Introducción a la Teoría de Conjuntos

313 Pages·2001·1.241 MB·Spanish

by  José M. Muñoz Quevedo

IINNTTRROODDUUCCCCIIOONN AA LLAA TTEEOORRIIAA
DDEE CCOONNJJUUNNTTOOSS
Jos´e M. Mun˜oz Quevedo
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Cuarta Edici´on
2001
A ZINNIA NADINE, mi acompan˜ante inseparable
durante mi an˜o sab´atico.
i
Pr´ologo a la segunda edici´on.
Desde hace algunos an˜os ten´ıa el prop´osito de redactar unas notas sobre
teor´ıa de conjuntos, pero mis mu´ltiples ocupaciones me hab´ıan impedido
hacerlo. Dispuse finalmente del tiempo necesario para tal fin gracias a los
dos per´ıodos acad´emicos sin carga docente espec´ıfica que me concedi´o la
Universidad Nacional de Colombia para dedicarlos a la realizaci´on de mi
viejo proyecto.
El presente texto ha sido el fruto de este an˜o sab´atico (Agosto 1978-
Julio 1979) y de mis experiencias anteriores como profesor de fundamentos
o de teor´ıa de conjuntos para las carreras de matem´atico y licenciatura en
matem´aticas.
Aunque al escribirlo siempre tuve en mente a los estudiantes de dichas
carreras, tambi´en pens´e en los profesores de secundaria en ejercicio, de
quienes los programas actuales presuponen una preparaci´on que en muchos
casos nunca les ha sido dada; de ah´ı que dediqu´e una buena parte del libro
a construir en detalle los sistemas num´ericos.
Atend´ı siempre en la presentaci´on tanto al rigor como al aspecto peda-
g´ogico; la introducci´on de casi todo concepto o resultado importante est´a
precedida de una motivaci´on, ya sea para interesar al lector en el tema,
para hacerle ver la necesidad de efectuar determinada demostraci´on o para
ponerle de presente las futuras dificultades.
Para plantear algunos problemas interesantes, he supuesto de los lec-
tores conocimientos ajenos a la teor´ıa expuesta; cuando sobrepasan cierto
nivel, los ejercicios llevan a su izquierda +; los ejercicios menos f´aciles van
precedidos del s´ımbolo ∗ y/o van sucedidos de una ayuda.
A nivel institucional, deseo expresar mi gratitud a la Universidad Na-
cional de Colombia por haberme dispensado el tiempo necesario para la
elaboraci´on de estas notas.
A nivel personal, quiero agradecer a mi esposa y a mis hijos su com-
prensi´on, el apoyo que me brindaron y el tiempo de merecido descanso que
sacrificaron y me cedieron para dedicarlo a la redacci´on de este libro. Tam-
bi´en deseo expresar mis agradecimientos a los profesores de la Universidad
ii
Nacional Jos´e Dario S´anchez H. y Clara Helena S´anchez B., quienes usa-
ron en sus cursos la edici´on de prueba e hicieron sugerencias valiosas para
mejorar el texto.
Jose M. Mun˜oz Quevedo
Profesor Em´erito
Departamento de Matem´aticas y Estad´ıstica
Universidad Nacional de Colombia
Bogot´a D. E. 1983.
iii
Pr´ologo a la cuarta edici´on
Mellenadesatisfacci´onponeradisposici´ondeprofesoresyestudiantesesta
cuarta edici´on de la obra que m´as aprecio entre las pocas que he escrito.
Procur´e mejorarla al m´aximo dentro de mis posibilidades. Sus diferencias
principales con ediciones anteriores son:
Se incluy´o una secci´on sobre las relaciones entre los cuantificadores y
los conectivos l´ogicos.
Se ampli´o la secci´on donde se bosqueja la construcci´on de un lenguaje
l´ogico de primer orden.
Se dieron nuevas formas de efectuar definiciones por recurrencia aplica-
bles en diferentes ramas de la matem´atica.
Se introdujo tempranamente el axioma de eleccci´on con el fin de u-
sarlo en la obtenci´on de enumeraciones de conjuntos mediante funciones
sobreyectivas.
Se introdujo el axioma de regularidad y se derivaron sus principales
consecuencias en lo que respecta a la estructura interna de los conjuntos.
En la secci´on sobre nu´meros cardinales, se hicieron algunas mejoras
sugeridas por el profesor Lorenzo Acosta, a quien doy las gracias por ello.
Se agreg´o una prueba directa, sencilla y elegante del axioma de com-
pletez de R.
Se adicion´o una nueva demostraci´on del Teorema de Cantor-Bernstein,
usando el “Lema del Punto Fijo”, la cual fu´e elaborada por el profesor Luis
Rafael Jim´enez, a quien agradezco su gentileza.
Se agreg´o un cap´ıtulo completo sobre los nu´meros ordinales, trat´an-
dolos en la forma m´as sencilla posible como extensiones de los nu´meros
naturales, poniendo de presente el papel que juegan como clasificadores de
losconjuntosbienordenados.Sedestac´oadem´aslaimportanciadelaxioma
de sustituci´on y se prob´o que ´este implica al axioma de separaci´on.
Se mejoraron ostensiblemente tanto los dibujos como la presentaci´on
general del texto.
iv
Hoy, m´as de veinte an˜os despu´es de la primera edici´on, surge la pregun-
ta: ¿es un texto au´n vigente?. Los temas tratados corresponden a los que
podr´ıan llamarse t´opicos b´asicos eternos, de conocimiento imprescindible
para el futuro matem´atico o para el licenciado en Matem´aticas. Si bien es
cierto que en el texto no se incluye ningu´n resultado reciente en teor´ıa de
conjuntos, debido a que su comprensi´on requiere un nivel de conocimientos
y madurez mayor a la que poseen los estudiantes de cuarto semestre uni-
versitario, se recomienda a los docentes habilidosos subsanar esta carencia,
haciendo la introducci´on, al menos a un tema contempor´aneo, como las
t´ecnicas de forzamiento de Cohen, el cual, aun cuando de nivel mayor que
eldelpresentetexto,sehatransformadoenunt´opicoeternomuyfruct´ıfero
en teor´ıa de modelos.
Una vez m´as agradezco a la Universidad Nacional su inter´es y apoyo
para que esta nueva edici´on se hiciera realidad, en especial al Comit´e Edi-
torial del Departamento de Matem´aticas y Estad´ıstica por su encomiable
y altruista labor de difusi´on de la cultura matem´atica. Quiero agradecer a
los hoy matem´aticos Leonardo Prieto y Franqui C´ardenas por su cuidadoso
trabajo en el levantamiento del texto ,a mi hermana, la profesora Myri-
am Mun˜oz de Ozak y a los estudiantes William Llanos y Maira Saldan˜a
por la elaboraci´on de los dibujos y por su trabajo complementario en el
tratamiento y correcci´on del texto matem´atico y finalmente al profesor Yu
Takeuchi por las u´tiles sugerencias para el mejoramiento conceptual del
presente libro, el cual espero siga siendo de utilidad para estudiantes y
profesores.
Jose M. Mun˜oz Quevedo
Profesor Honorario
Departamento de Matem´aticas
Universidad Nacional de Colombia
Bogot´a D.C, 2001.
´
Indice General
1 DESARROLO INTUITIVO 1
1.1 PROPOSICIONES Y CONECTIVOS . . . . . . . . . . . . 1
1.2 CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS . . . . . . . . . . 18
1.4 CONECTIVOS Y CUANTIFICADORES . . . . . . . . . . 27
1.5 COLECCIONES DE CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . 31
1.6 ALGUNAS PARADOJAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7 CONSTRUCCIO´N DE UN LENGUAJE . . . . . . . . . . . 41
2 DESARROLLO AXIOMA´TICO 49
2.1 PRIMEROS AXIOMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 REUNIONES Y CONJUNTOS DE PARTES . . . . . . . . 59
3 FUNCIONES Y RELACIONES 63
3.1 EL PRODUCTO CARTESIANO . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 RELACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3 FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 COMPOSICIO´N DE FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES . . . . . . . . . . 102
3.6 RELACIONES DE EQUIVALENCIA . . . . . . . . . . . . 109
3.7 RELACIONES DE ORDEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4 LOS NU´MEROS NATURALES 129
4.1 CONSTRUCCIO´N DE LOS NATURALES . . . . . . . . . 130
4.2 EL ORDEN DE LOS NATURALES . . . . . . . . . . . . . 141
4.3 INDUCCIO´N MATEMA´TICA . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4 OPERACIONES ENTRE NATURALES. . . . . . . . . . . 157
v
vi ´INDICEGENERAL
5 CONSTRUCCIO´N DE LOS SISTEMAS NUME´RICOS 169
5.1 LOS NU´MEROS ENTEROS . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.2 LOS NU´MEROS RACIONALES. . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.3 LOS NU´MEROS REALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.4 LOS NU´MEROS COMPLEJOS. . . . . . . . . . . . . . . . 204
6 CONJUNTOS INFINITOS Y CARDINALES 211
6.1 CONJUNTOS INFINITOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.2 FORMAS DEL AXIOMA DE ELECCIO´N . . . . . . . . . 221
6.3 CONJUNTOS CONTABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.4 CONJUNTOS NO CONTABLES . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.5 NU´MEROS CARDINALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7 ELECCIO´N, CARDINALIDAD Y REGULARIDAD 257
7.1 ORDEN Y ELECCIO´N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
7.2 ELECCIO´N Y CARDINALIDAD . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.3 EL AXIOMA DE FUNDAMENTACIO´N O REGULARIDAD270
7.4 EL AXIOMA DE REEMPLAZO . . . . . . . . . . . . . . . 276
8 NUMEROS ORDINALES 279
8.1 O´RDENES SEMEJANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
8.2 NU´MEROS ORDINALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.3 CONJUNTOS DE ORDINALES . . . . . . . . . . . . . . . 290
1
Cap´ıtulo
DESARROLO INTUITIVO
1.1 PROPOSICIONES Y CONECTIVOS
El que los conceptos de conjunto, elemento y pertenencia sean los m´as
intuitivos de la Matem´atica, no es casual; en realidad el conocimiento, en
cualquier rama de la ciencia puede darse mediante relaciones conjuntistas
o al menos descansa en un lenguaje que la persona ha adquirido a trav´es
de una serie de vivencias de tipo conjuntista.
Paramejorarnuestraintuici´onenloquealosconjuntosserefiereypara
corregirle posibles desviaciones, lo mismo que para que sirva de base a la
teor´ıa axiom´atica posterior, dedicamos esta primera parte a desarrollar en
forma puramente intuitiva la teor´ıa de los conjuntos.
El primer concepto que necesitamos para llevar a cabo nuestro estudio
es el de “proposici´on”. Es una palabra tomada del lenguaje corriente en
el cual significa m´as o menos “expresi´on con sentido completo”. Nosotros
seremos un poco m´as exigentes y usaremos la palabra proposici´on tan solo
para designar aquellas expresiones de las cuales tiene sentido afirmar que
son verdaderas o falsas.
Por ejemplo,
“1+1 = 2”
“Bogot´a es la capital de Colombia”
“Sir Wiston Churchill fu´e presidente de Francia”
“Existen tri´angulos is´osceles que no son equil´ateros”
“Todos los hombres son mortales”
1
2 CAP´ITULO1. DESARROLOINTUITIVO
“En Colombia existen 40’487.521 habitantes actualmente”, son proposi-
ciones en el sentido matem´atico (que ser´a en el u´nico sentido con el cual
usaremos esta palabra en adelante).
No son proposiciones (“aun cuando tienen sentido completo”) las ex-
presiones siguientes:
“Buenos d´ıas ”
“¿C´omo est´a Ud.?”
“x es blanco”
“Sen˜or, ayu´deme a empujar este autom´ovil, por favor”.
La raz´on se halla en que carece de sentido afirmar que ellas sean ver-
daderas o falsas.
En esta secci´on no vamos a interesarnos en el significado de las proposi-
ciones;u´nicamentelasanalizaremosdesdeelpuntodevistadesuveracidad:
nos importar´a saber si una proposicio´n es verdadera o falsa y tan solo
estudiaremos proposiciones que sean verdaderas o falsas.
Es costumbre emplear las letras p, q, r, s, etc. como s´ımbolos para
designar proposiciones.
Observemos algunas proposiciones de la vida corriente:
(a) “Est´a bien, dijo Jos´e Arcadio Buend´ıa. Nos iremos de este pueblo
lo m´as lejos que podamos y no regresaremos jam´as”. (G. Garc´ıa
M´arquez, Cien an˜os de Soledad).
(a(cid:48)) Pagar´e la comida y la bebida.
(b) Llevar´e a mi novia flores o le llevar´e dulces.
(c) “Si te gusta escuchar, aprender´as. Si inclinas tu o´ıdo, ser´as sabio”
(Salom´on, Los Proverbios).
(c(cid:48)) Si la gasolina sube de precio, entonces tambi´en aumentar´a el precio
de todos los art´ıculos que se transportan.
(d) Se producir´a un cambio sustancial en nuestro pa´ıs si y solamente si,
las clases media y baja comienzan a actuar masivamente en defensa
de sus intereses.
(e) “EnSantaF´edeBogot´asonlascincodelatardedel25deSeptiembre
de 1828. Para los conspiradores el ambiente es tenso; en unas horas
m´as Bol´ıvar estar´a vivo o muerto; todo depende de las circunstan-
cias”.
(e(cid:48)) “Ser o no ser: he ah´ı el problema” (Shakespeare,Hamlet ).