Table Of Content~ (cid:18) (cid:19)
INTRODUC(cid:24)AO A TEORIA COMBINATORIA
DE SEMIGRUPOS INVERSOS
(cid:3)
Pedro V. Silva
Departamento de Matem(cid:19)ati
a Pura, Fa
uldade de Ci^en
ias,
Universidade do Porto, 4000 Porto, Portugal
A teoria
ombinat(cid:19)oria de semigrupos inversos tem
omo obje
tivo o estudo dos
semigrupos (monoides) inversos livres e respe
tivas apresenta
(cid:24)~oes. A generalidade
dos resultados relativos a semigrupos inversos livres pode ser fa
ilmente deduzida a
partir de resultados an(cid:19)alogos para monoides inversos livres, pelo que adoptaremos
invariavelmente a \vers~ao monoide".
O
on
eito de semigrupo inverso livre remonta a 1961, quando foi introduzido
por Vagner [28℄. Contudo, para al(cid:19)em de alguns resultados espora(cid:19)di
os, a teoria n~ao
produziria grandes desenvolvimentos at(cid:19)e 1973, quando o problema da palavra para o
semigrupo inverso livre foi resolvido (independentemente) por S
heibli
h [19℄ e Munn
[16℄. A solu(cid:24)
~ao de S
heibli
h, de natureza essen
ialmente alg(cid:19)ebri
a, tinha
omo base
o grupo livre, enquanto a solu(cid:24)
~ao de Munn era de natureza
ombinat(cid:19)oria e pode ser
vista hoje (cid:18)a luz da teoria de linguagens e auto(cid:19)matos.
O estudo
onsistente e sistema(cid:19)ti
o de apresenta
(cid:24)~oes de monoides inversos teve
omo ponto de partida o desenvolvimento de uma teoria
ombinat(cid:19)oria por parte de
Stephen em 1987 [26℄, que
onstituiu uma generaliza(cid:24)
~ao do trabalho efe
tuado por
Munn para os monoides inversos livres. Usando as
onstru(cid:24)
~oes de Stephen, foram
obtidos nos u(cid:19)ltimosanos va(cid:19)rios resultados que p~oem em relevo liga(cid:24)
~oes importantes (cid:18)a
teoria
ombinat(cid:19)oria de semigrupos, teoria de semigrupos (cid:12)nitos, teoria
ombinat(cid:19)oria
de grupos e teoria de linguagens, o que mostra a vitalidade da teoria. Entre outros
autores, podemos
itar Margolis, Meakin, Sapir e Silva [10℄ [11℄ [13℄ [14℄ [24℄. No que
se refere a resultados de de
idibilidade propriamente ditos, t^em-se registado alguns
su
essos mas permane
em em aberto va(cid:19)rios problemas fundamentais, em parti
ular
o problema da palavra para apresenta
(cid:24)~oes
om uma u(cid:19)ni
a rela(cid:24)
~ao. Entre outros,
podemos
itar Birget, Margolis, Meakin, Silva, Stephen [4℄ [12℄ [21℄ [22℄ [23℄ [25℄ [27℄.
Foi nossa op(cid:24)
~ao neste
urso privilegiar os fundamentos da teoria e a resolu
(cid:24)~ao de
problemas de de
idibilidade, de modo a manter os pr(cid:19)e-requisitos de teoria de gru-
pos e teoria de linguagens a n(cid:19)(cid:16)veis a
eita(cid:19)veis. Apesar disso, a grande import^an
ia
de que se revestem alguns
on
eitos oriundos destas (cid:19)areas obriga-nos a dedi
ar-lhes
(cid:3)
Este trabalho foi realizado
om o apoio da JNICT - Proje
to SAL (PBIC/C/CEN/1021/92)e
do ESPRIT-BRA Working Group 6317"ASMICS".
1
algumas se
(cid:24)
~oes espe
(cid:19)(cid:16)(cid:12)
as. Resulta assim que nada menos do que
in
o se
(cid:24)
~oes num
total de doze s~ao dedi
adas (cid:18)a introdu(cid:24)
~ao de
on
eitos fundamentais em (cid:19)areas ex-
teriores (cid:18)a teoria
ombinat(cid:19)oria de semigrupos inversos. As se
(cid:24)
~oes 4 e 7 s~ao dedi-
adas ao monoide inverso livre, as se
(cid:24)
~oes 8 e 9 abordam as
onstru(cid:24)
~oes de Stephen
para apresenta
(cid:24)~oes de monoides inversos, e as se
(cid:24)
~oes 10 e 11 mostram algumas
apli
a
(cid:24)~oes desta teoria a problemas de de
idibilidade para apresenta
(cid:24)~oes
on
retas.
Na u(cid:19)ltima se
(cid:24)
~ao, (cid:19)e eviden
iada a import^an
ia da resolu(cid:24)
~ao do problema da palavra
para apresenta
(cid:24)~oes de monoides inversos
om uma u(cid:19)ni
a rela(cid:24)
~ao, e s~ao apresentados
(sem demonstra(cid:24)
~ao) alguns outros resultados de de
idibilidade.
Finalmente, gostaria agrade
er ao Centro Interna
ional de Matema(cid:19)ti
a a oportu-
nidade que me
on
edeu de elaborar um
urso
om estas
ara
ter(cid:19)(cid:16)sti
as.
1 Semigrupos e monoides
Nesta se
(cid:24)
~ao vamos apresentar de forma resumida alguns
on
eitos e resultados
b(cid:19)asi
os relativos a semigrupos e monoides em geral. Os
on
eitos s~ao todos de(cid:12)nidos
em termos de monoides, sendo as vers~oes para semigrupos inteiramente an(cid:19)alogas.
A
onselhamos ao leitor interessado em mais detalhes a
onsulta de [6℄.
Um semigrupo (cid:19)e uma estrutura alg(cid:19)ebri
a da forma (S;(cid:3)), onde S (cid:19)e um
onjunto
n~ao vazio e (cid:3) designa uma opera
(cid:24)~ao bina(cid:19)ria asso
iativa em S. Se a opera
(cid:24)~ao estiver
subentendida, (cid:19)e habitual designar um tal semigrupo por S e es
rever ab em vez de
a(cid:3)b para todos a;b 2 S. Dizemos que e (cid:19)e elemento neutro de S se
8a 2 S; ae = ea = a:
Um semigrupo
om elemento neutro diz-se um monoide. E(cid:19) imediato que o elemento
neutro de um monoide (cid:19)e u(cid:19)ni
o, e (cid:19)e habitualmente designado pelo s(cid:19)(cid:16)mbolo 1. Um
2
elemento e 2 M diz-se idempotente se e = e. Todo o monoide tem pelo menos um
elemento idempotente, o elemento 1. O
onjunto dos elementos idempotentes de M
(cid:19)e designado por E(M).
Seja M um monoide. Dizemos que N (cid:18) M (cid:19)e um submonoide de M se 1 2 N
e ab 2 N para todos a;b 2 N. Dado um sub
onjunto A (cid:18) M qualquer, existe um
(cid:3)
submonoide A de M que
ont(cid:19)em A e (cid:19)e o menor submonoide de M
ontendo A, a
saber,
(cid:3)
A = f1g[fa1:::an; n (cid:21) 1; ai 2 Ag:
(cid:3) (cid:3)
Dizemos que A (cid:19)e o submonoide de M gerado por A. Se A = M, dizemos que A (cid:19)e
um
onjunto de geradores de M.
Uma rela(cid:24)
~ao em M (cid:19)e um sub
onjunto R (cid:18) M (cid:2)M. Dada uma rela(cid:24)
~ao (cid:12)nita
R = f(a1;b1);:::;(an;bn)g;
(cid:19)e habitual enun
iar os elementos de R na forma
a1 = b1;:::;an = bn:
2
Por abuso de linguagem, os elementos de R s~ao tamb(cid:19)em designados por rela(cid:24)
~oes. Se
(cid:0)1
R (cid:19)e uma rela(cid:24)
~ao em M, designamos por R a rela(cid:24)
~ao f(a;b); (b;a) 2Rg. A rela(cid:24)
~ao
R diz-se uma
ongru^en
ia se for uma rela(cid:24)
~ao de equival^en
ia e satis(cid:12)zer
(a;b) 2 R ) (a
;b
);(
a;
b) 2 R
para todos a;b;
2 M. Dada uma rela(cid:24)
~ao R qualquer em M, existe uma
ongru^en
ia
em M que (cid:19)e a menor
ongru^en
ia em M
ontendo R, e que se diz a
ongru^en
ia em
℄
M gerada por R. Esta
ongru^en
ia(cid:19)e designada por R e pode ser des
rita do seguinte
℄
modo. Dados a;b 2 M, temos (a;b) 2 R se existirem w0;:::;wn 2 M (n (cid:21) 0), tais
que:
a = w0,
b = wn,
(cid:0)1
para todo i 2 f1;:::;ng, existem xi;yi 2 M e (ri;si) 2 R[R tais que
wi(cid:0)1 = xiriyi; wi = xisiyi:
Seja (cid:28) uma
ongru^en
ia no monoide M e seja a 2 M. Designamos a
lasse de
ongru^en
ia de a por a(cid:28) e es
revemos
M=(cid:28) = fa(cid:28); a 2 Mg:
De(cid:12)nimos uma estrutura natural de monoide em M=(cid:28) por
(a(cid:28))(b(cid:28)) = (ab)(cid:28) (a;b 2 M)
sendo 1(cid:28) o elemento neutro. O fa
to de (cid:28) ser uma
ongru^en
ia garante que esta
opera(cid:24)
~ao est(cid:19)a bem de(cid:12)nida e M=(cid:28) diz-se o monoide quo
iente de M por (cid:28).
Sejam M;N monoides. Uma fun(cid:24)
~ao ': M ! N diz-se um homomor(cid:12)smo (de
monoides) se 1' = 1 e (ab)' = (a')(b') para todos a;b 2 M. Um homomor(cid:12)smo
bije
tivo diz-se um isomor(cid:12)smo, e (cid:19)e imediatoque a fun(cid:24)
~ao inversa de um isomor(cid:12)smo
(cid:19)e tamb(cid:19)em um isomor(cid:12)smo. Se existir um isomor(cid:12)smo entre dois monoides M e N,
dizemos que estes s~ao isomorfos e es
revemos M ' N. O resultado seguinte mostra-
nos que os
on
eitos de
ongru^en
ia e homomor(cid:12)smo est~ao intimamente ligados.
Teorema 1.1 Seja ': M ! N um homomor(cid:12)smo de monoides e seja (cid:28) uma
on-
gru^en
ia em M.
(i) A proje
(cid:24)
~ao
(cid:25): M !M=(cid:28)
a7!a(cid:28)
(cid:19)e um homomor(cid:12)smo sobreje
tivo de monoides.
3
(ii) Se (cid:28) (cid:18) Ker', ent~ao
(cid:8): M=(cid:28) !N
a(cid:28) 7!a'
(cid:19)e um homomor(cid:12)smo de monoides, e o diagrama
' //
(cid:25)M(cid:15)(cid:15) zzzzz(cid:8)zzz==N
M=(cid:28)
omuta.
(iii) A rela(cid:24)
~ao
Ker' = f(a;b) 2 M (cid:2)M : a' = b'g
(cid:19)e uma
ongru^en
ia em M, M' (cid:19)e um submonoide de N e M' ' M=Ker'.
Dem. Exer
(cid:19)(cid:16)
io. (cid:3)
Teorema 1.2 Sejam (cid:28) e (cid:27)
ongru^en
ias num monoide M tais que (cid:28) (cid:18) (cid:27).
(i) A rela(cid:24)
~ao (cid:27)=(cid:28) = f(a(cid:28);b(cid:28)) : (a;b) 2 (cid:27)g (cid:19)e uma
ongru^en
ia em M=(cid:28).
(ii) (M=(cid:28))=((cid:27)=(cid:28)) ' M=(cid:27).
Dem. Exer
(cid:19)(cid:16)
io. (cid:3)
Exemplo 1.3 Consideremos o monoide (N0;+). Para todo p 2 N0, temos
(cid:3)
p = fkp; k 2 N0g;
(cid:3)
fp;p+1g = fkp+j; k 2 N0; 0 (cid:20) j (cid:20) kg:
(cid:3)
Se p > 1, o maior inteiro n~ao perten
ente a fp;p+1g (cid:19)e
2
(p(cid:0)2)p+(p(cid:0)1) = p (cid:0)p(cid:0)1:
Dados m 2 N0 e p 2 N, seja (cid:28)m;p a
ongru^en
ia em N0 gerada pela rela(cid:24)
~ao
m = m+p. E(cid:19) f(cid:19)a
il de ver que u(cid:28)m;p = v(cid:28)m;p se e s(cid:19)o se u = v ou
u;v (cid:21) m e p j u(cid:0)v:
E(cid:19) imediato que
N0=(cid:28)m;p = f0(cid:28)m;p;:::;(m+p(cid:0)1)(cid:28)m;pg;
e todos estes elementos s~ao distintos. Vamos determinar quantos idempotentes exis-
tem. Seja u 2 f0;:::;m + p (cid:0) 1g. Ent~ao u(cid:28)m;p = (u + u)(cid:28)m;p se e s(cid:19)o se u = 0 ou
u (cid:21) m
om p j u. Como existe exa
tamente um inteiro u 2 fm;:::;m + p (cid:0) 1g tal
que p j u, resulta que, se m > 0, N0=(cid:28)m;p tem dois idempotentes; se m = 0, 0(cid:28)m;p (cid:19)e o
u(cid:19)ni
o idempotente de N0=(cid:28)m;p. (cid:3)
4
Seja agora X um
onjunto (na~o vazio). Uma transforma
(cid:24)~ao par
ial de X (cid:19)e uma
fun(cid:24)
~ao da forma f : Y ! X,
om Y (cid:18) X. Dizemos que Y (cid:19)e o dom(cid:19)(cid:16)nio de f,
om
nota(cid:24)
~ao domf, e que Yf (cid:19)e a imagem de f,
om nota
(cid:24)~ao imf. Seja PT(X) o
onjunto
detodasastransforma(cid:24)
~oes par
iaisde X. De(cid:12)nimosumaopera
(cid:24)~ao de
omposi
(cid:24)~ao em
PT(X) do seguinte modo: se f;g 2 PT(X), fg (cid:19)e de(cid:12)nida por dom(fg) = (imf \
(cid:0)1
domg)f e x(fg) = (xf)g para todo x 2 dom(fg).
Exer
(cid:19)(cid:16)
io 1.4 Mostre que PT(X), munido desta opera(cid:24)
~ao de
omposi(cid:24)
~ao,
onstitui
um monoide. (cid:3)
Seja T(X) o submonoide de PT(X)
onstitu(cid:19)(cid:16)do pelas transforma
(cid:24)~oes de
dom(cid:19)(cid:16)nio X. Vejamos que todo o monoide pode ser visto
omo um submonoide de
T(X) para algum X.
Teorema 1.5 Seja M um monoide. Ent~ao M (cid:19)e isomorfo a um submonoide de T(X)
para algum
onjunto X.
Dem. Seja X = M enquanto
onjunto, e
onsideremos a fun(cid:24)
~ao
': M !T(X)
a7!'a
onde 'a: X ! X (cid:19)e de(cid:12)nida por x'a = xa. Dados a;b;x 2 M, temos
x'ab = x(ab) = (xa)b = x'a'b
e logo 'ab = 'a'b. Por outro lado, '1 = 1, logo ' (cid:19)e um homomor(cid:12)smo. Se 'a = 'b,
ent~ao a = 1'a = 1'b = b, pelo que ' (cid:19)e inje
tivo e M (cid:19)e isomorfo ao submonoide
f'a;a 2 Mg de T(X). (cid:3)
Dado um
onjunto X, uma palavra em X (cid:19)e uma sequ^en
ia (cid:12)nita de elementos de
X, que representamos na forma
x1:::xn (n (cid:21) 1; xi 2 X)
se for n~ao vazia, ou pelo s(cid:19)(cid:16)mbolo 1 se for vazia. De(cid:12)nimos o
omprimento da palavra
(cid:3)
u = x1:::xn
omo sendo juj= n, de(cid:12)nindo tamb(cid:19)em j1j= 0. Designamos por X o
onjuntode todasaspalavrasemX, e identi(cid:12)
amososelementos de X (apelidadosde
letras)
omaspalavrasde
omprimento1
orrespondentes. Neste
ontexto,(cid:19)e habitual
referirmo-nos a X
omo um alfabeto. Se X (cid:19)e um alfabeto, assumimos sempre que 1
n~ao designa nenhum elemento de X.
(cid:3)
De(cid:12)nimos em X uma opera
(cid:24)~ao bina(cid:19)ria dita de
on
atena
(cid:24)~ao, de(cid:12)nida por
0 0 0 0
(x1:::xn)(cid:1)(x1:::xm) = x1:::xnx1:::xm
u(cid:1)1 = 1(cid:1)u = u
para todos xi;x0j 2 X e u 2 X(cid:3). E(cid:19) imediato que X(cid:3), munido da opera
(cid:24)~ao de
on
atena
(cid:24)~ao ,
onstitui um monoide em que a palavra vazia 1 (cid:19)e o elemento neutro.
(cid:3) (cid:3)
Dizemos que X (cid:19)e o monoide livre sobre o
onjunto X, pois X satisfaz a seguinte
propriedade (propriedade universal):
5
Teorema 1.6 Seja X um
onjunto, seja M um monoide e seja ' : X ! M uma
(cid:3)
fun
(cid:24)~ao qualquer. Ent~ao existe um e um s(cid:19)o homomor(cid:12)smo (cid:8) : X ! M tal que o
diagrama
' //
X(cid:127)_ {==M
{
{
{
{
{
{
(cid:15)(cid:15) (cid:8)
(cid:3)
X
omuta.
Dem. De(cid:12)nimos o homomor(cid:12)smo (cid:8) por
(x1:::xn)(cid:8) = (x1)':::(xn)'
(cid:19)
para toda a palavra n~ao vazia x1:::xn (xi 2 X), e 1(cid:8) = 1. E imediato que (cid:8) satisfaz
as
ondi(cid:24)
~oes do enun
iado, e a uni
idade resulta do fa
to de X ser um
onjunto de
(cid:3)
geradores de X . (cid:3)
Exer
(cid:19)(cid:16)
io 1.7 Mostre que, dado um
onjunto X, a propriedade universal
ara
teriza
o monoide livre sobre X a menos de isomor(cid:12)smo. (cid:3)
A propriedade universal permite-nos mostrar fa
ilmente que todo o monoide M (cid:19)e
isomorfo a um quo
iente de algum monoide livre. Com efeito, seja X um
onjunto de
(cid:3)
geradores de M (por exemplo, o pro(cid:19)prio M), e seja ' a in
lus~ao. Ent~ao (cid:8): X ! M
(cid:3)
(cid:19)e um homomor(cid:12)smo sobreje
tivo e logo M ' X =Ker(cid:8) pelo Teorema 1.1(iii).
Uma express~ao formal do tipo Mon < X;R >, em que X (cid:19)e um
onjunto e R (cid:19)e
(cid:3)
uma rela(cid:24)
~ao em X , diz-se uma apresenta
(cid:24)~ao de monoides. O monoide de(cid:12)nido por
(cid:3) ℄
esta apresenta
(cid:24)~ao (cid:19)e o quo
iente X =R . Se jRj= 1, dizemos que a apresenta
(cid:24)~ao tem
uma u(cid:19)ni
a rela(cid:24)
~ao. Resulta do
oment(cid:19)ario anterior que todo o monoide pode ser
de(cid:12)nido, a menos de isomor(cid:12)smo, por uma apresenta
(cid:24)~ao.
A teoria
ombinat(cid:19)oria de semigrupos tem
omo prin
ipais obje
tivos o estudo dos
monoides (semigrupos) livres e apresenta
(cid:24)~oes
orrespondentes,
om espe
ial destaque
para os problemas algor(cid:19)(cid:16)tmi
os que estas u(cid:19)ltimas sus
itam. Para que uma apre-
senta
(cid:24)~ao represente e(cid:12)
azmente um monoide, (cid:19)e ne
ess(cid:19)ario que disponhamos de meios
para extrair da apresenta
(cid:24)~ao toda a informa(cid:24)
~ao b(cid:19)asi
a julgada essen
ial para a
om-
preens~ao do monoide
onsiderado. Em parti
ular, o problema da palavra para uma
apresenta
(cid:24)~ao Mon < X;R > assume import^an
ia fundamental:
(cid:3) ℄ ℄
(cid:15) Dados u;v 2 X , (cid:19)e de
id(cid:19)(cid:16)vel se uR = vR ?
Mesmo que nos limitemos a apresenta
(cid:24)~oes (cid:12)nitas (X e R (cid:12)nitos), a generalidade dos
problemasda palavra revela-se inde
id(cid:19)(cid:16)vel. Os primeirosexemplos de inde
idibilidade
para apresenta
(cid:24)~oes (cid:12)nitas foram produzidos por Markov [15℄ e Post [18℄ em 1947.
6
2 Monoides inversos
Vamos agora introduzir
on
eitos e resultados b(cid:19)asi
os envolvendo monoides inversos.
Para mais detalhes, a
onselha-se a
onsulta de [17℄.
Seja M um monoide. Dizemos que M (cid:19)e regular se
8a 2 M 9b 2 M : aba = a:
Um elemento x 2 M diz-se um inverso de a 2 M se axa = a e xax = x. Se
M (cid:19)e regular, todo a 2 M tem um inverso: se aba = a, ent~ao bab (cid:19)e um inverso de a.
Dizemosque M (cid:19)e inversose
adaa 2 M tem exa
tamente uminverso, que denotamos
por a(cid:0)1. E(cid:19) imediato que se M (cid:19)e inverso e a 2 M, ent~ao (a(cid:0)1)(cid:0)1 = a.
Teorema 2.1 Um monoide M (cid:19)e inverso se e s(cid:19)o se (cid:19)e regular e os seus idempotentes
omutam.
Dem. Suponhamos que M (cid:19)e inverso. Ent~ao M (cid:19)e trivialmente regular. Sejam e;f 2
(cid:0)1
E(M). Tomando x = (ef) , temos
efxef = ef e xefx = x:
Daqui resulta que
ef(fxe)ef = ef e (fxe)ef(fxe) = fxe;
logo fxe = x por uni
idade do inverso de ef. Mas ent~ao
2
x = fxefxe = fxe = x;
logo x (cid:19)e inverso de x e x = ef por uni
idade do inverso de x. A
ab(cid:19)amos assim de
demonstrar que o produto de idempotentes de M (cid:19)e ainda um idempotente. Logo
ef = efef = ef(fe)ef e fe = fefe = fe(ef)fe;
donde resulta que ef = fe por uni
idade do inverso de ef.
Re
ipro
amente, suponhamos que M (cid:19)e regular e que os idempotentes de M
o-
mutam. Seja a 2 M e sejam x;y 2 M inversos de a. Como ax;xa;ay;ya 2 E(M),
resulta que
x = xax = xayax = yaxax = yayax = yaxay = yay = y;
logo M (cid:19)e um monoide inverso. (cid:3)
Resulta do teorema que se M (cid:19)e inverso e a;b 2 M, ent~ao
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
ab(b a )ab = aa abb b = ab;
7
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
b a (ab)b a = b bb a aa = b a ;
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
logo (ab) = b a .
Casos parti
ulares importantes de monoides inversos s~ao os grupos e os semi-
-reti
ulados, que passamos a de(cid:12)nir. Dizemos que um monoide G (cid:19)e um grupo se
8a 2 G9b 2 G : ab = ba = 1:
Obviamente, G (cid:19)e regular, e (cid:19)e f(cid:19)a
il de ver que 1 (cid:19)e o u(cid:19)ni
o idempotente de G; logo G (cid:19)e
um monoide inverso.
Podemos de(cid:12)nir um semi-reti
ulado
omo sendo um monoide
omutativo em que
todos os elementos s~ao idempotentes. Pelo teorema anterior, (cid:19)e imediato que todo o
semi-reti
ulado E (cid:19)e um monoide inverso. O uso do termo semi-reti
ulado deve-se ao
seguinte fa
to: se de(cid:12)nirmos uma rela(cid:24)
~ao de ordem par
ial em E por
e (cid:20) f se ef = e;
ent~ao quaisquer dois elementos e;f 2 E t^em(cid:19)(cid:16)n(cid:12)mo em (E;(cid:20)), a saber, e^f = ef.
Re
ipro
amente, se (E;(cid:20)) (cid:19)e um
onjunto par
ialmente ordenado em que quaisquer
dois elementos e;f t^em(cid:19)(cid:16)n(cid:12)mo e^f, ent~ao (E;^)
onstitui um semigrupo
omutativo
em que todos os elementos s~ao idempotentes (para que (E;^)
onstitua um monoide,
(cid:19)e ne
ess(cid:19)ario que (E;(cid:20)) tenha um ma(cid:19)ximo).
Em parti
ular, dado um monoide inverso M qualquer, E(M) (cid:19)e um submonoide
de M que
onstitui um semi-reti
ulado. E(cid:19) habitual designar E(M)
omo o semi-
-reti
ulado dos idempotentes de M. A rela(cid:24)
~ao de ordem par
ial do semi-reti
ulado
E(M) podeser estendida a umarela(cid:24)
~ao deordempar
ialemM, designada porordem
par
ial natural: dados a;b 2 M, es
revemos
a (cid:20) b se a = eb para algum e 2 E(M):
(cid:0)1
Obviamente, (cid:20) (cid:19)e re(cid:13)exiva, pois a = (aa )a para todo a 2 M. Se a = eb e b = f
om e;f 2 E(M), ent~ao a = (ef)
, logo (cid:20) (cid:19)e transitiva. Finalmente, se a = eb e
2
b = fa,
om e;f 2 E(M), ent~ao a = eb = e b = ea e logo
b = fa = fea = efa = eb = a;
pelo que (cid:20) (cid:19)e de fa
to uma rela(cid:24)
~ao de ordem par
ial em M. Note-se ainda que
(i) a (cid:20) b ) (a
(cid:20) b
^
a (cid:20)
b);
(cid:0)1 (cid:0)1
(ii) a (cid:20) b ) a (cid:20) b .
(cid:0)1
Com efeito, se a = eb
om e 2 E(M), ent~ao a
= e(b
),
a =
eb = (
e
)(
b), e
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
a = b e = (b eb)b .
Outra rela(cid:24)
~ao de grande import^an
ia para um monoide inverso M (cid:19)e a rela(cid:24)
~ao
R de(cid:12)nida por
(cid:0)1 (cid:0)1
(a;b) 2 R se aa = bb :
8
E(cid:19) imediato que R (cid:19)e uma rela(cid:24)
~ao de equival^en
ia em M, e (cid:19)e usual representar a
R-
lasse de equival^en
ia de a por Ra. Analogamente, de(cid:12)nimos a rela(cid:24)
~ao dual L por
(cid:0)1 (cid:0)1
(a;b) 2 L se a a = b b:
A
omposi(cid:24)
~ao D = RÆL (cid:19)e de(cid:12)nida por
(a;b) 2 D se existe
2 M tal que (a;
) 2 R e (
;b) 2 L:
Dizemos que as rela(cid:24)
~oes R, L e D s~ao rela(cid:24)
~oes de Green.
Exer
(cid:19)(cid:16)
io 2.2 Seja M um monoide inverso e sejam a;b 2 M. Mostre que:
(i) aRb se e s(cid:19)o se aM = bM;
(ii) aLb se e s(cid:19)o se Ma = Mb;
(iii) D = LÆR;
(iv) D (cid:19)e uma rela(cid:24)
~ao de equival^en
ia em M. (cid:3)
Seja M um monoide inverso. Dado A (cid:18) M, es
revemos
(cid:0)1 (cid:0)1
A = fa ; a 2 Mg:
Um submonoide inverso de M (cid:19)e um submonoide N de M tal que N(cid:0)1 = N. E(cid:19)
imediatoque N
oma opera
(cid:24)~ao bina(cid:19)riainduzidadeM
onstituitamb(cid:19)emummonoide
inverso. Dado um sub
onjunto A (cid:18) M qualquer, o submonoide inverso de M gerado
(cid:0)1 (cid:3)
por A (cid:19)e (A[A ) . Relativamente a
ongru^en
ias, temos que:
Teorema 2.3 Seja M um monoide inverso e seja (cid:28) uma
ongru^en
ia em M. Ent~ao
M=(cid:28) (cid:19)e um monoide inverso.
Dem. E(cid:19) imediato que M=(cid:28) (cid:19)e regular. Sejam a(cid:28);b(cid:28) 2 E(M=(cid:28)). E(cid:19) f(cid:19)a
il de ver que
2 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
a(cid:28) =(a(cid:28)) = [a(a a)(aa )a℄(cid:28) = [(aa)a a (aa)℄(cid:28)
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
=[(aa )(a a)℄(cid:28) = [(aa )(a a)(aa )℄(cid:28) = (aaa )(cid:28)
(cid:0)1
=(aa )(cid:28):
(cid:0)1
Analogamente, b(cid:28) = (bb )(cid:28), logo
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
(a(cid:28))(b(cid:28)) = (aa bb )(cid:28) = (bb aa )(cid:28) = (b(cid:28))(a(cid:28))
e M=(cid:28) (cid:19)e inverso pelo Teorema 2.1. (cid:3)
9
Resulta fa
ilmente dos Teoremas 1.1(iii) e 2.3 que toda a imagem homomorfa de
um monoide inverso (cid:19)e ainda um monoide inverso.
Vamos agora ver que os monoides inversos podem ser representados por monoides
de transforma(cid:24)
~oes par
iais inje
tivas. Dado um
onjunto X, designamos por PI(X)
o submonoide de PT(X)
onstitu(cid:19)(cid:16)do pelas transforma(cid:24)
~oes par
iais inje
tivas de X.
E(cid:19) imediato que se f : Y ! Z (cid:19)e uma bije
(cid:24)
~ao
om Y;Z (cid:18) X, ent~ao a fun(cid:24)
~ao inversa
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
f : Z ! Y satisfaz ff f = f e f ff = f . Al(cid:19)em disso. os idempotentes de
PI(X) s~ao pre
isamente as restri(cid:24)
~oes 1Y (Y (cid:18) X) da fun(cid:24)
~ao identidade 1: X ! X;
omo 1Y1Z = 1Y\Z = 1Z1Y para todos Y;Z (cid:18) X, resulta que os idempotentes de
PI(X)
omutam e PI(X) (cid:19)e um monoide inverso.
Teorema 2.4 Um monoide M (cid:19)e inverso se e s(cid:19)o se, para algum
onjunto X, M (cid:19)e
isomorfo a algum submonoide de PI(X) fe
hado para fun
(cid:24)~oes inversas.
Dem. A impli
a
(cid:24)~aore
(cid:19)(cid:16)pro
a resulta fa
ilmente dos
oment(cid:19)arios anteriores.
Suponhamos agora que M (cid:19)e inverso e seja X = M enquanto
onjunto. Para
ada
a 2 M, de(cid:12)nimos a fun(cid:24)
~ao
(cid:0)1
(cid:18)a: Ma !M
x7!xa:
(cid:0)1
Dados x;y 2 Ma , temos
(cid:0)1 (cid:0)1
x(cid:18)a = y(cid:18)a ) xa = ya ) xaa = yaa ) x = y;
logo (cid:18)a 2 PI(X). Seja N = f(cid:18)a;a 2 Mg.
Dados a;b 2 M, temos
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
dom((cid:18)a(cid:18)b) = (im(cid:18)a \dom(cid:18)b)(cid:18)a = (Ma a\Mb )(cid:18)a :
(cid:0)1 (cid:0)1
Vejamos que dom((cid:18)a(cid:18)b) = Mb a = dom(cid:18)ab.
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
Se x 2 dom((cid:18)a(cid:18)b), ent~ao x 2 Ma , logo x = xaa e xa = x(cid:18)a 2 Mb impli
a
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
x = xaa 2 Mb a . Re
ipro
amente, suponhamos que x = yb a ,
om y 2 M.
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
Ent~ao xa = yb a a = yb a abb , logo x(cid:18)a = xa 2 Ma a \ Mb . Logo
x 2 dom((cid:18)a(cid:18)b) e dom((cid:18)a(cid:18)b) = dom(cid:18)ab, donde resulta imediatamente que (cid:18)a(cid:18)b = (cid:18)ab.
Como (cid:18)1 = 1,
on
lui-se que N (cid:19)e um submonoide de PI(X).
Por outro lado, temos
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
dom(cid:18)a = Ma = Maa = M(a ) a = im(cid:18)a(cid:0)1;
(cid:0)1 (cid:0)1 (cid:0)1
im(cid:18)a = Ma a = Ma = M(a ) = dom(cid:18)a(cid:0)1;
(cid:0)1 (cid:0)1
al(cid:19)em disso, para todo y 2 Ma, temos y(cid:18)a(cid:0)1(cid:18)a = ya a = y, logo (cid:18)a = (cid:18)a(cid:0)1 e N (cid:19)e
fe
hado para fun(cid:24)
~oes inversas.
Consideremos agora
(cid:18): M !N
a7!(cid:18)a:
10
