Introduç ˜ao ao Estudo das Coimplicaç ˜oes Fuzzy Valoradas Intervalarmente

79 Pages·2010·0.47 MB·Portuguese

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UNIVERSIDADE CATOLICA DE PELOTAS
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ESCOLA DE INFORMATICA
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PROGRAMA DE POS-GRADUAC¸AO EM INFORMATICA
Introduc¸a˜o ao Estudo das Coimplicac¸o˜es
Fuzzy Valoradas Intervalarmente
por
Gesner Antoˆnio Azevedo dos Reis
Trabalho Individual I
/
TI-2009 2-003
Orientadora: Profa. Dr. Renata Hax Sander Reiser
Pelotas, marc¸o de 2010
AGRADECIMENTOS
Agradec¸o:
• aSimoneeaMarinapelamotivac¸a˜o;
• aorientac¸a˜odaProfessoraRenataquesemprebuscouaexceleˆnciadotrabalho;
• aoscolegaspeloincentivo;
• aosProfessoresporindicaremoconhecimentonecessa´rioparaconcluirosdeveres;
• aDeuspelaoportunidadedeadquirirumpoucomaisdeconhecimento.
“Comece fazendo o que e´ necessa´rio, depois o que e´ poss´ıvel,
e de repente voceˆ estara´ fazendo o imposs´ıvel”.
—S˜FA
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SUMARIO
LISTADEFIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
LISTADETABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
LISTADEABREVIATURASESIGLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 INTRODUC¸A˜O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Organizac¸a˜odoTexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 MATEMA´TICAINTERVALAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Aritme´ticaIntervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 ATopologiadeIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Representac¸a˜oIntervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 LO´GICAFUZZY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1 Aplicac¸o˜esdaLo´gicaFuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 TeoriadosConjuntosFuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Representac¸o˜esdeumConjuntoFuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Operac¸o˜esentreConjuntosFuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Nu´merosFuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 FUNC¸O˜ESDEAGREGAC¸A˜OFUZZYECOMPLEMENTOFUZZY . . 28
4.1 ComplementoFuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.1 Conceitoseexemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.2 ComplementoFuzzyIntervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 NormaeConormaTriangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1 T-norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.2 T-conorma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.3 T-normaIntervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.4 T-conormaIntervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Relac¸a˜odeDualidadeentreT-normaeT-conorma . . . . . . . . . . . . 35
4.3.1 T-normaeT-conormaDuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3.2 Versa˜ointervalardeT-normaeT-conormaDuais . . . . . . . . . . . . . . 38
5 IMPLICAC¸A˜OFUZZYINTERVALAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1 Implicac¸a˜oFuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.1 (S,N)-implicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.2 QL-implicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.3 D-implicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1.4 R-implicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2 Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.1 Automorfismoagindoemnegac¸a˜ofuzzyet-conorma . . . . . . . . . . . 55
5.2.2 Automorfismoagindoem(S,N)-implicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.3 AutomorfismoagindoemQL-implicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Implicac¸a˜oFuzzyIntervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 COIMPLICAC¸A˜OFUZZYINTERVALAR . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.1 Coimplicac¸a˜oFuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2 Coimplicac¸a˜oFuzzyIntervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7 CONCLUSA˜O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
REFEREˆNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
LISTA DE FIGURAS
Figura3.1 Conjuntofuzzydosnu´merosinteirospro´ximosdezero. . . . . . . . . 23
Figura3.2 Conceitofuzzyde“Quente”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Figura3.3 Conjuntofuzzydosnu´merosreaisemtornode6. . . . . . . . . . . . 25
Figura3.4 Representac¸a˜o gra´fica das operac¸o˜es unia˜o e intersecc¸a˜o entre con-
juntosfuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Figura3.5 Representac¸a˜ogra´ficadenu´merosfuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . 27
LISTA DE TABELAS
Tabela3.1 Alunosecorrespondentesgrausdeestudo. . . . . . . . . . . . . . . 23
Tabela4.1 ExemplosdeT-normaseT-conormasba´sicasesuaspropriedades. . . . . . 32
Tabela5.1 ExemplosdeOperadoresdeImplicac¸a˜oFuzzyNominados
Notac¸a˜o: P = Probabilidade, B = Borda (limite), E = Extremo, D =
Disjunc¸a˜oeC=Conjunc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Tabela5.2 ExemplosdeOperadoresdeImplicac¸a˜oFuzzy . . . . . . . . . . . . . . . 43
Tabela5.3 Exemplosde(S,N)-implicac¸o˜esba´sicasesuaspropriedades . . . . . . . . 48
Tabela6.1 Exemplosdeoperadoresdecoimplicac¸a˜ofuzzynominados
Notac¸a˜o: P = Probabilidade, B = Borda (limite), E = Extremo, D =
Disjunc¸a˜oeC=Conjunc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tabela6.2 Exemplosdeoperadoresdecoimplicac¸a˜ofuzzy . . . . . . . . . . . . . . 64
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
UCPel UniversidadeCato´licadePelotas
CIR Representac¸a˜oCanoˆnicaIntervalar
dist Distaˆnciaentredoisintervalos
diam Diaˆmetrodeumintervalo
med Pontome´diodeumintervalo
supp Suportedeumconjuntofuzzy
RESUMO
A lo´gica digital tradicional lida com varia´veis assumindo apenas dois poss´ıveis
estados: falso e verdadeiro. Mas para grande nu´mero de modelagens do mundo real de-
sejamos valores intermedia´rios. O conceito de dualidade, estabelecendo que algo pode e
devecoexistircomoseuoposto,fazalo´gicadifusaparecernatural,ate´ mesmoinevita´vel.
Assim,alo´gicafuzzyintroduzahabilidadeeminferirconcluso˜esegerarrespostasbasea-
das em informac¸o˜es vagas, amb´ıguas e qualitativamente incompletas e imprecisas. Neste
contexto, os sistemas de base fuzzy apresentam uma forma de raciocinar semelhante aos
humanos, representando as expresso˜es da linguagem natural de maneira muito simples e
intuitiva, levando a` construc¸a˜o de sistemas compreens´ıveis e de fa´cil manutenc¸a˜o. Outra
importante a´rea de pesquisa baseada em modelos matema´ticos para tratamento da incer-
teza considera a matema´tica intervalar, a qual vem sendo aplicada na representac¸a˜o de
dados inexatos. Em matema´tica intervalar, o princ´ıpio da corretude consiste na garantia
de que, na computac¸a˜o de um algoritmo, a sa´ıda intervalar conte´m todos os poss´ıveis re-
sultadospontuaiscorrespondentesaosdadospontuaisreferentesa` entradaintervalar. E,o
princ´ıpio da optimalidade, determina que a sa´ıda intervalar seja a menor poss´ıvel satisfa-
zendo a corretude. Assim, a corretude e´ a condic¸a˜o m´ınima enquanto que a optimalidade
e´ acondic¸a˜oidealasersatisfeitaporcomputac¸a˜ointervalar.
Com base nestes crite´rios, os intervalos podem ser aplicados para representar va-
lores desconhecidos e para representar valores cont´ınuos em algoritmos da Computac¸ao
Cient´ıfica. Lo´gica fuzzy intervalarmente valorada e´ considerar as construc¸o˜es fuzzy in-
tervalares como construc¸o˜es fuzzy que sa˜o corretas e analisar crite´rios que garantam op-
timalidade. A extensa˜o intervalar dos conetivos da lo´gica fuzzy em estudo neste trabalho
esta´ baseada na representac¸a˜o intervalar canoˆnica de func¸o˜es reais introduzida e, neste
caso, restrita ao intervalo unita´rio [0,1] da reta real, que sempre retorna o menor inter-
valo contendo a imagem da func¸a˜o. Consideram-se conceitos e fundamentos de ambas
abordagens,dalo´gicafuzzyedamatema´ticaintervalar,paraestudarosoperadoresdefini-
dos como coimplicac¸o˜es, caracterizados como estrutura dual das implicac¸o˜es fuzzy, bus-
candointroduziraextensa˜ointervalardascoimplicac¸o˜esfuzzy,analisandoasatisfac¸a˜ode
propriedades ana´logas a`s respectivas classes de coimplicac¸o˜es fuzzy valoradas pontual-
mente. Em particular, mostra-se que coimplicac¸o˜es fuzzy intervalarmente valoradas sa˜o
representac¸o˜esdecoimplicac¸o˜esfuzzysatisfazendoestesdoisprinc´ıpios.
Palavras-chave: Lo´gicafuzzyIntervalar,Coimplicac¸o˜es.
TITLE: “INTRODUCTION TO THE STUDY OF FUZZY COIMPLICATION INTER-
VALVALUED”
ABSTRACT
Traditional digital logic deals with variables assuming only two possible states:
false and true. But for a large number of modeling real world values we want inter-
mediaries. The concept of duality, stating that something can and must coexist with its
opposite,makesthefuzzylogicseemnatural,eveninevitable. Thus,thelogicfuzzyintro-
ducestheabilitytoinferconclusionsandgenerateresponsesbasedoninformationvague,
ambiguousandqualitativelyincompleteandinaccurate. Inthiscontext,thewayofthink-
ing of fuzzy-based systems are similar to the way that humans things, representing the
expressionsofnaturallanguageinaverysimpleandintuitive,leadingtotheconstruction
of systems to understand and easy to maintain. Another important area of research based
on mathematical models for the treatment of uncertainty considers interval mathematics,
which has been applied in the representation of inaccurate data. In interval mathemat-
ics,theprincipleofcorrectnessistheassurancethatthecomputationofanalgorithm,the
output interval contains all possible outcomes corresponding point to point data for entry
interval. Andtheprincipleofoptimality,determinesthattheoutputintervalisthesmallest
possible satisfying accuracy. Thus, the correctness is the minimum condition while the
optimalityistheidealconditiontobesatisfiedbyintervalcomputations.
Based on these statement, intervals can be used to represent unknown values and
to represent continuous values in scientific computing algorithms. Interval valued fuzzy
logic is to consider the buildings fuzzy interval as fuzzy constructs that are correct and
analyze criteria to ensure optimality. The extension of the interval connectives of fuzzy
logicinthisstudyworkisbasedonthecanonicalintervalrepresentationofrealfunctions
introducedandinthiscase,restrictedtotheunitinterval[0,1]oftherealline,thatalways
returns the smallest interval containing the image of the function. Considered concepts
and foundations of both approaches, fuzzy logic and interval mathematics, to study the
operators defined as coimplications, characterized as dual structure of the implications
fuzzy, seeking to introduce the extension of the interval fuzzy coimplications, analyzing
thesatisfactionofpropertiessimilartotherespectiveclassesoffuzzycoimplicationspoint
value. Inparticular,weshowthatcoimplicationsfuzzyintervalvaluedarerepresentations
offuzzycoimplicationssatisfythesetwoprinciples.
Keywords: FuzzyLogicInterval,Coimplication.