Intégration : Analyse Hilbertienne

212 Pages·1998·10.77 MB·French

by  Alain Guichardet

INTEGRATION
ANALYSE HILBERTIENNE
Alain Guichardet
1
X COLE POLYTECMNIQUE

I
INTEGRATION
ANALYSE HILBERTIENNE
Alain GUICHARDET
Dans la même collection ·
Roger Balian Du microscopique au macroscopique 2 vol.
Jean-Louis Basdevant Mécanique quantique
Philippe J. Bernard Histoire du développement économique. XVIIIe-XXe siècle
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Michel Demazure Catastrophes et bifurcations
Jean-Marie Domenach Approches de la modernité
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INTRODUCTION
Les deux grandes théories mentionnées dans le titre de cet ouvrage: Intégration et Analyse
xxe
hilbertienne, sont nées au début du siècle, et un aperçu historique placé à l'appendice B
retrace les grandes étapes de leur création; elles ont trouvé depuis lors des applications dans des
domaines scientifiques très variés. La théorie de l'intégration pourrait fort bien remplir un
volume aussi important que celui de l'analyse hilbertienne ; pourtant, dans ce cours, elle
constitue seulement un chapitre sur un total de 7 ; la raison de ce choix est expliquée à
l'introduction du chapitre I. Quant aux applications à la mécanique quantique, elles sont
regroupées au chapitre VII; précisons bien ici que nous n'entendons nullement faire un cours
de physique, mais seulement exposer les fondements mathématiques de la mécanique
quantique, au sujet de laquelle on pourra consulter avec fruit le livre de J.L. Basdevant publié
aux mêmes éditions Ellipses.
Notre exposé est déductif, développant les théories avant leurs applications aux problèmes
qui les ont motivées ; ces dernières sont, dans la mesure du possible, esquissées à l'aperçu
historique et dans les introductions des divers chapitres. D'autre part il ne cherche pas à être
exhaustif: on a évité d'introduire de nombreuses notions, souvent très naturelles, mais
insuffisamment illustrées dans ce cours ; on a aussi, parfois, omis d'énoncer certaines
propriétés très simples des objets introduits ; ces omissions sont en général compensées par la
présence de nombreux exercices ; les uns, faciles, sont essentiels à la compréhension du cours
et doivent être résolus au fur et à mesure de sa lecture; les autres, imprimés en petits caractères,
sont plus difficiles ou font appel à des notions ou résultats qui ne font pas partie intégrante du
cours; ces derniers exercices, ainsi que tous les passages imprimés en petits caractères, peuvent
être considérés comme non indispensables à une compréhension raisonnable du cours.
Les connaissances requises au départ sont, bien entendu, le programme d'analyse des
classes préparatoires ou des DEUG, ainsi qu'une partie du programme d'algèbre linéaire:
espaces vect01iels, bases, applications linéaires, dualité. En ce qui concerne la topologie, on a
réduit au maximum les notions utilisées, se limitant en principe aux espaces métdques, et on les
a rappelées à l'appendice C. L'appendice A est consacré à des illdications pour la résolution des
exercices.
A.G
Indiquons, pour terminer, quelques notations utilisées constamment:
- la fonction indicatrice (ou caractéristique) d'une partie A d'un ensemble E est notée
lA ,"
- le complémentaire d'une partie A d'un ensemble E est notée E \ A ou [ A ;
- le symbole iit désigne /'ensemble [ 0 , + oo ] des nombres réels positifs ou nuls
auxquels on a rajouté + oo ;
- si f est une fonction réelle ou complexe définie sur un ensemble E , on pose
Il f Il 00 = sup 1 f (x) 1 , nombre qui peut être fini ou infini;
• e E
- une fonction sur IR" est dite de classe Ck ( k entier positif ou nul) si elle admet des
dérivées partielles continues jusqu'à /'ordre k ; de classe C00 si elle est de classe Ck
pour tout k.

TABLE DES MATIERES
INTRODUCTION 3
TABLE DES MATIÈRES 5
CHAPITRE I-MESURES, INTÉGRATION 7
1.0 - Introduction 7
1.1 - Mesures et tribus 7
1.2 - Ensembles µ-négligeables; ensembles µ-mesurables 10
1.3 - Intégration des fonctions positives 11
1.4 - Fonctions intégrables. Espaces c1et ~ 13
1.5 - L'espace 13 17
1.6-Mesures produits. Théorème de Fubini 19
1.7 - Comparaison des intégrales de Riemann et de Lebesgue 21
1.8 - Images, densités, changements de variables 23
1.9 - Mesures de Radon 26
1.10 - Démonstrations de certains résultats du chapitre I 29
CHAPITRE II-DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS DES ESPACES
HILBERTIENS 36
11.0 - Introduction 36
11.1 - Fonnes bilinéaires et sesquilinéaires. Espaces préhilbertiens 36
II.2 - Espaces hilbertiens. Exemples 38
11.3 - Opérations élémentaires sur les espaces hilbertiens 39
II.4 - Espaces de Sobolev à une variable 40
CHAPITRE HI-PROJECTIONS, BASES, DUALITÉ, SÉRIES DE FOURIER,
CONVERGENCE FAIBLE 46
111.0 - Introduction 46
III.1 - Théorème de la projection 46
III.2 - Suites orthogonales. Bases hilbertiennes 49
III.3 - Exemples de bases hilbertiennes 51
III.4 - Dualité 54
IIl.5 - Séries de Fourier 55
III.6 - Convergence faible 58
CHAPITRf: IV - OPÉRATEURS BORNÉS, SPECTRES, ADJOINTS.
OPERATEURS DE HILBERT-SCHMIDT 60
IV.O - Introduction 60
IV .1 - Généralités sur les opérateurs 60
IV.2 -Opérateurs inversibles. Spectres 63
IV.3 - Opérateurs adjoints, hermitiens, positifs, isométriques, unitaires;
projecteurs 66
IV .4 - Opérateurs de Hilbert-Schmidt 70
6 TABLE DES MATIÈRES
CHAPITRE V-OPÉRATEURS COMPACTS 75
V.O - Introduction 75
V.1 - Définition et premières propriétés des opérateurs compacts 75
V.2-Théorie spectrale des opérateurs compacts 77
CHAPITRE VI-MÉTHODES VA RIAT IONNELLES. APPLICATIONS. 84
VI.O - Introduction 84
VI.1 - Théorèmes de Stampacchia et de Lax-Milgram 84
VI.2 -Application à certaines équations abstraites 88
VI.3 - Application aux opérateurs différentiels à une variable 90
(problème de Sturm-Liouville)
CHAPITRE VII - OPÉRAT EU RS AUTOADJOINTS 94
VII.O - Introduction 94
VII.1 - Généralités sur les opérateurs 96
VII.2 - Théorème spectral et applications 104
VII.3 - Formalisme de la mécanique quantique 118
VII.4 - Exemples d'hamiltoniens de systèmes à une particule 129
Appendice: espaces de Sobolev 145
APPENDICE A-INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES 149
APPENDICE B -APERÇU HISTORIQUE 173
B.1 - Topologie 173
B.2 - Intégration 173
B.3 - Espaces hilbertiens et analyse fonctionnelle 174
APPENDICE C-RAPPEL DE QUELQUES NOTIONS FONDAMENTALES DE
TOPOLOGIE 177
C.1 - Les espaces métriques et leurs topologies 177
C.2 - Applications continues 178
C.3 - Produits d'espaces métriques .179
C.4 - Espaces métriques complets 179
C.5 - Espaces vectoriels normés 180
C.6 - Espaces métriques compacts 182
C.7 - Espaces topologiques non métriques 184
APPENDICE D-RAPPELS CONCERNANT LES ÉQUATIONS
DIFFÉRENTIELLES 186
APPENDICE E - PRODUITS TENSORIELS 189
E.0-Introduction 189
E. l - Définition et premières propriétés des produits tensoriels 189
E.2 - Exemples 192
E.3 - Propriétés des produits tensoriels 194
E.4 - Produits tensoriels symétriques et antisymétriques 195
E.5 - Produits tensoriels d'espaces hilbertiens 199
INDEX TERMINOLOGIQUE 203
INDEX DES NOTA T IONS 205
BIBLIOGRAPHΠ207
CHAPITRE 1
MESURES, INTEGRATION
1.0 - INTRODUCTION.
La théorie de la mesure et de l'intégration joue un rôle particulier au sein de !'Analyse
Mathématique ; elle est utile, pour ne pas dire indispensable, dans tous les autres domaines de
!'Analyse; elle constitue le fondement même de la théorie moderne des Probabilités qui, sans
elle, ne serait pas devenue une théorie mathématique à part entière. Et pourtant on rechigne
souvent à l'enseigner et à l'étudier ; elle présente souvent un aspect austère, voire rébarbatif; elle
est d'un maniement plutôt délicat, notamment à cause de la présence des ensembles « négli
geables » et des propriétés vraies « presque partout » ; les démonstrations y sont souvent longues,
avec de nombreuses répétitions, et modérément instructives. C'est pourquoi, dans ce cours,
certaines d'entre elles (les moins longues et les plus instructives) ont été regroupées dans un
paragraphe situé à la fin du chapitre ; pour les autres, on renvoie le lecteur intéressé à deux
ouvrages plus complets, l'un ([ 3 ] ) écrit par des probabilistes, l'autre ( [ 1 ] ) - par un
mathématicien non probabiliste. Le mathématicien estime en effet, dans la majorité des cas, que
l'intégration constitue un outil qu'il faut savoir utiliser, et donc avoir compris dans ses rouages
principaux; ceux-ci sont contenus dans les paragraphes 1.4 , 1.5 et 1.6 : notions d'espaces
L1 et L2 , théorèmes de la convergence monotone, de la convergence dominée et de Fubini. Mais
on ne saurait assimiler ces rouages sans s'être au moins convaincu que les objets qui y figurent
(fonctions mesurables, fonctions intégrables et leurs intégrales) peuvent effectivement être
construits; c'est l'objet des paragraphes 1.1 , 1.2 et 1.3 . Les paragraphes restants seront d'un
usage moins immédiat : le § 1. 7 aide à situer la présente théorie par rapport à celle de l'intégrale
dite de Riemann, et offre un intérêt surtout conceptuel (sauf bien entendu, la proposition 1.7.1.);
le paragraphe 1.8 est surtout utile dans le cours de Probabilités, sauf évidemment le théorème du
changement de variables dans les intégrales multiples. Enfin le § 1.9 peut être considéré comme
une introduction à la théorie des Distributions : les mesures de Radon complexes y sont définies
comme des formes linéaires sur un espace de fonctions (considérées comme des« fonction-tests»)
et, par ailleurs, possèdent plusieurs propriétés qui généralisent celles des fonctions - mais pas
encore la dérivabilité !
I.1 - MESURES ET TRIBUS.
Pour nous une mesure sera définie comme une fonction d'ensembles, plus précisément
une fonction à valeurs dans iR+ = [ 0 , + oo ] et définie sur un ensemble de parties, appelé tribu
d'un ensemble donné E.
Définition 1.1.1 - Etant donné un ensemble Eon appelle tribu sur E tout ensemble él de parties
de E qui contient l'ensemble vide et E lui-même, et qui est stable par les opérations de réunions
et intersections dénombrables ainsi que de complémentation.
8 CHAPffRE !-MESURES, INfÉGRAT ION
Exemples.
l 0) La tribu $ (E) formée de toutes les parties de E; elle est utilisée surtout lorsque E
est dénombrable.
2°) Soit E un espace métrique (ou, plus généralement, topologique); on appelle tribu
borélienne sur E la tribu engendrée par (c'est-à-dire la plus petite contenant) les ouverts, ou
encore les fermés, de E ; ses éléments sont appelés ensembles boréliens. Prenons en particulier
E = IR avec sa topologie usuelle ; on sait que tout ouvert de IR est réunion dénombrable d'intervalles
ouverts ; la tribu borélienne de IR est donc aussi engendrée par les intervalles ouverts. Signalons
aussi que toutes les parties de IR qu'on rencontre dans la pratique sont boréliennes, et qu'il est
difficile de construire des parties non boréliennes (cf. [ 3 ] , 1 . 15 ). De même la tribu borélienne
de 1Rn est engendrée par les pavés ouverts.
3°) Soit u une application d'un ensemble F dans un ensemble E muni d'une tribu él;
l'ensemble des parties de F de la forme u-1 (A) où A E él est une tribu sur F, dite image
réciproque de él par u ; ce type de tribus intervient surtout en Probabilités.
Définition 1.1.2 - Une mesure sur une tribu él (on dit aussi «mesure sur (E , él) ») est une
application µ de él dans iR+ ayant les propriétés suivantes :
(i ) µ (cj>) = 0
(ii ) pour une famille dénombrable A, , A de parties deux à deux disjointes de él , on a
2 , ...
µ ( V Ai)= l: µ(A)
(iii) E est réunion d'une famille dénombrable de parties de él de mesures finies.
La propriété (ii) est équivalente à
(ii)' pour toute famille finie A, , ... .An de parties deux à deux disjointes de él on a
µ ( v Ai) = E µ (A) ; pour toute suite croissante A, c A2 c ... de parties de él on a
µ (V An) = sup µ (An).
elle entraîne la propriété suivante
(ii)" pour toute famille finie A, , ... , An de parties deux à deux disjointes de él on a
µ ( v Ai) = E µ (Ai) ; pour toute suite décroissante A, :::::i A2 :::::i ... de parties de él telle
que µ (A soit finie, ona µ ( n An) = inf µ (An).
1)
si µ (E) est fini, (ii)" est équivalente à (ii)' .
Si µ (E) est fini, on dit que µ est finie ou bornée et que µ (E) est la masse totale de µ ;
si µ (E) = l , on dit que µ est une probabilité.
On reconnaît dans les deux définitions précédentes des traits communs à beaucoup de
théories mathématiques ; une hypothèse de «complétude» (ici él est supposée stable par réunions
et intersections dénombrables et non seulement finies) et une hypothèse de «continuité» (condi
tion (ii) ou (ii)' de la définition 2) ; comme d'habitude, ces hypothèses ne reflètent aucune réalité
physique ; elles ne sont là que pour permettre de démontrer des théorèmes et d'éviter des
pathologies ; mais elles présentent aussi un inconvénient : les éléments d'une tribu sont beaucoup
trop généraux pour qu'on puisse espérer les décrire concrètement et, a fortiori, préciser leur
mesure ; c'est pourquoi on introduit des classes plus petites que les tribus, mais aussi plus faciles
à décrire: