Table Of ContentMarcos Jardim & Henrique N. Sá Earp
Notas de Aula: Introdução a Teoria de Calibre
CAMPINAS
2014
i
ii
Resumo
Estas notas foram digitadas pelos os alunos da disciplina Tópicos de Geometria I: Introdução a
teoria de Calibre, ministrado no segundo semestre de 2014, na Universidade Estadual de Campinas
pelos professores Dr. Marcos Jardim e Dr. Henrique de Sá Earp.
Palavras-chave: Fibrado, Conexão, espaço de Modulos, Transformação de Calibre.
iii
iv
Sumário
1 Revisão de Variedades Suaves e Grupos de Lie 1
1.1 Variedades Suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Funções Suaves e Vetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Fibrados Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5 Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.6 Álgebra Exterior em Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.7 Orientabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.8 Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.9 Estrela de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2 Variedades complexas e Kähler 69
2.1 Preliminares: Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2 Variedades Quase Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3 Funções Holomorfas em C𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4 Variedades Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5 Integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6 Estruturas Kähler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3 Fibrados Vetoriais Reais e Complexos 91
3.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2 Funções de Transição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3 Seções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4 Conexões e Curvatura 101
4.1 Conexões em Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1.1 Conexões em Fibrados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2 Conjunto das conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.1 Transformação de Calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2.2 Conjunto das conexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2.3 Conexões em somas diretas e em produtos tensoriais . . . . . . . . . . . . . 105
4.3 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.1 Curvatura em Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
v
4.3.2 Curvatura em Fibrados Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4 Conexão no fibrado de endomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5 Integrabilidade de Estruturas Holomorfas 111
5.1 Integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1.1 Fibrados Hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2 Condição de Autodualidade e Anti-Autodualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6 Classes características e teoria de Chern Weil 119
6.1 Funções Ad-Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2 Classes Características para fibrados vetoriais complexos . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3 Classes de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.4 Obstrução pela existência de conexões planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.5 Exemplos de Classes de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.5.1 Conexões via Projeções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7 Teorema de Gauss Bonnet em superfície 131
7.1 Estrutura Quase-Complexa em Fibrados Reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.2 Generalizações do Teorema Gauss Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.3 Exemplos sobre fibrados complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8 Eletromagnetismo em variedades 137
8.1 Revisitando o operador estrela de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.2 Reescrevendo as equações de Maxwell em R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.2.1 O par homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.2.2 O par não-homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.3 O eletromagnetismo como uma 𝑈(1) teoria de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.4 O efeito Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.4.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.4.2 Solenóide de Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.4.3 Sobreposição de funções de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9 Equação de Yang-Mills e Autodualidade 151
9.1 Equação de Yang-Mills e autodualidade - Parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.1.1 Funcional de Yang-Mills (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.1.2 Cotas topologicas de energia (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.1.3 Redução 𝑈(𝑛) (cid:32) 𝑆𝑈(𝑛) (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.1.4 Teoria de Hodge (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.1.5 Teorema de decomposição de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.1.6 Norma do representante harmônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.2 Equação de Yang-Mills e autodualidade - Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.2.1 Exemplos de instantos AAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
vi
10 O espaço das Conexões 159
10.1 O grupo de automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
10.2 Variedades de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.3 A ação do grupo de automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11 Modelo local do espaço de moduli de instantons 167
11.1 Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.2 Fibrados e transformações de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.3 Modelo local do espaço de órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.4 O espaço de módulos de instantons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.5 Modelo local do espaço de módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
12 Teorema de Narasimhan Seshadri e Teoria de Deformação 173
12.1 Teorema de Narasimhan Seshandri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.2 Operadores Elípticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
12.2.1 Teoria de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.2.2 Operadores Elípticos em fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.3 Teorema do Índice de Atiyah-Singer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
12.4 Cobordismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
12.5 Transversalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Referências 182
Índice Remissivo 183
vii
viii
Capítulo 1
Revisão de Variedades Suaves e Grupos
de Lie
1.1 Variedades Suaves
O objetivo desta seção é discutir o conceito de suavidade. A noção de suavidade de uma varie-
dade tem como ancestral o conceito de regularidade de curvas e superfícies no espaço Euclideano,
que, a grosso modo, são as curvas e superfícies nas quais se consegue definir naturalmente um
plano tangente em cada ponto.
Definição 1.1.1. Um espaço topológico é um par (𝑋,𝜏) formado por um conjunto 𝑋 (cujos
elementos são chamados de pontos) e uma coleção 𝜏 (chamada de topologia de 𝑋) de subconjuntos
de 𝑋 (chamados de abertos de 𝑋) tais que
(i) ∅ e 𝑋 são abertos de 𝑋;
(ii) Se {𝑈 } ⊂ 𝜏 é uma família de abertos então ∪ 𝑈 é um aberto;
𝜆 𝜆∈Λ 𝜆∈Λ 𝜆
(iii) Se {𝑈 } ⊂ 𝜏 é uma família de abertos então ∩𝑘 𝑈 é um aberto.
𝑛 1(cid:54)𝑛(cid:54)𝑘 𝑛=1 𝑛
Se 𝐹 ⊂ 𝑋 e 𝑋∖𝐹 ∈ 𝜏, dizemos que 𝐹 é um fechado de 𝑋. Por conveniência, quando a topologia
de (𝑋,𝜏) estiver clara no contexto, nos referiremos a 𝑋 como um espaço topológico e omitiremos
a topologia 𝜏.
Exemplo 1.1.2. (a) O conjunto R dos números reais possui uma topologia canônica na qual
os abertos são ∅, R e as uniões de intervalos abertos (i.e. uniões de conjuntos da forma
(𝑎,𝑏) := {𝑥 ∈ R:𝑎 < 𝑥 < 𝑏}).
(b) Se (𝑋 ,𝜏 ), 𝑖 = 1, 2,..., 𝑛, são espaços topológicos então 𝑋 = 𝑋 × 𝑋 × ...𝑋 possui
𝑖 𝑖 1 2 𝑛
uma estrutura de espaço topológico na qual os abertos são as uniões de conjuntos da forma
𝑈 ×𝑈 ×...×𝑈 , onde 𝑈 ∈ 𝜏 . Esta estrutura de espaço topológico é chamada de topologia
1 2 𝑛 𝑖 𝑖
produto. Em particular, a topologia produto de R𝑛 = R×...×R é conhecida como topologia
canônica de R𝑛. A menos que seja mencionado o contrário, os espaços 𝑅𝑛, conhecidos como
espaços Euclideanos, serão sempre considerados como munido de sua topologia canônica.
1
(c) Dados espaços topológicos (𝑋 ,𝜏 ), 𝑖 ∈ 𝐼, a união disjunta 𝑋 = ⊔ 𝑋 possui uma estrutura
𝑖 𝑖 𝑖∈𝐼 𝑖
de espaço topológico no qual os abertos são os conjuntos da forma ∪ 𝑈 , onde 𝑈 ∈ 𝜏 .
𝑖∈𝐼 𝑖 𝑖 𝑖
Dizemos que esta é a topologia união de 𝑋.
(d) Se (𝑋,𝜏) é um espaço topológico e 𝑌 ⊂ 𝑋 então a coleção
𝜏| := {𝑌 ∩𝑈:𝑈 ∈ 𝜏}
𝑌
é tal que (𝑌,𝜏| ) é um espaço topológico. Neste caso, dizemos que (𝑌,𝜏| ) é um subespaço
𝑌 𝑌
de (𝑋,𝜏).
(e) Sejam (𝑋,𝜏) um espaço topológico e ∼ uma relação de equivalência em 𝑋. O mapa 𝜋:𝑋 →
𝑋/∼, entre 𝑋 e o conjunto das classes de equivalência 𝑋/∼ de 𝑋 pela relação ∼, que manda
cada ponto em sua classe de equivalência, é chamado de mapa quociente. A coleção
𝜏/∼:= {𝑉 ⊂ 𝑋/∼:𝜋−1(𝑉) ∈ 𝜏}
é tal que (𝑋/∼,𝜏/∼) é um espaço topológico. Dizemos que 𝜏/∼ é a topologia quociente de
𝑋/∼.
Umespaçotopológico(𝑋,𝜏)tambémpodeserdescritopelafamíliadeseussubespaçosfechados
𝜌. De fato, o par (𝑋,𝜏) é um espaço topológico se e somente se o conjunto 𝜌 := {𝐹 ⊂ 𝑋:𝑋∖𝐹 ∈ 𝜏}
satisfaz as condições:
(i) ∅ e 𝑋 ∈ 𝜌;
(ii) Se {𝐹 } ⊂ 𝜌 então ∪𝑘 𝐹 ∈ 𝜌;
𝑛 1(cid:54)𝑛(cid:54)𝑘 𝑛=1 𝑛
(iii) Se {𝐹 } ⊂ 𝜌 então ∩ 𝐹 ∈ 𝜌.
𝜆 𝜆∈Λ 𝜆∈Λ 𝜆
Definição 1.1.3. Se (𝑋,𝜏) é um espaço topológico e 𝑆 ⊂ 𝑋, denotamos por 𝑆 o subespaço fechado
de 𝑋 que é dado pela interseção de todos os subespaços fechados de 𝑋 que contém 𝑆.
Os espaços Euclideanos, são os exemplos de espaços topológicos mais importantes desta se-
ção, pois, em certo sentido, são as variedades mais simples de variedade possíveis. Em especial,
queremos que todas as variedades possuam algumas propriedades em comum com os espaços Eu-
clideanos. Uma delas é a noção de distância entre pontos como veremos na próxima definição.
Definição 1.1.4. Seja 𝑋 um conjunto com uma função d:𝑋 ×𝑋 → R satisfazendo, para cada 𝑥,
𝑦 e 𝑧 em 𝑋:
(i) d(𝑥,𝑦) = 0 se e somente se 𝑥 = 𝑦;
(ii) d(𝑥,𝑦) = d(𝑦,𝑥);
(iii) d(𝑥,𝑦) (cid:54) d(𝑥,𝑧)+d(𝑧,𝑥).
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