21
I.2 Funciones de densidad conjuntas . . . . . . . . . . . . . 29
I.3 Funciones de densidad marginales . . . . . . . . . . . . 39
I.4 Distribuciones conjuntas de variables aleatorias indepen-
dientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
I.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
II. Distribuciones de funciones de vectores aleatorios 57
II.1 Distribuciones de funciones de vectores aleatorios dis-
cretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
II.2 Distribuciones de funciones de vectores aleatorios con-
tinuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
II.3 Distribuciones conjuntas de funciones de vectores alea-
torios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
II.4 Estadísticos de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
II.5 Esperanza de funciones de vectores aleatorios . . . . . . 88
II.5.1 Coeficiente de correlación y matriz de cova-
rianzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
II.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
III. Distribución normal multivariada . . . . . . . . . . . . 111
III.1 Distribución normal bivariada . . . . . . . . . . . . . . . 111
7
8 INTRODUCCIÓNALATEORÍADELAPROBABILIDAD
III.2 Un poco de cálculo matricial . . . . . . . . . . . . . . . 120
III.2.1 Valores y vectores propios de matrices simé-
tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
III.3 Distribución normal multivariada . . . . . . . . . . . . . 151
III.4 Distribuciones muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
III.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
IV. Esperanzas condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
IV.1 Generalización de la definición de probabilidad condi-
cional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
IV.2 Esperanzas condicionales en el caso discreto . . . . . . . 179
IV.3 Definición general de la esperanza condicional . . . . . . 184
IV.4 Esperanzas condicionales en el caso absolutamente con-
tinuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
IV.5 Distribuciones condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . 200
IV.6 Regla general de la probabilidad total . . . . . . . . . . 212
IV.7 Distribuciones condicionales en el caso mixto . . . . . . 223
IV.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Segunda Parte
Convergencia
[]
V. Teoremas límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
V.1 Diferentes tipos de convergencia . . . . . . . . . . . . . 254
V.2 Relación entre modos de convergencia . . . . . . . . . . 261
V.3 Lema de Borel-Cantelli y convergencia casi segura . . . 264
V.4 Funciones generadoras y convergencia en distribución . 266
V.5 Ley débil de los grandes números . . . . . . . . . . . . . 269
V.5.1 Interpretación de la esperanza . . . . . . . . . . 275
V.6 Ley fuerte de los grandes números . . . . . . . . . . . . 282
V.7 Teorema de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
V.8 Teorema del límite central . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
V.9 Convergencia de series aleatorias . . . . . . . . . . . . . 299
V.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
ÍNDICEGENERAL 9
Tercera Parte
Historia
[]
VI. Surgimiento del cálculo de probabilidades . . . . . . 307
VI.1 Algunos resultados particulares . . . . . . . . . . . . . . 309
VI.2 El Trabajo de Girolamo Cardano . . . . . . . . . . . . . 311
VI.3 El trabajo de Pascal-Fermat-Huygens . . . . . . . . . . 314
VI.3.1 Problema de la división de apuestas . . . . . . . 315
VI.3.2 Problemas con dados . . . . . . . . . . . . . . . 325
VI.3.3 UbicacióndeltrabajodePascal-Fermat-Huygens 333
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
VII. Surgimiento de la teoría de la probabilidad moderna 337
VII.1 El cálculo de probabilidades clásico . . . . . . . . . . . . 341
VII.2 Las probabilidades numerables de Émile Borel . . . . . 348
VII.2.1 Teorema de Borel sobre los números normales . 359
VII.3 Surgimiento de la teoría de la medida . . . . . . . . . . 360
VII.3.1 La integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 361
VII.3.2 La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . 363
VII.3.3 Delateoríadeintegraciónalateoríadelcontenido 365
VII.3.4 Teoría de la medida de Borel . . . . . . . . . . 368
VII.3.5 Teoría de la medida de Lebesgue . . . . . . . . 371
VII.4 Identificación de funciones de probabilidad con medidas 374
VII.5 Construcción de medidas en espacios de dimensión in-
finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
VII.5.1 El modelo de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . 382
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
Respuestas a los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
Capítulo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
Capítulo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
Capítulo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
Capítulo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
Capítulo V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
Tabla de la distribución normal estándar . . . . . . . . . . 421
Índice de términos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423