Intégration: Chapitres 7 et 8

224 Pages·2007·4.334 MB·French

by  N. Bourbaki (auth.)

N. BOURBAKI
É L É M E N T S D E
MATHÉMATIQUE
N. BOURBAKI
É L É M E N T S D E
MATHÉMATIQUE
INTÉGRATION
Chapitres 7 et 8
123
Réimpressioninchangéedel’éditionoriginalede1963
©Hermann,Paris,1963
©N.Bourbaki,1981
©N.BourbakietSpringer-VerlagBerlinHeidelberg2007
ISBN-10 3-540-35324-0 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN-13 978-3-540-35324-9 SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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CHAPITRE VI1
MESURE DE HAAR
Dans ce chapitre et le suivant, lorsque nous parlerons d'une
fonction (resp. d'une mesure), il s'agira indifféremment d'une
fonction (resp. d'une mesnre) réelle ou complexe ; si T est un
espace localement compact, la notation X(T) désignera indiffé-
remment l'espace X,(T) ou l'espace Tc(T); de même pour les
notations Y(T), V(T), LP(T, p), dd(T), etc. Il est naturellement
sous-entendu que dans une question où interviennent plusieurs
fonctions, mesures ou espaces vectoriels, les résultats obtenus
sont valables lorsque ces fonctions, mesures ou espaces vectoriels
sont tous réels ou tous complexes. L'espace X(T) sera toujours
supposé muni de la topologie de la convergence uniforme, l'espace
V(T) de la topologie de la convergence compacte, et l'espace
S(T) de la topologie limite inductive dont lu définition est rap-
pelée en tête du chapitre VI.L a notation X+(T)d ésignera l'ensemble
des fonctions 2 O de X(T). Si A c T, on notera toujours cp,
la fonction caractéristique de A. Si t E T, E~ désignera la mesure
positive définie par la masse f 1 au point t.
Tous les espaces localement convexes seront supposés séparés.
On notera e les éléments neutres de tous les groupes consi-
dérés, sauf mention expresse du contraire.
1. Construction d'une mesure de Ham.
1. DéJinitions et notations.
Soit G un groupe topologique opérant continûment à
gauche (Top. gén., chap. III, 3e éd., $ 2, no 4) dans un espace
8 INT~GRATION chap. VII, $ 1
localement compact X ; pour s E G et x EX, soit sx le trans-
formé de x par On notera y,(s), ou y(s), l'homéomorphisme
S.
de X sur X défini par
(1) y(s)x = sx.
On a
(2) y(sf) = y(s)y(t).
Si f est une fonction définie sur X, y(s)f sera définie par trans-
port de structure, c'est-à-dire par la formule (y(s)f)(y(s)x) = f(x);
autrement dit :
Si p est une mesure définie sur X, y(s)y sera aussi définie par
transport de structure, ce qui conduit a
Autrement dit
Si A est un ensemble (y(s)p)-intégrable, s-'A est pintégrable,
et
La mesure y(s)p peut aussi être définie comme l'image de p
Par y(s).
Au lieu d'écrire d(y(s)p)(x), il est parfois commode d'écrire
dp(s-lx) ; alors, (5) prend la forme suivante :
le membre de droite se déduit de celui de gauche «en chan-
geant x en sx ».
DÉFINITION 1. - Soit p une mesure sur X.
a) On dit que p est invariante par G si y(s)p = j~ pour
tout s E G.
no 1 CONSTRUCTION D'UNE MESURE DE HAAR 9
b) On dit que p est relativement invariante par G si y(s)p
est proportionnelle à p pour tout s E G.
c) On dit que p est quasi-invariante par G si y(s)p est équi-
valente à p pour tout s E G.
Remarques. - 1) Supposons y invariante. Alors ]pl, gp,
9 p sont invariantes. Si p est réelle, pf et p- sont invariantes.
2) Supposons p relativement invariante et non nulle. Il
existe, pour tout s G, un nombre complexe ~(s)u nique tel
E
que
x
et la fonction sur G est une représentation de G dans C*
appelée multiplicateur de p. La formule (5) donne alors
et la formule (6) donne
Avec les conventions faites plus haut, (7) peut aussi s'écrire
3) Comme Iy(s)~l= y(s)(lpl), dire que p est quasi-inva-
riante revient à dire que 1p.1 est quasi-invariante.
Si p est quasi-invariante et si pr est une autre mesure
sur X équivalente à p, y(s)pr est équivalente à y(s)p, donc
à p, donc à pl, de sorte que p' est quasi-invariante. Dire que
p est quasi-invariante par G signifie donc que la classe de p
est invariante par G.
Pour que p soit quasi-invariante, il faut et il suffit que
l'ensemble des parties localement p-négligeables de X soit
invariant par G (chap. V, § 5, no 5, th. 2), OU encore que,
pour toute partie compacte p-négligeable K de X et tout s G,
E
sK soit p-négligeable (loc. cit., Remarque).
Si p est quasi-invariante, le support de p est invariant
1 O INTEGRATION chap. VII, 8 1
par G. En particulier, si G est transitif dans X, ce support
est ou bien vide (si p . = O) ou bien égal à X (si p # O).
Lemme 1. - Soient X, Y, Z trois espaces topologiques,
Y étant localement compact. Soit (x, y) -xy une applica-ti on
continue de X x Y dans Z, qui définit une application x u,
de X dans g(Y; Z) par la relation u,(y) = xy. Soient f une
fonction continue dans Z, a valeurs dans R ou dans un espace
de Banach, S le support de f, et p une mesure sur Y. On suppose
que, pour tout x, E X , il existe un voisinage V de x, dans X
U
tel que uil(S) soit relativement compact dans Y. Alors :
xsv
a) pour tout x E X, f O u, est continue dans Y et à support
compact ;
-
S*
b) l'application x f(xy)dp(y), qui est définie d'aprds
a), est continue dans X.
L'assertion a) est évidente. Prouvons b). Comme la
continuité est une propriété locale, on se ramène au cas où
U
ugl(S) est contenu dans une partie compacte Y' de Y.
-
XEX
Comme la fonction (x,y ) f(xy) est continue dans X x Y, f u,
O
tend uniformément dans Y' vers f O u, quand x tend vers x,
(Top. Gén., chap. X, 2e éd., 5 3, no 4, th. 3), donc p(f u,) tend
O
vers ,u(f use).D 'où le lemme.
O
Revenons maintenant aux notations antérieures.
PROPOSITI1O. N- Supposons G localement compact. Soit
p une mesure relativement invariante non nulle sur X. Alors
x
son multiplicateur est une fonction continue dans G.
En effet, soient f E Z(X), S le support de f, s, un point
de G, et V un voisinage compact de s, dans G ; alors
est compact dans X ; d'aprés le lemme 1 et la formule (S),
x(s)-l(p, f) dépend continûment de s ; si on a choisi f telle
x
que (p, f) # O, on voit que est continu.
Soit maintenant G un groupe topologique opérant conti-
nQment A droite dans un espace localement compact X ; pour
s E G et x E X, soit xs le transformé de x par S. On notera
Sx(s), ou S(s), l'homéomorphisme de X défini par
Par transport de structure, on définit l'action de S(s) sur
les fonctions et les mesures sur X :
On convient d'écrire dp(xs) au lieu de d(S(s)p)(x), et (5') prend
la forme
On définit de manière analogue les mesures invariantes,
relativement invariantes et quasi-invariantes par G sur X. Si
x
p est relativement invariante, on définit son multiplicateur
par les formules