Introduç˜ao `a Teoria dos Números: Funç˜oes Aritméticas

110 Pages·2012·0.88 MB·Portuguese

Introdu¸ca˜o `a Teoria dos Nu´meros:
Fun¸co˜es Aritm´eticas
Fabio E. Brochero Martinez
Carlos Gustavo T. de A. Moreira
Nicolau C. Saldanha
Eduardo Tengan
Pref´acio
Estelivro´eumavers˜aoreduzidadolivro“TeoriadosNu´meros: umpasseiopelo
mundo inteiro com primos e outros nu´meros familiares”, dos mesmos autores. Foi
preparadoespecialmenteparaservircomotextodocursode“Func¸˜oesAritm´eticas”,
aserdadoporCarlosGustavoMoreiranoIIColo´quiodaRegia˜oSul, emLondrina.
Rio de Janeiro, 30 de marc¸o de 2011
Conteu´do
0 Princ´ıpios 2
0.1 Princ´ıpio da Indu¸c˜ao Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.2 Princ´ıpio da Casa dos Pombos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Divisibilidade e Congruˆencias 11
1.1 Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 mdc, mmc e Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 O Teorema Fundamental da Aritm´etica . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Congruˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 O Anel de Inteiros M´odulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 A Func¸˜ao de Euler e o Teorema de Euler-Fermat . . . . . . . . . . . 33
1.8 Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.9 Ordem e Ra´ızes Primitivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Equac¸˜oes Mo´dulo m 52
2.1 Equac¸˜oes Lineares M´odulo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Congruˆencias de Grau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.1 Res´ıduos Quadra´ticos e S´ımbolo de Legendre . . . . . . . . . 57
2.2.2 Lei de Reciprocidade Quadra´tica . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3 Congruˆencias de Grau Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3 Fun¸c˜oes Aritm´eticas 69
3.1 Func¸˜oes Multiplicativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Func¸˜ao de M¨obius e F´ormula de Invers˜ao . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3 Algumas Estimativas sobre Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.1 O Teorema de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.2 O Postulado de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.3 Outras estimativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4 A Func¸˜ao ϕ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5 A Func¸˜ao σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.6 Nu´meros Livres de Quadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.7 As Func¸˜oes ω e Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.8 A Func¸˜ao Nu´mero de Divisores d(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.9 A Func¸˜ao Nu´mero de Parti¸c˜oes p(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.10 A Func¸˜ao Custo Aritm´etico τ(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Bibliografia 106

Cap´ıtulo 0
Princ´ıpios
Nestecap´ıtulopreliminarveremosduaspropriedadesb´asicasdosnu´merosnatu-
rais, o Princ´ıpio da Induc¸a˜o Finita e o Princ´ıpio da Casa dos Pombos.
0.1 Princ´ıpio da Indu¸c˜ao Finita
Seja P(n) uma propriedade do nu´mero natural n, por exemplo:
n pode ser fatorado em um produto de nu´meros primos;
•
1+2+ +n= n(n+1);
• ··· 2
a equa¸c˜ao 2x+3y =n admite soluc¸˜ao com x e y inteiros positivos.
•
Uma maneira de provar que P(n) ´e verdadeira para todo natural n n ´e
0
≥
utilizar o chamado Princ´ıpio da Induc¸a˜o Finita (PIF), que ´e um dos axiomas que
caracterizam o conjunto dos nu´meros naturais. O PIF consiste em verificar duas
coisas:
1. (Base da Indu¸c˜ao) P(n ) ´e verdadeira e
0
2. (Passo Indutivo) Se P(n) ´e verdadeira para algum nu´mero natural n n ,
0
≥
enta˜o P(n+1) tamb´em ´e verdadeira.
Nabasedainduc¸˜ao,verificamosqueapropriedade´eva´lidaparaumvalorinicial
n = n . O passo indutivo consiste em mostrar como utilizar a validade da propri-
0
edade para um dado n (a chamada hip´otese de indu¸ca˜o) para provar a validade da
mesma propriedade para o inteiro seguinte n+1. Uma vez verificados a base e o
passo indutivo, temos uma“cadeia de implicac¸˜oes”
passo
P(n ) ´e verdadeira (base)in=dutivoP(n +1) ´e verdadeira
0 0
⇒
passo
in=dutivoP(n +2) ´e verdadeira
0
⇒
passo
in=dutivoP(n +3) ´e verdadeira
0
⇒
.
.
.
de modo que P(n) ´e verdadeira para todo natural n n .
0
≥
Vejamos alguns exemplos.
[SEC.0.1: PRINC´IPIODAINDUC¸A˜OFINITA 3
Exemplo 0.1. Demonstrar que, para todo inteiro positivo n,
n(n+1)
1+2+ +n= .
··· 2
Soluc¸a˜o: Observemos que 1 = 12 donde a igualdade vale para n = 1 (base da
2·
induc¸˜ao). Agora suponha que a igualdade valha para n=k (hip´otese de induc¸˜ao):
k(k+1)
1+2+ +k = .
··· 2
Somando k+1 a ambos lados da igualdade, obtemos
k(k+1) (k+1)(k+2)
1+2+ +k+(k+1)= +(k+1)= ,
··· 2 2
de modo que a igualdade tamb´em vale para n=k+1. Pelo PIF, a igualdade vale
para todo nu´mero natural n 1.
≥
Exemplo 0.2. Demonstrar que, para todo nu´mero natural n,
M =n(n2 1)(3n+2)
n
−
´e mu´ltiplo de 24.
Soluc¸a˜o: Veja que se n = 0 enta˜o M = 0, que ´e um mu´ltiplo de 24 (base da
0
induc¸˜ao).
Agora, suponhamos que para certo inteiro k o nu´mero M ´e divis´ıvel por 24
k
(hip´otese de induc¸˜ao) e vamos mostrar que M tamb´em´e divis´ıvel por 24 (passo
k+1
indutivo). Calculamos primeiramente a diferen¸ca
M M =(k+1) (k+1)2 1 3(k+1)+2 k(k2 1)(3k+2)
k+1 k
− − − −
=k(k+1)[(k+2)(3k+5) (k 1)(3k+2)]
(cid:0) (cid:1)(cid:0) (cid:1)
− −
=12k(k+1)2.
Um dos nu´meros naturais consecutivos k e k+1 ´e par donde k(k+1)2 ´e sempre
par e 12k(k+1)2 ´e divis´ıvel por 24. Por hipo´tese de induc¸˜ao, M ´e divis´ıvel por 24
k
e temos portanto que M = M +12k(k+1)2 tamb´em ´e divis´ıvel por 24, como
k+1 k
se queria demonstrar.
Uma variante do PIF ´e a seguinte vers˜ao (a`s vezes apelidada de princ´ıpio de
indu¸ca˜o forte ou princ´ıpio de indu¸ca˜o completa), em que se deve mostrar
1. (Base da Indu¸c˜ao) P(n ) ´e verdadeira e
0
2. (PassoIndutivo)SeP(k)´everdadeiraparatodonaturalktalquen k n,
0
≤ ≤
enta˜o P(n+1) tamb´em ´e verdadeira.
Exemplo 0.3. A sequˆenciadeFibonacci F ´e a sequˆencia definida recursivamente
n
por
F =0, F =1 e F =F +F para n 2.
0 1 n n 1 n 2
− − ≥
Assim, seus primeiros termos sa˜o
F =0, F =1, F =1, F =2, F =3, F =5, F =8, ...
0 1 2 3 4 5 6
Mostre que
αn βn
F = −
n
α β
−
onde α= 1+√5 e β = 1 √5 sa˜o as ra´ızes de x2 =x+1.
2 −2
4 [CAP.0: PRINC´IPIOS
Soluc¸a˜o: Temos que F0 = αα0−ββ0 = 0 e F1 = αα1−ββ1 = 1 (base de induc¸˜ao).
Agora seja n≥1 e suponha que F−k = ααk−ββk para tod−o k com 0≤k ≤n (hip´otese
de induc¸˜ao). Assim, −
F =F +F
n+1 n n 1
−
αn βn αn 1 βn 1
− −
= − + −
α β α β
− −
(αn+αn 1) (βn+βn 1) αn+1 βn+1
− −
= − = −
α β α β
− −
pois α2 =α+1 = αn+1 =αn+αn 1 e analogamente βn+1 =βn+βn 1.
− −
⇒
Observe que, neste exemplo, como o passo indutivo utiliza os valores de dois
termos anteriores da sequˆencia de Fibonacci, a base requer verificar a f´ormula para
os dois termos iniciais F e F e n˜ao apenas para o primeiro termo.
0 1
Exemplo 0.4. Demonstrar que, para quaisquer naturais n m, o coeficiente bi-
≥
nomial
n n!
def
=
m m!(n m)!
(cid:18) (cid:19) −
´e inteiro.
Soluc¸a˜o: Procederemos por induc¸˜ao sobre a soma m+n. Se m+n = 0 enta˜o
m = n = 0 e 0 = 1 ´e inteiro (base de induc¸˜ao). Para o passo indutivo, observe
0
primeiramente que para 0<m<n temos a seguinte identidade de binomiais
(cid:0) (cid:1)
n n 1 n 1
= − + −
m m m 1
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) − (cid:19)
que segue diretamente das defini¸c˜oes:
n 1 n 1 (n 1)! (n 1)!
− + − = − + −
m m 1 m!(n m 1)! (m 1)!(n m)!
(cid:18) (cid:19) (cid:18) − (cid:19) − − − −
(n m)+m (n 1)! n
= − − = .
m!(n m)! m
(cid:0) − (cid:1) (cid:18) (cid:19)
Agora suponhamos que n ´e inteiro para m+n k (hip´otese de induc¸˜ao).
m ≤
Note que podemos supor tamb´em que 0 < m < n, j´a que se m = n ou m = 0
temos n =1 e o resultado(cid:0)va(cid:1)le trivialmente. Assim, se m+n=k+1, temos que
m
mn =(cid:0)nm−(cid:1)1 + mn−11 ´e inteiro tamb´em pois cada somando da direita´e inteiro pela
hipo´tese de induc¸˜a−o.
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
Um terceiro disfarce do PIF ´e o chamado princ´ıpio da boa ordena¸ca˜o (PBO)
dos nu´meros naturais, que afirma que todo subconjunto A n˜ao vazio de N tem um
elementom´ınimo. (Vocˆesabedizerporqueoprinc´ıpiodaboaordemn˜aovalepara
o conjunto Z de todos os inteiros?)
Vejamosaequivalˆenciaentreosdoisprinc´ıpios. AssumaprimeiramenteoPBOe
sejaP(n)umapropriedadeparaaqualP(0)´everdadeiraeP(n)verdadeiraimplica
P(n+1)verdadeira. SejaB oconjuntodosntaisqueP(n)´efalsa;devemosmostrar
queB = . Suponhaquen˜ao;peloPBOoconjuntoB possuiummenorelementob.
∅
Como0 / B (poisP(0)´everdadeiraporhipo´tese)temosqueb 1eassimb 1 N
∈ ≥ − ∈
e pela minimalidade de b temos que b 1 / B, ou seja, P(b 1)´e verdadeira. Mas
− ∈ −
por hipo´tese temos enta˜o que P(b) tamb´em´e verdadeira, o que´e um absurdo, logo
B = .
∅
[SEC.0.1: PRINC´IPIODAINDUC¸A˜OFINITA 5
Assuma agora o PIF e seja A N um subconjunto n˜ao vazio. Defina agora o
⊂
conjunto B = b N a / A para todo a < b . Trivialmente 0 B. Afirmamos
{ ∈ | ∈ } ∈
que existe k B tal que k+1 / B e nesse caso k ser´a o menor elemento de A. De
∈ ∈
fato,seiston˜aoacontecer,teremosque0 B ek B implicaquek+1 B. Logo,
∈ ∈ ∈
pelo PIF, B =N e A= , o que ´e absurdo.
∅
Exemplo 0.5. Demonstrar que toda func¸a˜o f : N N mon´otona n˜ao-crescente
→
(isto´e, n m = f(n) f(m))´econstanteapartirdeumcertonu´meronatural.
≤ ⇒ ≥
Soluc¸a˜o: Seja A N a imagem de f. Pelo PBO, tal conjunto possui elemento
⊂
m´ınimo a . Seja n um natural tal que f(n ) = a . Como a fun¸c˜ao ´e mon´otona
0 0 0 0
n˜ao-crescente enta˜o para todo n n temos que f(n) f(n ), mas pela defini¸c˜ao
0 0
≥ ≤
de a temos f(n) a . Logo f(n) = a para todo n n , como quer´ıamos
0 0 0 0
≥ ≥
demonstrar.
Observa¸c˜ao 0.6. Dado um conjunto S, uma relac¸a˜o em S ´e chamada de ordem
≺
parcial em S se ela satisfaz os seguintes axiomas:
1. (Reflexividade) a a para todo a S.
≺ ∈
2. (Anti-simetria) se a b e b a ent˜ao a=b.
≺ ≺
3. (Transitividade) se a b e b c ent˜ao a c.
≺ ≺ ≺
Dizemos que ´e uma ordem total se, dados quaisquer a,b S, ou a b ou b a.
≺ ∈ ≺ ≺
Uma ordem total em S ´e uma boa ordem se todo subconjunto A de S possui
≺
um elemento m´ınimo, isto ´e, um elemento a A tal que a b para todo b A.
E´ poss´ıvel demonstrar que para todo conjunto∈S podemos defi≺nir uma ordem∈total
em S que ´e uma boa ordem. Este fato usa o axioma da escolha (e na verdade ´e
equivalente a ele) e esta´ fora do propo´sito deste livro. Veja por exemplo [22].
Problemas Propostos
0.1. Demonstrar por indu¸ca˜o que para n 1 natural
≥
(a) 12+22+ +n2 = n(n+1)(2n+1).
··· 6
(b) 13+23+ +n3 =(1+2+ +n)2.
··· ···
(c) (15+25+ +n5)+(17+27+ +n7)=2(1+2+ +n)4.
··· ··· ···
sen(n+1)x sennx
(d) senx+sen2x+ +sennx= 2 · 2 .
··· senx
2
0.2. Seja F o n-´esimo termo da sequˆencia de Fibonacci. Demonstrar que para
n
todo natural n 1 temos
≥
(a) F +F + +F =F 1.
1 2 n n+2
··· −
(b) F F F2 =( 1)n.
n+1· n−1− n −
n
1 1 F F
(c) = n+1 n .
1 0 F F
n n 1
(cid:18) (cid:19) (cid:18) − (cid:19)
(d) n0 + n−11 + n−22 + n−33 +···=Fn+1, onde na soma interpretamos mk =0
se k >m.
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
0.3. Demonstrar que
6 [CAP.0: PRINC´IPIOS
(a) n3 n ´e um mu´ltiplo de 6 para todo natural n.
−
(b) 5n 1 ´e mu´ltiplo de 24 para todo nu´mero natural n par.
−
(c) 2n+1 ´e mu´ltiplo de 3 para todo natural´ımpar n.
0.4. Definimos a sequˆencia a por a = 2 e para n 2 o termo a ´e o produto
n 1 n
{ } ≥
dos termos anteriores mais um. Mostre que
1 1 1 1
+ + + =1 .
a a ··· a − a a a
1 2 n 1 2 n
···
0.5. Mostre que 72n 48n 1 ´e divis´ıvel por 482 para todo valor n.
− −
0.6. Mostre que para todo natural n 4
≥
(a) 2n <n!.
(b) 2n3 >3n2+3n+1.
0.7. Dado um inteiro positivo n, definimos T(n,1)=n e, para todo k 1, T(n,k+
≥
1) = nT(n,k). Prove que existe c N tal que, para todo k 1, T(2010,k) <
∈ ≥
T(2,k+c). Determine o menor inteiro positivo c com essa propriedade.
0.8. Mostre que para todo n e k inteiros positivos
n n+1 n+2 n+k n+k+1
+ + + + = .
n n n ··· n n+1
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
0.9. Demonstre a f´ormula do binoˆmio de Newton para n natural:
n n n n
(x+y)n = xn+ xn 1y+ + xyn 1+ yn.
− −
0 1 ··· n 1 n
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) − (cid:19) (cid:18) (cid:19)
0.10. Encontrar com demonstra¸ca˜o uma express˜ao para o multinˆomio
(x +x + +x )n
1 2 k
···
em termos dos coeficientes multinomiais
n n!
def
=
i ,...,i i ! i !
(cid:18) 1 k(cid:19) 1 ··· k
onde i + +i =n.
1 k
···
0.11. Considere n retas em posic¸a˜o geral em um plano, isto ´e, sem que haja duas
retas paralelas ou trˆes retas concorrentes em um mesmo ponto.
(a) Determineemfunc¸a˜odenonu´meroderegi˜oesemqueasretasdividemoplano.
(b) Demonstre que ´e poss´ıvel colorir essas regi˜oes com duas cores sem que duas
regi˜oesvizinhastenhama mesmacor(duasregi˜oessa˜ovizinhasseelaspossuem
um segmento de reta em comum).
0.12. Sejam x ,...,x nu´meros reais positivos. Neste exerc´ıcio vamos provar que
1 n
x + +x
1 n
··· √nx x .
1 n
n ≥ ···
Taldesigualdade´econhecidacomo desigualdadedasm´ediasaritm´eticaegeom´etrica.
(a) Utilize o PIF para mostrar a desigualdade das m´edias para n=2k.
[SEC.0.2: PRINC´IPIODACASADOSPOMBOS 7
(b) Sejam x1,...,xn reais positivos fixados e A = x1+·n··+xn a m´edia aritm´etica
destes nu´meros. Suponha que a desigualdade valha para n+1 nu´meros reais
positivos quaisquer; aplicando-a para x ,...,x ,A, conclua que a desigualdade
1 n
vale tamb´em para quaisquer n nu´meros reais positivos.
(c) Combinando os itens anteriores, prove a desigualdade para todo n natural.
Primeiro observemos que se a,b>0 ent˜ao
0 (a b)2 =a2 2ab+b2 =(a+b)2 4ab,
≤ − − −
logo √ab a+b, assim a desigualdade vale para n = 2. Agora mostremos que se a
≤ 2
desigualdade vale para k ent˜ao a desigualdade vale para 2k. De fato
x1+···+x2k = x1+·k··+xk + xk+1+k···+x2k
2k 2
√kx1 xk+ √kxk+1 x2k
··· ···
≥ 2
√kx1 xk√kxk+1 x2k = 2√kx1 x2k.
≥ ··· ··· ···
q
Assim a desigualdade ´e verdadeira para 2,4,8,...,2n,.... Suponhamos que a de-
sigualdade ´e verdadeira para n+1, e sejam x ,...,x reais positivos, definamos
1 n
A = x1+·n··+xn e G = √nx1···xn, temos que mostrar que A ≥ G, mas de fato
sabemos que
x + +x +A
A= 1 ··· n n+1 x1 xnA=Gnn+1An+11.
n+1 ≥ ···
p
Daqui facilmente conclu´ımos o que quer´ıamos demonstrar.
0.13. Demonstrar que para cada nu´mero natural n existe um nu´mero natural M
satisfazendo simultaneamente as seguintes duas condi¸co˜es:
(i) M possui n d´ıgitos pertencentes ao conjunto 1,2 .
{ }
(ii) M ´e divis´ıvel por 2n.
0.14 (IMO1987). Mostre que n˜ao existe uma func¸a˜o f: N N tal que f(f(n)) =
→
n+1987 para todo n N.
∈
0.2 Princ´ıpio da Casa dos Pombos
E´ intuitivamenteclaroquesecolocamosn+1objetosemngavetasenta˜ohaver´a
ao menos uma gaveta com mais de um objeto. Isto ´e exatamente o que afirma
o chamado Princ´ıpio da Casa dos Pombos (PCP) ou Princ´ıpio das Gavetas de
Dirichlet: se temos kn+1 pombos e n casinhas, enta˜o existir´a uma casinha onde
havera´pelomenosk+1pombos. Defato,seemtodasascasashouvessenom´aximo
k pombos, enta˜o o nu´mero de pombos n˜ao poderia ultrapassar kn.
OPCPparecebastanteinocente,mastemmuitasaplicac¸˜oesinteressantes,espe-
cialmenteemargumentosdeexistˆencia emquen˜aosedeterminaoobjetoprocurado
explicitamente. Como exemplos falam mais do que 103 palavras, vejamos alguns.
Exemplo 0.7. Do conjunto A = 1,2,...,99,100 , escolhemos ao acaso 51 nu´-
{ }
meros. Demonstrar que entre os nu´meros escolhidos sempre existem dois que sa˜o
consecutivos.