Table Of ContentIntrodução
à Probabilidade e à Estatística
Com complementos de Excel
Amostra?
População?
Maria Eugénia Graça Martins
Departamento de Estatística e Investigação Operacional da FCUL
Sociedade Portuguesa de Estatística
Junho 2005
Introdução à Probabilidade e à Estatística
Com complementos de Excel
Maria Eugénia Graça Martins
Departamento de Estatística e Investigação Operacional da FCUL
Sociedade Portuguesa de Estatística
Junho 2005
FICHA TÉCNICA
Título – INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E À ESTATÍSTICA
Com complementos de Excel
Autor – Maria Eugénia Graça Martins
Copyright © Sociedade Portuguesa de Estatística
ISBN – 972–8890–03-6
Depósito Legal nº 228501/05
Junho 2005
Nota prévia
Estas folhas têm como objectivo transmitir os conhecimentos básicos de uma disciplina na
área de Probabilidades e Estatística, dando uma visão geral do que é que se pretende com a
Estatística e qual a sua utilidade, e ainda porque é que é necessário saber Probabilidade, para
fazer Estatística.
Nesta edição, revista a partir de uma edição de 2000, introduzimos alguns complementos de
Excel. Embora esta folha de cálculo não seja um software de Estatística, já nos permite fazer
muita da Estatística necessária, a nível elementar, e tem a grande vantagem de estar acessível
em todos os computadores, que não é o caso de qualquer software de Estatística. Achamos
também que o saber trabalhar com esta folha de cálculo, permitirá minimizar os erros e as
falhas cometidas ao utilizá-la para fazer Estatística.
Não pretendemos apresentar estas folhas como um produto acabado, mas sim como um novo
passo para um trabalho que possa ser continuamente melhorado com as críticas e sugestões,
que desde já agradeço, da parte dos alunos a que se destinam e da parte dos colegas.
A autora
Aos meus alunos
Índice
Capítulo 1
O que é a Estatística 1
1.1 – Introdução 1
1.2 – Aquisição de dados: sondagens e experimentações. População e amostra 2
1.2.1 – Sondagens 2
Técnicas de amostragem aleatória 6
Amostra aleatória simples 6
Como obter uma tabela de números aleatórios 8
Utilização do Excel na selecção de uma amostra aleatória simples 8
Amostra aleatória sistemática 12
Amostragem estratificada 12
Amostragem por “Clusters” ou grupos 13
Amostragem multi-etapas 13
Utilização do Excel na selecção de uma amostra aleatória sistemática 13
Qual a dimensão que se deve considerar para a amostra? 14
Pode-se aumentar a precisão estratificando? 17
1.2.2 – Experimentações 19
1.3 – Exploração de dados 21
1.4 – Inferência Estatística 22
1.5 – Estatística Descritiva e Inferência Estatística 23
Interpretação do intervalo de confiança 25
1.6 – Exemplos de aplicação da Estatística 26
Exercícios 28
Capítulo 2
Análise, representação e redução de dados 29
2.1 – Introdução 29
2.2 – Tipos de dados 30
2.2.1 – Dados qualitativos 30
Variáveis nominais 30
Variáveis ordinais 30
2.2.2 – Dados quantitativos 33
Variáveis intervalares 33
Variáveis percentuais 33
Outras classificações 33
Como organizar os dados 34
2.2.2.1 – Organização de dados discretos 34
2.2.2.2 – Organização de dados contínuos 35
Utilização do Excel na obtenção de tabelas de frequência 37
2.3 – Representação gráfica de dados 43
2.3.1 – Variáveis discretas. Diagrama de barras 43
Utilização do Excel na construção de diagramas de barras 44
2.3.2 – Variáveis contínuas. Histograma 46
Utilização do Excel na construção de histogramas 48
2.3.3 – Outras representações gráficas 50
2.3.3.1 – Diagrama circular 50
2.3.3.2 – Caule-e-folhas 51
Utilização do caule-e-folhas para comparar duas amostras 55
Utilização do Excel na construção de um caule-e-folhas 56
2.3.3.3 – Função distribuição empírica 58
2.3.3.4 – Box-plot ou Box-and-whisker plot (caixa-com-bigodes) 61
Utilização do Excel na construção de uma Box-plot 66
Exercícios 69
2.4 – Dados bivariados 73
Utilização do Excel na construção de uma tabela de contingência 77
Exercícios 79
Capítulo 3
Características amostrais 81
3.1 – Introdução 81
3.2 – Medidas de localização 82
3.2.1 – Média 82
3.2.2 – Mediana 86
3.2.3 – Quantis. Quartis e quartos 88
3.2.4 – Médias aparadas e trimédia 89
3.2.5 – Moda 90
Exercícios 91
3.3 – Medidas de dispersão 94
3.3.1 – Variância 94
3.3.2 – Desvio padrão 95
3.3.3 – Amplitude inter-quartil 98
3.3.4 – Dispersão relativa 99
Exercícios 100
Utilização do Excel na obtenção das estatísticas descritivas 101
3.4 – Associação de variáveis 102
3.4.1 – Coeficiente de correlação 102
Utilização do Excel na construção do diagrama de pontos e
no cálculo da correlação 108
Exercícios 109
3.4.2 – Associação de variáveis qualitativas 109
Paradoxo de Simpson 112
Exercício 115
Capítulo 4
Regressão 117
4.1 – Introdução 117
4.2 – Recta dos mínimos quadrados 118
Utilização do Excel na construção da recta de regressão 123
Exercícios 123
Capítulo 5
Probabilidade 125
5.1 – Introdução 125
5.2 – Experiência aleatória. Espaço de resultados. Acontecimentos 130
5.2.1 – Operações com acontecimentos 136
5.3 – Probabilidade de um acontecimento 138
5.3.1 – Probabilidade frequencista 139
Utilização do Excel na simulação de experiências aleatórias 142
5.3.2 –Probabilidade Laplaciana (ou definição clássica) 145
5.3.3 –Probabilidade subjectivista ou Bayesiana 147
5.3.4 – Definição axiomática de Probabilidade 148
Propriedades da Probabilidade 150
5.4 – Probabilidade condicional. Acontecimentos independentes 152
5.4.1 – Probabilidade condicional 152
Árvore de probabilidades 157
5.4.2 – Probabilidade da Intersecção de acontecimentos ou probabilidade
conjunta dos acontecimentos A e B ou regra do produto 159
5.4.3 – Acontecimentos independentes 160
5.5 – Teorema de Bayes 163
Teorema da Probabilidade Total 165
Exercícios 166
Capítulo 6
Variáveis aleatórias 173
6.1 – Introdução 173
6.2 – Variável aleatória 173
6.2.1 – Variável aleatória discreta 175
Função massa de probabilidade 177
Utilização do Excel na simulação da experiência do lançamento 180
de três dados
6.2.2 – Variável aleatória contínua 181
6.3 – Função distribuição 182
6.4 – Função densidade de probabilidade 186
Exercícios 189
6.5 – Pares de variáveis aleatórias 191
6.5.1 – Introdução 191
6.5.2 – Distribuição de probabilidade conjunta 191
6.5.3 – Variáveis aleatórias independentes 193
Exercícios 193
Capítulo 7
Características populacionais 195
7.1 – Introdução 195
7.2 – Valor médio 196
Lei dos grandes números 197
7.2.1 – Propriedades do valor médio 199
7.3 – Quantil de probabilidade p 200
Mediana 201
7.4 – Variância (populacional) 202
7.4.1 – Desvio padrão (populacional) 202
7.5 – Covariância 204
7.5.1 – Coeficiente de correlação 205
7.6 – Regressão de Y em X 206
Coeficiente de determinação 210
Exercícios 211
Capítulo 8
Alguns modelos de probabilidade 213
8.1 – Introdução 213
8.2 – Modelos discretos 214
8.2.1 – Modelo Uniforme 214
8.2.2 – Modelo Binomial 214
Amostragem com reposição 219
Amostragem sem reposição em populações infinitas 219
8.2.3 – Modelo Binomial Negativa 220
8.2.4 - Modelo de Poisson 223
Aproximação da distribuição Binomial pela distribuição de Poisson 224
8.2.5 – Modelo Hipergéométrico 228
Utilização do Excel para calcular probabilidades dos Modelos
Discretos 231
8.3 – Modelos contínuos 233
8.3.1 – Modelo Normal 233
8.3.2 – Modelo Uniforme 238
Transformação uniformizante 240
8.3.3 – Modelo Exponencial 240
Utilização do Excel para calcular probabilidades dos Modelos
Contínuos. 241
8.4 – Compreender a simulação 242
Utilização do Excel para gerar números pseudo-aleatórios com
determinadas distribuições 244
Exercícios 244
Capítulo 9
Distribuições de amostragem 249
9.1 – Introdução 249
9.2 – Distribuição de amostragem da média 251
9.2.1 – Valor médio e desvio padrão da média 251
9.2.2 – Distribuição da média para populações Normais 252
9.2.2.1 – Desvio padrão σ conhecido 252
9.2.2.2 – Desvio padrão σ desconhecido 252
9.2.3 – Distribuição da média para populações não Normais. Teorema
do Limite Central 253
Aplicações do Teorema Limite Central 258
Aproximação da Distribuição Binomial, pela Normal 258
Aproximação da Distribuição de Poisson, pela Normal 259
9.3 – Distribuição de amostragem da proporção 262
9.3.1 – Valor médio e variância do estimador da proporção populacional 265
9.3.2 – Distribuição de amostragem do estimador da proporção 265
Exercícios 266
Capítulo 10
Introdução à Estimação 269
10.1 – Noções prelimunares sobre estimação. Estimadores pontuais e intervalares 269
10.2 – Estimação da proporção. Intervalo de confiança 270
Confiança e precisão 273
10.3 – Estimação do valor médio. Intervalo de confiança para o valor médio 275
