Introdução a Álgebra Homologica e Módulos Cohen-Macaulay

169 Pages·2019·1.034 MB·Portuguese

by  Victor Hugo Jorge Pérez

P :··· (cid:47)(cid:47)P αi (cid:47)(cid:47)P αi−1 (cid:47)(cid:47)P αi−2 (cid:47)(cid:47)··· α1 (cid:47)(cid:47)P α0 (cid:47)(cid:47)M (cid:47)(cid:47)0
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Q :··· (cid:47)(cid:47)Q βi (cid:47)(cid:47)Q βi−1 (cid:47)(cid:47)Q βi−2 (cid:47)(cid:47)··· β1 (cid:47)(cid:47)Q β0 (cid:47)(cid:47)N (cid:47)(cid:47)0
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Introdução a Álgebra Homologica
e Módulos Cohen-Macaulay
Victor Hugo Jorge Pérez
F(P ):··· (cid:47)(cid:47)F(P) F(αi)(cid:47)(cid:47)F(P )F(αi−1)(cid:47)(cid:47)F(P F)(αi−2) (cid:47)(cid:47)··· F(α1)(cid:47)(cid:47)F(P ) (cid:47)(cid:47)0
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F(Q ):··· (cid:47)(cid:47)F(Q) F(βi)(cid:47)(cid:47)F(N )F(βi−1)(cid:47)(cid:47)F(Q F)(βi−2) (cid:47)(cid:47)··· F(β1)(cid:47)(cid:47)F(Q ) (cid:47)(cid:47)0
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Minicurso Apresentado no XI Workshop de Verão em Matemática Departamento de
Matemática,UniversidadedeBrasília,2019
Conteúdo
I Parte I
1 Um pouco de álgebra homológica ..................... 13
1.1 Lembrando alguns conceitos básicos 13
1.2 Conceitos básicos de álgebra homológica 15
1.2.1 Funtores ...................................................... 15
1.2.2 Sequências exatas ............................................. 17
1.2.3 COLOCAR AQUI PROPRIEDEADES RESPEITO A ESTA SEçÃo ............ 19
1.2.4 Exercícios ..................................................... 19
(cid:78)
1.3 Os funtores Hom (−,−) e 20
R
1.3.1 Propriedades do funtor Hom ..................................... 21
1.3.2 Funtor produto tensorial ......................................... 22
1.3.3 Propriedades de −(cid:78) X ........................................ 23
R
1.3.4 COLOCAR AQUI PROPRIEDEADES RESPEITO A ESTA SEçÃo ............ 24
1.3.5 Exercícios ..................................................... 28
1.4 Álgebra homológica 29
1.4.1 Complexos e co-complexos de módulos .......................... 30
1.4.2 Sequência exata longa de homologias e cohomologias ............ 32
1.5 Algumas propriedades 38
1.5.1 Exercícios ..................................................... 41
II Parte II
2 Módulos injetivo, projetivo, plano e resoluções ........ 45
2.1 Módulos injetivos 45
2.1.1 Módulos Divisíveis .............................................. 49
2.2 Módulos projetivos 51
2.3 Módulos planos 53
2.3.1 Exercícios ..................................................... 54
2.4 Resoluções projetiva e injetiva 55
2.4.1 Funtores derivados ............................................. 61
2.4.2 Exercícios ..................................................... 66
2.5 O funtor Exti (−,−) 67
R
2.5.1 O funtor derivada à direita do Hom (−,M) ......................... 67
R
2.5.2 Propriedades de Ext para módulos finitamente gerados ............. 73
2.6 Exemplos de Ext 74
2.6.1 Exercícios ..................................................... 76
2.7 O funtor TorR(−,−) 77
i
2.7.1 Funtor derivado à esquerda de −⊗ X e X⊗ − .................... 77
R R
2.7.2 Propriedades de Tor ............................................ 79
2.7.3 Módulos finitamente gerados e o Tor ............................. 81
2.7.4 Exemplos de Tor ............................................... 84
2.7.5 Exercícios ..................................................... 86
2.8 Dimensão Projetiva 87
2.8.1 Exercícios ..................................................... 90
2.9 Dimensão Injetiva 91
2.9.1 Dimensão injetiva e anéis Noetherianos ........................... 92
2.9.2 Exercícios ..................................................... 93
2.10 Alguns resultados no caso local e módulo finitamente gerados 94
2.10.1 Exercícios ..................................................... 96
III Parte III
3 Complexo de Koszul e anéis regulares ................ 101
3.1 Resolução livre minimal 101
3.1.1 Lembrando-Definições ........................................ 101
3.1.2 Construção de resolução livre .................................. 102
3.1.3 Exercícios .................................................... 107
3.2 Complexo de Koszul 107
3.2.1 Primeira construção do Complexo de Koszul ...................... 109
3.3 Anéis locais regulares 116
3.4 Álgebra homologica e anéis locais regulares 120
3.5 Propriedades de anel local regular 123
3.5.1 Exercícios .................................................... 129
IV Parte IV
4 Anéis e módulos Cohen-Macaulay .................... 133
4.1 Um pouco de história 133
4.2 Um pouco da teoria de sequências regulares 133
4.2.1 Relembrando notações e definições ............................ 133
4.3 Grau, profundidade e dimensão projetiva 138
4.3.1 Propiedades elementares ...................................... 138
4.4 Aneis e módulos Cohen-Macaulay 147
4.5 Algumas caracterizações de anéis e módulos C-M 149
4.5.1 Comportamento de depth e extensões planas ................... 152
4.5.2 Exercícios .................................................... 157
5 Índice remissivo .......................................... 167
Index ...................................................... 167

Prefácio
OobjetivoprincipaldestasnotasédetalharosconceitosbásicosdeÁlgebraHomologica
sobreanéiscomutativoseconsequêntementeobteralgunsresultadosfundamentaisdeanéis
regulares e módulos Cohen-Macaulay. Para estudar alguns tipos de anéis o módulos é
necesárioterumpoucodeconnhecimentobásicodeálgebrahomológica,comoporexem-
plomódulosprojetivos,injetivoseplanos,resoluçõesinjetivaseprojetivas,propriedades
defuntores,funtoresderivadosàdireitaeàesquerdaecomplexodeKoszul.

Introdução