Intégration et théorie de la mesure : Une approche géométrique

225 Pages·1997·18.74 MB·French

by  Krée Paul

,
. JHEMATIQUES
2e cycle
t exercices corr· '
2E
MATHÉMATIQUES POUR LE CYCLE
Collection dirigée par Charles-Michel MARLE et Philippe PILIBOSSIAN
INTÉGRATION
ET
THÉORIE
DELA MESURE
Une approche géométrique
Paul KRÉE
Professeur
Université Pierre et Marie Curie
(Paris VI)
Du même auteur
P. Krée, Introduction aux mathématiques et à leurs applications fondamentales, Dunod,
1969.
P. Krée, C. Soize, Mécanique aléatoire, Dunod, 1983, traduction anglaise, Reidel, 1986.
P. Krée, W. Wedig, Probabilistic methods in annlied physics Lecture notes in physics,
n° 451, Springer Verlag, 1995.
M. et P. Krée, et J. Vauthier, Cours et exercices d'analyse en DEUG 2, 5ème édition
refondue, Eska, 1997.
M. et P. Krée, et J. Vauthier, Cours et exercices d'algèbre et géométrie en DEUG 2,
5ème édition refondue, Eska, 1997.
Dans la même collection Mathématiques pour le 213 cycle
..,.. Théorie de Galois, Ivan Gozard, 224 pages .
..,.. Topologie, Gilles Christol, Anne Cot, Charles-Michel Marle, 192 pages .
..,.. Calcul différentiel, Gilles Christol, Anne Cot, Charles-Michel Marle,
224 pages .
..,.. Éléments d'analyse convexe et variationnelle, Dominique Azé, 240 pages.
ISBN 2-7298-6718-X
© ellipses / édition marketing S.A., 1997
32 rue Bargue, Paris (15•).
La loi du 11 mars 1957 n'autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de !'Article 41, d'une part, que les
" copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une
utilisation collective », et d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but
d'exemple et d'illustration," toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans
le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite "· (Alinéa 1er de
!'Article 40).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de
l'éditeur ou du Centre français d'Exploitation du Droit de Copie (3, rue Hautefeuille, 75006 Paris),
constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les Articles 425 et suivants du Code pénal.
Présentation de la Collection
Mathématiques pour le deuxième cycle
Cette collection se propose de mettre à la disposition des étudiants de licence et
de maîtrise de mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes
actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles
aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu'aux élèves
des grandes écoles.
Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont
présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement
la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des
démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels, et de nombreux exercices,
avec leurs solutions.
Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de l'enseignement des
mathématiques au niveau supérieur.
Nous avons apporté le plus grand soin à la présentation et à la mise en page des
textes et des figures de ces livres; le choix du logiciel TEX de Donald E. Knuth
s'est imposé pour ce travail.
Les théories de la mesure et de l'intégration font partie des fondements de
]'Analyse mathématique. Plusieurs présentations peuvent en être données : on
peut prendre pour point de départ la notion de mesure ensembliste, ou celle de
mesure de Radon, ou encore de celle de mesure de Daniell. L'ouvrage du Professeur
Paul Krée, que nous sommes heureux d'accueillir dans cette collection, explicite
les aspects géométriques de ces théories, et propose ainsi une approche unifiée et
progressive. Il comporte de nombreux exercices corrigés, parfaitement adaptés à
cette présentation.
Charles-Michel Marle Philippe Pilibossian

Avant-propos
Le présent livre a été rédigé à partir d'un cours enseigné depuis 1993 en licence de
mathématiques à l'Université Pierre et Marie Curie. Son but est d'expliciter les aspects
géométriques des théories concernant les mesures et l'intégration. On aboutit ainsi à un
exposé relativement court où les diverses présentations classiques, ainsi que d'autres
(nécessitées par le progrès scientifique), trouvent naturellement une place. On note en
effet, que les approches classiques qui n'explicitent pas les aspects géométriques sont
souvent construites en se plaçant implicitement dans un cadre géométrique donné; en se
limitant à l'exposé des méthodes correspondantes. L'étudiant est ainsi amené par la suite à
étudier tous les problèmes concernant les mesures avec un type particulier de présentation
et de méthodes. Cela peut conduire à des difficultés. En effet, il est souvent nécessaire de
choisir pour chaque type de problème, la présentation et les méthodes adaptées ... Mais
pour faire ces choix l'étudiant doit connaître les diverses approches ainsi que les liens
entre les approches possibles. La présentation géométrique qui suit est construite pour
permettre ces choix car elle est générale et car elle explicite aussi les liens entre les divers
types d'exposés. Elle contient donc des compléments au cours d'intégration de licence
qui font aussi le lien avec des cours ultérieurs tels que : variables complexes, méthodes de
distributions, probabilités, préparations au CAPES et à l'agrégation ...
Pratiquement on part toujours dans ce cours des approches les plus simples qui sont
souvent ensemblistes, puis seulement après on étudie des approches fonctionnelles plus
générales. Ainsi au chapitre 1, on part de l'intégrale de RIEMANN puis du concept de
mesure sur un anneau booléen B; on montre ensuite l'équivalence avec Je concept
de pré-intégrale sur la partie positive de l'espace vectoriel ordonné engendré par les
indicatrices des éléments de B. On montre la nécessité d'utiliser les résultats de topologie
générale qui sont résumés au chapitre II. Cela est rédigé sous une forme permettant un
parallèle, fait au chapitre III, avec 1' étude des ensembles et des applications mesurables. La
construction des mesures faite au chapitre IV part du théorème classique de CARATHEODORY
qui est purement ensembliste. On énonce au paragraphe 3 une généralisation fonctionnelle
nouvelle, démontrée au paragraphe 5, de ce théorème. L'intérêt de cette généralisation
par rapport aux énoncés particuliers ensemblistes et fonctionnels qu'elle recouvre, est
d'abord sa généralité. De plus la formulation n'invite pas à l'emploi d'une méthodologie
particulière donnée à priori. L'intérêt de ces considérations est déjà illustré au paragraphe
4 qui esquisse trois approches des probabilités, utilisant des méthodes et des cadres
géométriques différents. Les présentations du calcul intégral (chapitre V) et des espaces
LP (chapitre VII) sont classiques puisqu'elle sont essentiellement ensemblistes. Le calcul
vi Avant-propos
sur les mesures (chapitre VI) part pour chaque opération du point de vue ensembliste,
mais il donne la possibilité d'étudier les opérations avec des espaces adaptés de fonctions
test. Le chapitre VIII donne un aperçu des méthodes hilbertiennes. Mais, comme les trois
approches des probabilités, évoquées au paragraphe 4 du chapitre IV, sont peu utilisables
en physique quantique, on en esquisse une quatrième.
Ce type de cours étant nouveau, chaque chapitre comporte des exercices adaptés avec
solutions détaillées.
Je remercie les Collègues dont les observations ont permis d'améliorer ce cours, en
particulier C.-M. Marle, J. Faraut, P. Pilibossian, R. Cauty, C. Bertrand et O. Monty.
Table des matières
Chapitre 1. PRÉLIMINAIRES 1
1 L'approche géométrique des mesures et de l'intégration 1
2 Théorie des ensembles et théories axiomatiques . . . . 3
3 Comparaison des cardinaux et ensembles dénombrables 6
4 La première théorie de l'intégration, la théorie de Riemann 9
5 Une première approche ensembliste des mesures ... 13
6 Préliminaires algébriques à l'intégration . . . . . . . 20
7 Relations entre mesures ensemblistes et pré-intégrales . 25
8 Énoncés d'exercices relatifs au chapitre 1 . . . . 29
9 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . 33
Chapitre Il. RÉSUMÉ DE TOPOLOGIE GÉNÉRALE 40
1 Topologies et espaces topologiques 40
2 Applications continues . . . . . . . . . . 43
3 L'outil des suites convergentes . . . . . . . 48
4 L'outil des suites généralisées convergentes . 48
5 Applications uniformément continues et espaces métriques complets 49
6 Espaces topologiques compacts . . . . . . . . 52
7 Espaces topologiques localement compacts (LC) 54
8 Utilisation de fonctions réelles continues . 56
9 Énoncés d'exercices relatifs au chapitre Il . . . 57
10 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . 60
Chapitre III. TRIBUS ET APPLICATIONS MESURABLES 66
1 Application de la compacité aux mesures . 66
2 Tribus et espaces mesurables 68
3 La méthode des classes monotones. . . . 70
4 Applications mesurables. . ...... . 72
5 Tribu engendrée par une famille d'applications. Tribu produit. 74
6 Analogies, relations et différences avec la topologie générale 77
7 Énoncés d'exercices relatifs au chapitre III . . . . . . . . . 78
8 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Chapitre IV. CONSTRUCTION DES MESURES ET DE L'INTÉGRALE 85
1 Prolongement des mesures définies sur des anneaux booléens . 85
2 Fonctionnelle d'intégration associée à toute mesure sur une tribu 88
3 Généralisation fonctionnelle du théorème de Caratheodory 93
4 Construction et caractérisation des mesures en probabilités 96
5 Preuve du théorème IV.18 . . . . . . . . . 102
6 Énoncés d'exercices relatifs au chapitre IV . 106
7 Solutions des exercices . . . . . . . . . . 110
viii Table des matières
Chapitre V. CALCUL INTÉGRAL RELATIF À UNE MESURE . 117
1 Prolongement canonique des mesures et des F.I. . . . . . . 117
2 Fonctions intégrables réelles . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3 Théorème de Fatou et théorème de la convergence dominée . 122
4 Intégration des fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . 126
5 Continuité, dérivabilité et analyticité d'une fonction À -t !(>.) . 129
6 Application à la fonction Gamma . . . . . 132
7 Énoncés d'exercices relatifs au chapitre V . 135
8 Solutions des exercices . . . . . . . . . 139
Chapitre VI. CALCUL SUR LES MESURES . 145
1 Mesures admettant une densité . 145
2 Images directes de mesures . . . . . . . 146
3 Produit tensoriel de mesures . . . . . . . 148
4 Intégration par rapport à un produit tensoriel de mesures . . 150
5 Changement de variables dans les intégrales multiples . . 154
6 Introduction à la convolution des mesures . 158
7 Mesures superficielles . . . . . . . . . . . 160
8 Mesures réelles et pré-intégrales réelles . . 162
9 Énoncés d'exercices relatifs au chapitre VI . 165
10 Solutions des exercices . . . . . . 168
Chapitre VII. ESPACES LP . . . . . . . . . . 176
1 Motivation et inégalités de convexité . . . . 176
2 Espaces semi-normés [,P de fonctions mesurables . 177
3 Espace vectoriel normé associé à tout espace semi-normé . 179
4 Espaces de Banach LP de classes de fonctions . . . . . . 180
5 Divers types de convergence de classes de fonctions mesurables . 182
6 Isomorphisme de Riesz explicitant le dual de LP si p < oo . . 183
7 Énoncés d'exercices relatifs au chapitre VII . 184
8 Solutions des exercices . . . . . . . . . . 186
Chapitre VIII. THÉORIES HILBERTIENNES . . 190
1 Introduction . . . . . . . . . 190
2 Espaces hilbertiens réels . 190
3 Espaces hilbertiens complexes . 191
4 Résultats sur l'orthogonalité et le théorème de projection . 194
5 Théorème de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . 195
6 Indications sur les probabilités en physique quantique . 197
7 Énoncés d'exercices relatifs au chapitre VIII . 201
8 Solutions des exercices . . . . . . . 203
Quelques références bibliographiques . 207
Index .............. . . 209
Notations
Il s'agit seulement des notations spécifiques à ce livre.
Chaque symbole est suivi par le numéro de la page où il est défini.
XUY 4 A 42
#X 6 intB 43
(Pn) Î P ; Un) Î J 13 V(x) 43
B 14 L(X, Y) 44
Bt:::.B' 14 BL 52
B-B' 14 BW 53
Mes (B) 14 LC 54
O'-fini 14 C(X, Y) ; Cc(X, E) ; CK(X,E) 56
Ôa 15 limsup ; liminf 58
s
16 Fm 67
Gm 18 B' (JR) 67
A(F) 20 T; Trib de X 68
A(B) 21 Trib (V) 69
Maj (!, f'); Min (!, !') 22 7b(X) 69
f V J' ; f /\ f' 22 M 70
E+ ; A(B)+ 22 Mon (V) 71
x+ ; x_ ; lxl 23 Cb(X) 75
{f 2:'.c} 25 Hgr(J) 76
Pre-int (X, B) 27 B(n,p) ; P(>.) 79
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