Table Of ContentLecture Notes in Mathematics
A collection of informal reports and seminars
Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Zürich
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Hubert Berens
Rhein.-Westf. Technische Hochschule Aachen
Johannes-Guten berg-U niversität Mai nz
Interpolationsmethoden
zur Behandlung von
Approximationsprozessen
auf Banachräumen
1968
Springer-Verlag Berlin · Heidelberg · New York
All rights reserved. No part of this book may be translated or reproduced in any form without written permission from
Springer Verlag. © by Springer-Verlag Berlin · Heidelberg 1968
Library of Congress Catalog Card Number 68-55 374 Printed in Germany. Title No. 3670
VORWORT
In der klassischen Theorie der besten Approximation
von stetigen periodischen Funktionen durch trigonometrische
Polynome spielen die "direkten Sätze" von D. Jackson und
s.
die "Umkehrsätze" von Bernstein eine fundamentale Rolle.
Ein Hauptanliegen der vorliegenden Abhandlung ist es,
sich von den trigonometrischen Polynomen bester Approxima
tion loszulösen und enteprechende Sätze über Folgen von
beschränkten linearen Transformationen, wie z. B. Summations
prozessen von Fourierreihen, zu beweisen, die gewisse Be
dingungen erfüllen. Diese Bedingungen sollen sicherstellen,
daß das Phänomen der Saturation, welches bei allen gängi-
gen Prozessen gegeben ist, auftritt. Die Behandlung selbst
erfolgt im abstrakten Rahmen der Theorie der Banachräume.
Damit gelangt der Verfasser zu einem zentralen Problem,
das letztlich darin besteht, den fundamentalen Satz, von
Banach-Steinhaus über Folgen von beschränkten linearen
Operatoren, und zwar die Aussage über notwendige und hin
reichende Bedingungen für die Konvergenz dieser Folgen
gegen den Identitätsoperator, so zu verschärfen, daß er
eine Aussage über die Konvergenzgeschwindigkeit liefert.
Dieses grundlegende Problem ist schon seit Jah
m~hreren
ren in der Diskussion und wird vom Verfasser dahingehend
behandelt, daß er in Banachunterräumen arbeitet, die sich
als Interpolationsräume charakterisieren lassen.
Bisherige Untersuchungen solcher Probleme haben sich
besonders auf Halbgruppen von beschränkten linearen Ope
ratoren konzentriert. In einer kürzlich erschienen Mono
graphie in den "Grundlehren der mathematischen Wissen
schaften" haben H. Berens und P. L. Butzer sowohl direkte
als auch inverse Approximationssätze für diese Familien
von Operatoren gegeben, die sich sowohl auf "optimale"
als auch auf "nicht-optimale" Approximation beziehen. Die
Theorie wurde nicht nur in der klassischen Form aufge-
IV
baut, sondern auch im Rahmen der Theorie der intermediären
Räume. Der Verfasser arbeitet in der vorliegenden Abhand
lung auf Interpolationsräumen, in die durch die Defini
tion der Norm die Approximationsgeschwindigkeit einge
baut ist, und macht sich von der speziellen Halbgruppen
eigenschaft frei, indem er die auf dieser Eigenschaft
aufgebauten Beweiselemente auf ihren wesentlichen, nicht
spezifisch halbgruppentheoretischen Kern reduziert. Von
dieser Seite her betrachtet, kann die vorliegende Ab
handlung einerseits als weiteres Kapitel der obigen
Monographie gesehen werden, andererseits ist sie jedoch
so angelegt, daß sie auch unabhängig davon zu lesen ist, ge
wisse Grundbegriffe vorausgesetzt.
Eine fundamentale Rolle spielt bei der Behandlung der
Saturation der Begriff der relativen Vervollständigung.
Er erlaubt es, das Saturationsproblem als ein zweites
zentrales Problem dieser Abhandlung für die hier ?.uge
lassenen generell zu lösen. Dieser Begriff ist
Pro~esse
stärker als die Abschließung und schwächer als die Kom
paktifizierung, und er ist dem Phänomen der Saturation ge
nau angepaßt. Auf diesem Wege erhält das Saturationspro
blem eine eindrucksvolle Deutung und Einordnung sowohl
in die Approximationstheorie als auch in die Theorie der
intermediären Räume.
Aachen, April 1968 P. L. Butzer
INHALTSVERZEICHNIS
1 • Einführung 1
2. Vorbereitender Abschnitt 6
2.1 DieK-und J-Interpolationsmethoden von
J. Peetre 6
2.2 Der Begriff der relativen Vervollständi-
gung 14
2.3 Spezielle intermediäre Räume 18
3. Approximationsprozesse auf Banachräumen 22
3.1 Saturation 27
3.2 Sätze nicht-optimaler Approximation 31
4. Approximation und Hal.bgruppen von Operatoren 37
4.1 Ergebnisse aus der Halbgruppentheorie 37
4.2 Approximationssätze für Halbgruppen von
Operatoren 42
4.3 Approximationssätze für die Resolventen
des infinitesimalen Erzeugers der Halb-
gruppe 48
4.4 Lipschitzräume 51
5. Das singuläre Integral von de La Vallee Poussin 56
6. Die Rieszachen Mittel des Fourierumkehrintegrals 66
6.1 Das singuläre Integral von Cauchy-Poisson 70
6.2 Das Approximationsverhalten der typischen
und Rieszachen Mittel 77
Literaturverzeichnis 85
1
1 • EINFÜHRUNG
In der vorliegenden Arbeit werden Approximationsprozesse
an die Identität auf Banachräumen im folgenden Sinne unter-
sucht.
Sei X ein reeller (oder komplexer) Banachraum mit den
Elementen f,g, ••• und der Norm 11·11. Auf X sei eine Familie
.S = {SS' • 9 >O} von beschränkten linearen kommutativen Opera
toren in sich gegeben derart, daß
(i) IIS~fll i Mllfll (gleichmäßig in~ t f EX)
und
=
(ii) lim ns,f-fll 0 (f ~X)
~~00
gelten. Unter diesen Voraussetzungen sagen wir, ~ defi
niert einen gleichmäßig beschränkten Approximationsprozeß
an die Identität I im starken Sinne.
Es soll nun das Verhalten von für die Elemente f
S~f
9--oo
aus X für untersucht werden. Hierzu wird der :1-Ap
proximationsmodul
UJ:y(9 'f) = sup II SO'f-fll
9i <r
von f eingeführt und über ihn die ::! -Approximationsräume
Xe(, q, :y , ol.. > 0, 1 i q i oo. Xct, q ,.:f ist der Raum aller Elemen
te f aus X, für die die erweiterte Norm
llfll+ { 100<9d.UJ:r(9,f))qd9/9}1/q
0
llfll+ sup <{\J.Jy(~,f)) (q:eo)
O<s><oo
2
auf X endlich ist, er wird ein normalisierter Banachunter-
raum von X unter der Norm 11·11... (Satz 3.1) •
.... ,q,..1J40
Für das Studium der Räume X beschränken wir uns
d..,q,..~)
auf Prozesse '::! , welche mit einem abgeschlossenen linearen
Operator B in X mit dichtem Definitionsbereich D(B) wie folgt
verknüpft sinda
(iii) Es existiert eine Zahl ~>O, so daß für jedes
f E D(B) gilt
s-lim ?yo {S~f-f} = Bf.
'?--=
9
(iv) Der Wertebereich S~[X] ist für jedes >O enthal-
ten in D(B) und
(f ~X).
Unter den Eigenschaften (i) bis (iv) zeigt J ein Ver
halten, das nach J. Favard [1] unter dem Namen Saturation be
kannt ist. Dies bedeutet, für ein Element f aus X strebt
~9Jf) 0 (~ -ro)
der Modul höchstens von der Ordnung gegen
Null für 9 --+=, es sei denn f gehört zum Nullraum von B. Das
Saturationsproblem besteht nun darin, den Raum f{j,x} aus X
g e n a u zu bestimmen, für dessen Elemente der Modul
-rc
u..J.:y(9 0 (9
J ·) mit der "optimalen" Ordnung °) gegen Null
9-+=.
konvergiert für Das Problem wird in Satz 3.2 durch
die Einführung des Begriffes der relativen Vervollständi
gung von E. Gagliarde [1] (Absch. 2.2) in die Saturations
theorie gelöst. Bzgl. der (verbleibenden) Räume X~q,j'
ra,
0 < cJ... < 1 .5, q .5, =, "nicht-optimaler" Approximation wer
den Sätze vom Jacksonschen und Bernsteinsehen Typ bewiesen.
Es wird gezeigt, daß sie gleich den intermediären Räumen
3
(X,D(B»d( ,q,K von X und D(B) (normiert durch die Graphen
00
norm) sind (Sätze 3.5 und 3.7). Der Raum (X,D(B))e,q,K
wird über die K-Methode von J. Peetre [1,2] konstruiert
(Absch. 2.1).
Approximationsprozesse auf Banachräumen, wie sie hier
untersucht werden, sind in der Literatur wohlbekannt.
Einen wichtigen Spezialfall bilden die Halbgruppen
~= {T(t),t~O} von Operatoren. In diesem Fall hat P.L.
J
Butzer [2,3] 1956 erkannt, daß die Halbgruppe auf X
saturiert wird von der Ordnung()(t)(t-+0+) und die Satu
rationsklasse fTJfX} für einen reflexiven Raum X durch
den Definitionsbereich D(A) des Erzeugers A von ~ genau
bestimmt ist. Die Räume Xc~..,q, T, 0 < d-..< 1, 1 < q i =,
hat J.L. Lions L1] 1959 als Interpolationsräume zwischen
X und D(A) über die von ihm angegebene Spurenmethode ("me
thode de trace") charakterisiert, bzgl. der Charakterisie
rung über die K-Methode siehe J. Peetre [2]. Beim Studium
des Approximationsverhaltens der Halbgruppenoperatoren an
die Identität (siehe Butzer- Berens [1, Ch. II und III])
wird die spezielle funktionale Verknüpfung der Operatoren,
nämlich die Halbgruppeneigenschaft, stark ausgenutzt. In
der vorliegenden Arbeit werden nun allgemeiner Approxima
tionsprozesse j' auf Banachräumen untersucht, deren Ope
9
ratoren bzgl. des Parameters nicht miteinander funk
S~
tionell gekoppelt zu sein brauchen. - In der Theorie der
singulären Integrale auf Lebesgueräumen, sowie der Summa-
tionstheorie der Fourierreihen bzw. -integrale sind eine
große Anzahl solcher Prozesse bekannt, siehe - Nes
But~er
sel [2, Ch. I]. - Hierdurch ändern sich zum Teil die Be-
4
Weisführungen der einzelnen Sätze entscheidend. Beim Satu
rationssatz (Satz 3.2) erweist sich der Begriff der relati-
ven Vervollständigung als äußerst nützlich, als funktional
analytische l'U ttel dienen das "uniform boundedness principle"
und der Satz von Banach - Steinbaus. Der Beweis des direk-
ten Approximationssatzes (Satz 3.5), die Jacksonrichtung,
wurde mittels einer durch J. Peetre festgelegten Beweisform
geführt, während der Umkehrsatz (Satz 3.7), die Bernstein-
richtung, eine letztlich auf S. Bernstein zurückgehende Me
thode zum Beweis eines nach ihm benannten Satzes aus der
Theorie der besten (trigonometrischen) Approximation ver
allgemeinert.
Abschnitt 2 ist ein vorbereitender Abschnitt, in dem
die Ergebnisse der Theorie der K- und J-Interpolationsme
thoden von J. Peetre als auch die über die relative Vervoll-
ständigung von E. Gagliarde zusammengestellt werden. Ab
schnitt 3 bildet den Kern der Arbeit. In Abschnitt 4 wird
das Approximationsverhalten von Halbgruppen von Operatoren
und der Resolventen des zugehörigen infinitesimalen Erzeu
gers kurz behandelt. Während in den restlichen zwei Ab-
schnitten konkrete Anwendungen untersucht werden. So in
Abschnitt 5 das singuläre Integral von de La Vallee Poussin
auf den Räumen c und LP , 1 < p < ~, und in Abschnitt 6
2 2
1t 7t -
die Rieszachen Mittel in Verbindung mit dem singulären In-
tegral von Cauchy - Poisson auf den LP(~,=)-Räumen.
Die vorliegende Arbeit ist die Habilitationsschrift
des Verfassers zur Erlangung der venia legendi in der
5
Naturwissenschaftlichen Fakultät der Johannes Gutenberg
Universität zu Mainz. Uber die vorliegenden Untersuchun
gen habe ich im Wintersemester 1967/68 an der Rhein.
Westf. Technischen Hochschule Aachen im Rahmen eines
Seminars bei Herrn Professor Dr. P. L. Butzer vorgetra
gen. Bei allen Teilnehmern, insbesondere bei Herrn Pro
fessorButzerund Herrn Dr. R. J. Nessel, sowie Frl. U.
Westphal und den Herren Dr. E. Görlich, K. Scherer und
w.
Trebels möchte ich mich für zahlreiche Hinweise und
s.
Hilfestellungen bedanken. Frau Knop danke ich für die
sorgfältige Ausführung der Maschinenschrift.
