Table Of ContentAnthony Kenny
Colección Teorema
Introducción a Frege
Traducción de Carmen García Trevijano
193
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Doaçao
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Título original de la obra:
Frege. An introduction to tbe Founder
of Modern Analytic Pbilosopby
Prefacio
Hace veinte anos publiqué en Penguin un libro de
introducción a Wittgenstein. Tuvo una amplia acogicla, y
la editorial Penguin me encargó que escríbíese una ín
troducción similar a Frege para el lector no especializa
do. Sin embargo, en aquel mismo afio, 1973, apareció el
Reservados todos los derechos. El conteniclo ele esta obra está protegido
por la Ley, que establece penas de prisión y/o multas, adernás de las primer y extenso volumen del magistral estudio de Mi
correspondientes indemnizaciones por danos y perjuicios, para chael Dummett Frege, Pbilosopby of Language (Londres,
quienes reprodujeren, plagíaren, distribuyeren o comunicaren
Duckworth, 1973). Hubíera sido prematuro publicar una
públicamente, en todo o en parte, una obra literária, artística
obra de divulgación sobre Frege mientras la autorizada
o científica, o su transformación, interpretación o ejecución
artística fijada en cualquier tipo de soporte o comunicada interpretación de Dummett estuviera aún incompleta. Por
a través ele cualquier medio, sin la preceptiva autorización. tanto, decidimos posponer la redacción del presente li
bra hasta la publicación del segundo volumen de Dum
mett. Lo cual no ocurrió hasta 1991.
En ese lapso de tiempo, Dummett fue publicando
otras excelentes obras intermediarias. The Interpreta
tion of Frege's Philosophy apareció en 1981 (Londres,
Duckworth) y Frege and Other Philosophers vio la luz
en 1991 (Oxford University Press). En 1991 apareció tam
bién el libro que. originalmente había sido· planeado
como segundo tomo de una obra proyectada en dos
volúmenes, Frege, Philosophy of Matbematics (Londres,
© Anthony Kenny, 1995
Duckworth).
Ediciones Cátedra, S. A., 1997
Juan Iunacío Luca de Tena, 15. 28027 Madrid Cuando el esperado segundo volumen de Dummett
Depósito legal: M. 13A35/1997 fue publicado. comencé a escribir el presente libro. La
I.S.B.N.: 84-376-1529-1 influencia de Dummett sobre nú, y sobre cualquier otro
Printed in Spain escritor de temas fregeanos, ha sido enorme, y probable-
Impreso en Fernández Ciudad, S. L.
Catalina Suárez, 19. 28007 Madrid
7
mente ha afectado a cada una de estas páginas. Sin
embargo, no me he detenido en sefialar con detalle mi
deuda con Dummett ni en especificar los raros casos en
que, tras alguna vacilación por mi parte, me he aventu
rado a diferir de su interpretación. En general, he trata
do de escribir el libro de manera que el lector no tenga
que verse obligado a evaluar las actuales interpretacio
nes de Frege, ya se trate de las de Dummett o las de
cualquier otro. He intentado evitar las cuestiones sujetas Agradecimientos
a controversia siempre que me ha sido posible, y cuan
do he tenido que tomar partido lo he hecho discreta
mente.
Dummett se dirige a un lector ya introducido en lógi Agradezco a la editorial Basil Blackwell su permiso
ca y filosofia contemporâneas. Este libro está pensado para reproducir pasajes de la traduccíón de Los funda
primariamente para el lector general que puede ignorar mentos de la aritmética realizada por J. L. Austin, y los
una y otra, por lo que he procurado no asumir el me extraídos de la edición a cargo de B. McGuinnes de los
nor conocimiento técnico por su parte. Creo que, de Collected Papers on Matbernatics, Logic and Pbilosopby
hecho, la lectura de Frege es uno de los mejores camí de Frege, traducida por varios autores.
nos para orientarse a sí mismo en el campo de la mo Mi deuda es particularmente profunda con Peter Geach,
derna füosofía analítica. Frege dio a la filosofia su actual que leyó atentamente el manuscrito y me advirtió sobre
giro lingüístico, pero su obra toca cuestiones filosóficas una serie de importantes errores que he procurado eli
tan innegablemente fundamentales que los prejuicíos de minar en la versión final.
los que creen que si la filosofia es lingüística ha de ser
trivial, quedan con ella demolidos. ANrnoNY
KENNY
Los capítulos no han sido organizados por materias,
sino siguiendo la secuencia cronológica del pensamiento
de Frege. Ello envuelve alguna repetición, pues los tópi
cos filosóficos recurren con cierta frecuencia. No obstan
te, y puesto que el propósito de este libro es el de pres
tar ayuda al lector que se sumerge en los propios
escritos de Frege, la ordenación cronológica es con toda
probabilidad la más eficaz para tal propósito.
ANrn:ONY KENNY
Michaelmas, 1993
8 9
Abreviaturas en las referencias
a las obras de Frege
Las citas están referidas a las ecliciones en espafiol de
las obras de Frege. Cuando no hay traducción, nos re
mitimos directamente a la edición alemana original.
C Conceptografia, en Conceptografia. Los fundamen
tos de la aritmética. Otros estudios filosóficos, trad.
Hugo Padilla, Universidad Autónoma de México,
1972.
CO «Sobre concepto y objeto-",
CP -Composición de pensamientos-",
FA Los fundamentos de la aritmética, en Conceptogra
fia ... , México, UNAM, 1972**.
FC -Función y concepto-",
• En Ensayos de semântica y filosofia de la lógica, compilaci6n,
traducción e introducción de Luis M. Valdés, Madrid, Tecnos, 1997.
Este volumen incluye: 1) cinco ensayos de semântica: -Sentido y re
ferencía-, -Comentarios sobre "Sentido y referencia''», -Concepto y
objeto-, -Funcíón y concepto- y •iQué es una funciónl-; y 2) los tres
artículos de filosofia de la lógica que Frege escribió al final de su
vida y pensó editar reunidos con el título Investigaciones lógicas: -El
pensarníento-, -La negacíón- y -Composicíón de pensamíentos-. El
compilador anade entre corchetes la paginación original de esos títu
los de Frege, a la que me atengo al citados, igualmente entre cor
chetes, en e1 presente volumen [N de! T.J.
** Los fundamentos de la aritmética se encuentra también inclui do
en Frege: escritos filosóficos, trad. Ulises Moulínes, Barcelona, Crítica,
1996.
11
GA Grundgesetze der Arithmetik, Hildesheim, G. Ohns,
1962.
KS Kleine Scbriften, compilación de I. Angelelli, Hilde
sheim, Olms, 1967.
N «La negacíón-".
NS Nacbgelassene Scbriften, Hamburgo, F. Meiner Ver-
lag, 1969.
P «EI pensamíento-",
QF «('.Qué es una funciónõ".
CAPÍTIJLO PRIMERO
SR «Sobre sentido y referencía-",
· Introducción biográfica a la filosofia
1F «Über formale Theorien der Anthmetík- [Sobre teo
rias formales de la aritmética], en Kleine Scbriften de Frege
(pág. 98).
Gottlob Frege fue un profesor universitario alemán del
siglo poco conocido de sus contemporâneos, que
XIX,
dedicá su vida entera a pensar, ensefíar y escribir. No se
interesó por los asuntos públicos, y la mayor parte de su
vida transcurrió entre el aula y la biblioteca. Sus libros y
artículos fueron leídos por muy pocos de sus colegas, y
durante mucho tiempo, incluso después de su muerte, su
influencia en filosofia se ejerció principalmente a través
de los escritos de otros. Eh la actualidad, Frege es vene
rado como fundador de la moderna lógica matemática, y
su puesto como filósofo de la lógica está al mismo nível
que el de Aristóteles. En filosofia de la matemática, la fi
gura de Frege se yergue de manera sobresaliente sobre
todas las demás en la historia de esta disciplina.
Frege nació en el seno de una familia luterana en
Wismar, en la costa báltica de Alemania, en 1848. Su
padre, fundador de una escuela de chicas, murió
en 1866 antes de que él se graduara. Durante su edu
cación y temprana carrera académica dependió econó
micamente de su madre, que había sucedido a su mari
do en la dirección de la escuela 1
.
1 Los detalles de su biografia los he extraído de la introducción de
T. W. Bynum, A Conceptual Notation and Related Articles, Oxford
University Press, 1972.
12
13
Ingresó en la Universidad de Jena en 1869, donde imaginarios, tales como .J-1 , que en el sigla XVIII habían
permaneció durante cuatro semestres antes de trasladar sido considerados como curiosidad excêntrica, resultaban
se a Gõttingen en 1871 para estudíar filosofia, física y eficaces para la representación del movimiento en el pla
matemáticas durante otros cinco semestres. Aquí leyó su no, y fueron incorporados, por tanto, junto con otros ti
tesis doctoral sobre un tema de geometria y obtuvo su pos más familiares de números, a una teoria general de
título de doctor por la Universidad de Gõttingen en dí los números complejos. El matemático dublinés Sir
ciembre de 1873 (KS, 1-49). William Hamilton ideó un cálculo de números hipercom
Una vez graduado, Frege solicitó un puesto no remu plejos (cuaternios) que era útil para la representación del
nerado de docente en la Universidad de Jena. En apoyo movimiento en el plano. En Alemania, George Cantor
de su solicitud presentó un artículo, «Métodos de cálculo preparaba en Halle, rnientras Frege era un joven profe
basados en una extensión del concepto de cantidad- (KS, sor, la teoría de números infinitos que veria la luz
50-84), que constituía una nueva contribución al análisis en 1883.
matemático. El artículo fue bien acogido por sus exami Muy pronto llegó Frege a la convicción de que la lu
nadores y el puesto le fue concedido pese al hecho de juriante expansíón de las matemáticas en su tiempo es
que su exposición oral fuera calificada de -ni aguda ni taba inadecuadamente fundamentada. Este ímpresíonan
elocuente-,
te edificio, clamaba él una y otra vez, está asentado
Frege comenzó a enseãar como priuatdozent en 187 4 sobre cimientos poco firmes. Los matemáticos no entíen
y explicó en la facultad de matemáticas de Jena durante den realmente lo que están tratando, ni síquiera en el ni
cuarenta y cuatro anos. Era un profesor claro, concien vel más básico. El problema no se reducía a la falta de
zudo y exigente, y durante algunos anos tuvo que asu entendimiento de la verdadera naturaleza de los núme
mir la carga docente de un colega más viejo que había H,
ros imaginados como por ejemplo o de la de los
quedado inválido. A pesar de ello, la labor de investiga Ji,
números irracionales como o de la de n, o la de
ción realizada durante los cinco primeros anos subsi
números fraccionarios como 2/3 o la de los negativos
guientes a su nombramiento había de sentar las bases de
como por ejemplo 1; la falta de entendimiento empeza
su entera obra posterior y proporcionar el punto de par
ba con los números naturales, como 1, 2 y 3. Los mate
tida para una disciplina enteramente nueva.
máticos no podían explicar, a juicio de Frege, la natura
La carrera de Frege como matemático comenzó en un
leza de los objetos primarios de su ciencia o la base
período excitante en la historia de la matemática. La geo
fundamental de la disciplina que ensefian. Y resolvió
metria euclidiana, considerada como un sistema de ver
dedicar su vida a remediar este defecto: establecer de
dades necesarias durante dos milenios, había perdido su
manera perspicua los fundamentos lógicos y filosóficos
carácter de única a princípios del siglo Euclides ha
XIX.
de la aritmética. La serie de publicaciones elaborada en
bía derivado los teoremas de su sistema a partir de cin
tre sus treinta y sus sesenta anos está consagrada a este
co axiomas: ahora se había mostrado que uno de esos
objetivo.
axiomas, lejos de ser una verdad necesaria, podía ser
La primera de ellas es un opúsculo aparecido en 1879
negado sín pecar de inconsistencia; la consecuencia de
con el título de Begriffsschrift, que podemos traducír por
ello fue el surgimiento de geometrias no euclidianas ba
Conceptografia. La conceptografía o escritura conceptual
sadas en otros axiomas alternativos. Había también exci
tantes desarrollos en teoría de números. Los números que da título al libra era un nuevo simbolismo disefiado
)
14 15
para resaltar con claridad las relaciones lógicas que ocul po de Kant había sido considerada el alfa y el omega
ta el lenguaje ordinario. El cálculo que este libro contie de la lógica.
ne signillcó un avance de primer orden en la historia de El interés que guía a Frege al redactar su Concepto
la lógica. grafia no está dirigido a la lógica en sí. Su propósito no
Desde hace ya bastantes generaciones, el currículum es simplemente ensefiar cómo es posible utilizar la lógi
en lógica formal comienza por el estudio del cálculo ca de manera matemática; lo que Frege persigue es
proposicional. Este cálculo es la rama de la lógica que mostrar que la lógica y la matemática están mucho más
se ocupa de aquellas inferencias que dependen de la estrechamente unidas entre sí de lo que hasta entonces
fuerza de la negación, la conjuncíón, la disyunción, etc., se había pensado.
cuando se aplican a proposiciones tomadas en su tota Antes de que Frege abordase esta cuestión, la natu
lidad. Su principio fundamental es que el valor de ver raleza de la matemática había sido objeto de debate
dad (es decir, la verdad o la falsedad) de las proposí entre dos escuelas de pensamiento filosófico. Según
"º"
ciones que contienen conectivas tales como "Y", «si», Inmanuel Kant (1724-1804), nuestro conocimiento de la
está determinado únicamente por los valores de verdad aritmética y la geometria depende de la intuición. Su
de las proposiciones que las componen y que están li Crítica de la razôri pura elabora la concepción de que
gadas por dichas conectivas. La Conceptografia de Fre las verdades matemáticas son, en su terminologia, a la
ge contíene la primera formulación sistemática del cálcu vez sintéticas y a priori, lo cual significa que, aunque
lo proposicional, presentado en forma axiomática de genuinamente ínformatívas, son conocidas con anterio
manera tal que todas las leyes de la lógica son deriva ridad a toda experiencia. John Stuart Mill (1806-1873),
das, mediante un método especificado de inferencia, a por otra parte, pensaba que las verdades matemáticas
partir de un deito número de principios primitivos. El son conocidas a posteriori, es decir, sobre la base de la
simbolismo de Frege, aunque elegante, es difícil de experiencia. Su Sistema de lógica defiende la tesis de
imprimir y ya no se usa; pero las operaciones que este que las verdades matemáticas son generalizaciones em
simbolismo expresa continúan siendo fundamentales en píricas vastamente aplicables y ampliamente confir
lógica matemática. madas.
La mayor contribución de Frege a la lógica fue su in La naturaleza de la verdad matemática tiene una sig
vención de la teoría de la cuantificación: un método nificación central en filosofia. Fue crucial para la cues
para simbolizar y exponer rigurosamente aquellas infe tión en litígio entre los filósofos empiristas, que mante
rencias cuya validez depende de expresiones tales nían que todo nuestro conocimiento derivaba de la
como «todo» -alguno- -cualquíera- «cada» -alguno no» o experiencia sensorial, y los filósofos racionalistas, que
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-ninguno-. Utilizando una notación novedosa para la sostenían que los elementos más universales · e impor
cuantificación, presenta Frege en la Conceptografia un tantes de nuestro conocimiento derivaban de alguna
cálculo en el que formaliza tales inferencias (un «cálcu fuente supra-sensíble. Así, Mill dice que su Sistema
lo funcional» o «cálculo de predicados» como posterior -combatió a los filósofos de la intuición en un terreno
mente fue llamado). Este cálculo sentá las bases de en el que hasta entonces se les había considerado into
todos los subsiguientes desarrollos en lógica y formali cables; y, a partir de la experiencia y la asociación,
zá la teoría de la inferencia de modo más riguroso y ofrece su propia explicación de ese peculiar carácter de
general que la silogística aristotélica, que hasta el tiern- las que llamamos verdades necesarias, que es aducido
16 17
como prueba de que la evidencia de dichas verdades sistieron principalmente en respuestas a críticos hostiles
ha de venir de una fuente más profunda que la expe- y en explicaciones sobre el modo en que sus objetivos
n• eno. a>2 .
y métodos diferían de los de Boole.
Frege se opone a Mill y concuerda con Kant en que Tal vez debido a la desfavorable acogida de su Con
la matemática es conocida a priori. Pero mantiene que
ceptografia, Frege escribió Los fundamentos de la aritmé
las verdades de la aritmética no son sintéticas en absolu tica en un estilo muy diferente. Comparativamente, recu
to, y niega que contengan información alguna que no
rre rara vez a los símbolos y muestra una preocupación
esté implícita en la naturaleza del conocirniento mismo.
constante por relacionar la cliscusión con la obra de otros
A diferencia de la geometría --que, de acuerdo con
autores. La tesis de que la aritmética es derivable de la
Kant, se basaba en una íntuícíón a priori- la aritmética
lógica -tesis que posteriormente recibió el nombre de
era analítica; no era, por cierto, nada más que una rama
«logicismo»-- es expuesta ahora dara y detalladamente,
de la lógica.
aunque de manera bastante informal la mayoría de las
El objetivo a largo plazo de Frege era mostrar que la
veces.
aritmética podía ser formalizada sín tener que recurtir a
Casi la mitad del libro está dedicada a atacar las ídeas
ningún tipo de nociones o axiomas no lógicos, pues es
de los predecesores y contemporáneos de Frege, incluí
taba basada únicamente en leyes generales que son ope
dos Kant y Mill. El curso de esos ataques va preparando
rativas en cualquier esfera del conocirniento y no requíe
el terreno para la posición logicista. En el cuerpo princi
ren la menor apoyatura de hechos empíricos. En adición
pal de la obra, Frege muestra cómo reemplazar la no
a su formalización y al cálculo de proposiciones y de
ción aritmética general de número por nociones lógicas
funciones, la Conceptografía contenía una buena cantí
tales como la noción de concepto, la noción de objeto
dad de importante trabajo preparatorio para esta reduc
que cae bajo un concepto, la de equivalencia entre con
ción de la aritmética a la lógica; mas la presentación
ceptos y la noción de extensión de un concepto. Frege
completa de la tesis de Frege hubo de esperar a la pu
ofrece definicíones, en términos puramente lógicos, de
blicación de su libro Los Fundamentos de la aritmética
los números cero y uno, y de la relación que cada nú
en 1884.
mero tiene con su predecesor en la serie numérica.
Debiclo en parte a la Conceptografia, Frege fue ascen
A partir de estos elementos, juntamente con las leyes ge
dído al rango de profesor asalariado en 1879. La obra,
nerales de la lógica, el autor ofrecía derivar la totalidad
sin embargo, no fue bien recibida en el mundillo lógico
de la teoria de números.
o matemático en general. La notación de Frege era bidi Los fundamentos de la aritmética es una obra muy
mensional y tabular; lo cual se les antojó incómodo e
notable; pero al aparecer recibió una recepción aún más
inútil a los recensores. Varios autores compararon desfa fria que la Conceptografia. Sólo mereció tres críticas, to
vorablemente el libro con el de George Boole, Una in das ellas hostiles, y durante casi veinte anos el libro
vestigación sobre las leyes de! pensamiento, aparecido
permaneció virtualmente ignorado. Frege se sintió desilu
en 1854 con una lógica organizada en fórmulas que se
sionado, aunque no desanimado para seguir trabajando
asernejaban bastante a las familiares ecuaciones aritméti
sobre su gran proyecto.
cas. Las publicaciones de Frege entre 1879 y 1884 con-
En los Fundamentos hay dos tesis a las que Frege
concede gran importancia. La primera es que cada nú
2
]. S. Mill, Autobiography, Oxford University Press, 1971, pág. 135. mero individual es un objeto independiente. La segunda
18
19
es que el contenido de un enunciado de a2}gnJ1d9:µ de proyecto logicista de derivar la aritmética de la lógica. Sin
un número es una asercíón relativa a un concepto; así, embargo, sus publicaciones durante este período se ocu
por ejemplo, el enunciado «La Tierra tiene una luna- asig pan esencíalmente de problemas de filosofia del lenguaje.
na el número 1 al concepto !una de la Tierra. En 1891-1892 aparecieron tres artículos: -Función y Con
A primera vista estas tesis parecen estar en conflicto, cepto-, «Sentido y Referencia» y -Concepto y Objeto». Cada
pero si entendemos lo que Frege quiere decír con -con uno de estos ensayos, que hoy son autoridad, presenta
cepto- y «objeto» veremos que ambas son complementa ídeas filosóficas de importancia fundamental con brevedad
rias. AI decir que un número es un objeto, el autor no y claridad asombrosas. Sin la menor duela, fueron consi
está sugiriendo que un número sea algo tangible, como derados por Frege como auxiliares para el proyecto logí
lo son un árbol o una mesa. Lo que hace más bíen son cista, pero en la actualídad son tenidos por los escritos se
dos cosas muy distintas. En prímer lugar está negando minales clásicos de la moderna teoria semántica.
que un número es una propíedad que pertenezca a una Uno de los más significativos desarrollos del pensa
cosa, sea individual o colectiva. En segundo, está tam miento fregeano en aquel tiempo fue la nueva clistinción
bíén negando que el número sea algo subjetivo, un ele que el autor introduce ahora entre sentido y referencia.
mento mental o una propiedad de un elemento mental. Mientras otros filósofos hablaban ambiguamente del sig
Los conceptos son para Frege independientes de la men nificado de una expresión, Frege nos invita a constatar
te, y así no hay contradicción entre la tesis de que los la diferencia entre la referencia de una expresión (el
números son objetivos y la tesis de que los enunciados objeto al que se refiere, como el planeta Venus es la re
numéricos son enunciados acerca de conceptos. Estos ferenda de «La estrella de la mafiana-) y el sentido de
dos princípios serán parte esencial del núcleo del pensa esa expresión. («La estrella de la tarde» difíere en sentido
miento de Frege durante muchos anos, mientras sus es de «La estrella de la mafiana-, aunque, como los astróno
fuerzos se encaminan a la perfección del simbolismo y a mos descubrieron, la prímera también se refiere a Ve
la presentación rígurosa de la tesis logicista. nus.) La más chocante y controvertida aplicación de la
Es fácil ver que la filosofia de la matemática de Frege distinción fregeana entre sentido y referencia es su teo
está estrechamente ligada a su concepción de varios tér ria de que no son sólo las palabras aisladas las que tie
minos clave de la lógica y de la fílosoíía, y, ciertamente, nen referencia, sino que también la tienen los enuncia
con la Conceptografia y los Fundamentos no sólo fundó dos completos. La referencia de un enunciado es su
Frege la lógica moderna, sino que también abríó una nue valor de verdad (esto es, lo Verdadero, o lo Falso).
va perspectiva a la filosofia de la lógica. Y lo hizo al esta El clímax de la carrera de Frege como filósofo debería
blecer una neta distinción entre el tratamiento filosófico de haber llegado con la publicación de los volúmenes de
la lógica y otras dos disciplinas que a menudo habían Grundgesetze der Aritbmetik (Princípios de la ariiméticar',
estado entremezcladas. Por una parte separó a la lógica de en los que el autor presenta de manera formal la cons
Ia psicología (con tanta frecuencia confundidas por los fi trucción logicista de la aritmética sobre la base de la pura
lósofos de tradicíón empirista) y, por otra, de la epistemo lógica. Esta obra se proponía ejecutar la tarea programada
logía (con la que había sido a veces mezclada por filóso en los anteriores libros sobre la filosofia de la matemática:
fos de la tradición que arranca de Descartes).
Durante los nueve anos que síguíeron a la publicación
3 Las páginas citadas de esta obra, no traducida. a1 espafiol, son las
de los Fundamentos, Frege se dedicá principalmente a su
de su edición original alemana.
20 21
establecer un conjunto de axiomas que fueran con toda do volumen. El majestuoso proyecto de Frege quedá
evidencia verdades lógicas, proponer un conjunto de re abortado antes de ser completado. El primer volumen
glas de inferencia de consistencia reconocida, y luego, sír fue recibido en general con la fria índíferencia que ha
viéndose de estas reglas, presentar, una por una, deriva bía acompafíado a sus anteriores obras. A resultas de
dones de las habituales verdades aritméticas a partir de ello, la publicación del segundo volumen quedó conge
los axiomas en una versión ampliada del simbolismo lada durante una década y vio finalmente la luz a expen
de la Conceptografta. Sín embargo, ningún editor se com sas del propio autor. No obstante, la publicación del pd
prometió a publicar el manuscrito completo; Pohle de mer volumen tuvo como consecuencia la promoción de
Jena, que había publicado -Funcíón y Concepto- como un Frege a la cátedra en Jena y una sustancial ayuda de
opúsculo, accedía a publicarlo en dos volúmenes, supedí investigación financiada por la fundación de la compa
tando la edición del segundo al êxito del primero. A fina füa fotográfica Zeiss, Igualmente dio lugar a una fructífe
Ies de 1893 aparecía el primer volumen; la publicación del ra controversia con el lógico italiano Giuseppe Peano,
segundo fue pospuesta hasta 1903. que modificá su propia y recién publicada axiomatiza
Los Grundgesetze síguen la línea principal de Los fun cíón de la aritmética para tomar en cuenta las críticas de
damentos. No obstante, Frege pone aquí mucho más Frege. A través de Peano, la obra de Frege llegó final
énfasis en la noción de clase, que ahora considera esen mente a oídos del primero de sus lectores ingleses, Ber
cial para la defírucíón de la noción de número. Los nú trand Russell, à la sazón un [oven miembro del Tríníty
meros cardinales son en efecto definidos como dases de College en Cambridge.
dases equivalentes, esto es, dases con el mismo núme Entre la aparición de los dos volúmenes de los
ro de miembros, así, el número dos es la clase de los Grundgesetze, Frege empleó mucho tiempo en publicar
· pares, y el número tres es la clase de los trios. Pese a amargos y sarcásticos ataques de intensidad creciente
las apariendas, esta definición no es circular, puesto que contra los estudiosos que habían malinterpretado sus
podemos decir qué significa que dos dases tienen el propias publicaciones. El más fértil de ellos fue su hostil
mismo número de miembros sin necesidad de utilizar la recensión de la Filosofia de la aritmética del filósofo ale
noción de número. Dos dases son equivalentes si es mán Edmund Husserl; la crítica fregeana, que en buena
posible ponerlas mutuamente en correspondencia de parte fue asumída por Husserl, llevó a éste a abandonar
uno-a-uno. Podemos definir el número cero en términos el psicologismo que anteriormente había defendido y a
puramente lógicos como la dase de todas las dases convertirse, aliado con Frege, en uno de sus más seve
equivalentes a la clase de objetos que no son idénticos
ros críticos.
consigo mismos. Podemos definir al número uno como Mientras el segundo volumen estaba en prensa, en
la clase de todas las dases equivalentes a la clase cuyo 1902, Frege recibió una carta de Russell en la que le
único miembro es cero. Para pasar de la definíción de advertía que el quinto de los axiomas iniciales de los
cero y uno a la defínícíón de los otros números natura Grnndgesetze tomaba inconsistente al sistema entero.
les, Frege hace uso de las defínícíones de -sucesor» y de Este axioma establece en efecto que si todo F es G, y
otras relaciones matemáticas en el seno de la serie nu todo G es F, entonces la clase de los Fs es idéntica a la
mérica que ya había desarrollado en la Conceptografta. clase de los Gs, y viceversa: era el axioma que, en pala
El tratamiento de los números negativos, fraccionarios, bras de Frege, permitía «la transición de un concepto a
irracionales y complejos quedó pospuesto para el segun- su extensión-, transición que era esencial si había que
22 23
