Integrales Múltiples y Curvilíneas

257 Pages·2002·25.782 MB·Spanish

by  I.I. Liashkó... [et al.] , traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O. Malishenko.

4
/ . / . Liashkó, A. K. Boiarthuk
l á . 6 . Gai, 6 . P. Golovach
Análisis matemático
Integrales múltiples
y curvilíneas
T E M A T I / I K A
URSS
H. H.JIuimko, A. K. Ihiii|)'IVK, M. I , i aíl, I . U lojiona'I
('iiimiio'iiioc IUICOIÍHC ni micii miitcmiithkc. TOM 3.
MaTCMinn'iecKiiH iiiiii.iihí: KpnriiMC 11 upuiiojimicHiifaic hiitcipaju,i
/. I. Uaahkó, A. K. ¡íoiiiriliuk, tií. C. Gtii, C. P. Colovach
Matemática superior. Problemas resueltos. Tomo 4.
Análisis matemático: integrales múltiples y curvilíneas
Traducción de la cuarta edición rusa (1997)
lista serie consta de ocho volúmenes. Los cuatro primeros tomos con los que se abre esta obra,
están'dedicados al estudio práctico de las funciones, las sucesiones, las series, el cálculo diferencial e
integral de las funciones de una y varias variables; en ellos se presentan soluciones completamente
detalladas de los problemas expuestos en el famoso libro de B. P. Demidóvich.
lin los tomos 5 y 6, aparte de una detallada exposición de la teoría de las funciones de variable
compleja, se resuelven escrupulosamente cerca de 400 problemas, muchos de los cuales aparecen en
la inmortal colección del matemático soviético L. I. Volkoviski. Además de los temas característicos
de los cursos de este tipo, en esta parte de la obra se hallan cuestiones menos comunes como son la
integral de Newton—Leibniz y la derivada de Fermat—Lagrange. Se presta una especial atención a
las aplicaciones conformes.
lín aproximadamente 800 problemas resueltos paso a paso, los tomos 7 y 8 abarcan todos los tópicos
del curso habitual de la teoría de las ecuaciones diferenciales. En cada sección se expone el mínimo
teórico estrictamente necesario para la resolución de los problemas correspondientes; muchos de
estos aparecen en la genial colección de A. F. Filíppov. Asimismo, en estos volúmenes se analizan
luda una serie de temas bastante atípicos para libros de esta clase (teoría de la prolongación de la
solución del problema de Cauchy, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden
no lineales, algunos métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales, aplicación de
los criterios de existencia de los ciclos límites en el plano fásico, etc.).
En la edición de este libro participaron:
Director Domingo Marín Ricoy
(cid:57)(cid:76)(cid:70)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:82)(cid:85) Natalia Finoguiénova
Director de producción ¡riña Makiéeva
Director de sistemas Víktor Románov
Traducción Viktoria Malishenko y Marín Andriánova
Diseño Víktor Románov y Vasili Podobied
Enmaquetación Natalia Bekétova
Procesamiento de texto Svietlana Bondarenko y Anua Tiúrina
Edición Leonid losffiévich, Elena Kttdriashova, ígor Korovitt,
Larisa Kirdiáshkina y Pável Zelenin
Realización técnica Natalia Aríncheua, Marina Kmtskó y Elena Lógvittova
Reservados todos los derechos en todos los idiomas y en todos tos países del mundo. Quedan rigurosamente
prohibidas, sin la autorización escrita det titular del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes,
la reproducción tota! o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía
y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.
HafljrrcjibcriiO «yPCC». 113208,(cid:3)(cid:85)(cid:17) MocKBa,(cid:3)(cid:92)(cid:77)(cid:76)(cid:17)(cid:3)(cid:95) loBOKaCKHCKasi,(cid:3)(cid:36)(cid:17) 27/74, kom(cid:17)(cid:3)(cid:81)(cid:83)(cid:68)(cid:37)(cid:17)
JlniicioHíi J1P Na063377 ot 25.05.94r.(cid:3) (cid:81)(cid:82)(cid:77)(cid:88)(cid:76)(cid:43)(cid:70)(cid:68)(cid:81)(cid:82) k nciam G2.04.99r, <t(cid:33)(cid:82)(cid:83)(cid:48)(cid:68)(cid:85) 70x100/16. Ilci,jt. 16.
Omciarano h AOOT «noüMTex-4». 129110,(cid:3)(cid:85)(cid:17) MocKiia, E. flepesicjiaBcuasi, 46, 3sk.N> 527
ISBN 5-88417-183-8 (Obra completa)
Editorial URSS 5-88417-190-0 (Tomo 4)
(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:88)(cid:85)(cid:86)(cid:86)(cid:17)(cid:76)(cid:86)(cid:68)(cid:17)(cid:68)(cid:70)(cid:17)(cid:85)(cid:88) © Editorial URSS, 1999
Capítulo 1
Integrales dependientes del parámetro
§1. Integrales propias dependientes del parámetro
1.1. Continuidad de la función
F:y>-> I f(x, y)dx. (1)
a
Teorema 1. Si la función /: IT K, donde II = {(as, y)\a ^x < A b ^y < , es
y
continua, la función F es continua en el segmento [ft, 13).
Teorema 2. Si la función f es continua en II y las curvas x — <p(y) y x = ip(y),
y E [£>, B], son continuas y no salen fuera de los límites de II, la función
I'.y*-* j f(x,y)dx (cid:2)(cid:3)(cid:4)
pKsr)
es continua en el segmento [b, B\.
1.2. Paso al límite bajo el signo integral
Teorema 1. En las condiciones del teorema del p> son válidas las fórmulas
A A
i™ / f(x¡y)dx= i lim f(x y)dx,
1
y^yoj J y^yo
(cid:68)(cid:3) (cid:68)(cid:3)
i>(v) $(yo)
/ f(x>y)dx= / f{xy )dx.
) Q
y^vo J J
PÍP) P(ífo)
funciones
parámetro de la familia, y £ Y, tiende uniformemente a la función límite g para y ^ yo,
y £R siV£>03¿>0tal que para 0 < \y — jfo| < 5 se tiene \f(x>y) - < £ para
0 t
todo x del dominio de definición de las funciones / y g.
Si yo — oo, entonces las desigualdades O < \y - y \ < 8 se deben sustituir por la
Q
HpfiitmalHaH \ll\ A* ei tin. = —cV^ nnr Ta Hocín-n-ali-J^j-l nt X/fli ^ ... J»"\
'I ('.i|>l1tilti I. Integrales dependientes del |itiránu-tn>
Ic-oreniii 2. Si puní un y C Y Jijo la función f es coniinuu respecto n x C [a, A] y
l'iirn y > yo Hendí(cid:129) n tu función limite g uniformemente respecto a x, entonces
11 Ji
lim I f(x,y)dx— I g{x)dx.
W—'l/o J J
1.3. Derivación bajo el signo integra!
Teorema 1. Si ¡as funciones / y f¡¡ son continuas en II, entonces la junción F es
derivable en el segmento (cid:5)(cid:6)(cid:7) B] y su derivada se determina a partir de la fórmula de Leibniz
A A
Jy J f(x,y)dx = j f'{x,y)dx.
y
Teorema 2. Si se verifican las condiciones del teorema 2 del y. 1.1 y las funciones <p
y (cid:129)ip son derívables para b < y < B, entonces
V'(sí) i>(y)
j- J }(x,y)dx = f(m,y) i>'(v) - f(m,y) <p'(y) + J f'ix,y)dx, e y>,B\.
v y
<f(y) - <p(y)
1.4. Integración bajo el signo integral
Teorema. Si la función f es continua en II, entonces
(cid:883)(cid:849) (cid:882)(cid:849) (cid:882)(cid:849) (cid:883)(cid:849)
J dy J f(x,y)dx = jdx J f(x,y)dy.
1» Investigar la continuidad de la función
i
y f(x)
F: y / V dx,
J x2+y- '
o
donde f 6 C[0,1] y f(x) > 0.
Solución. Las funciones y : x i-> y f son integrables respecto a x en [0,1] y son de
signo constante para 0 < x < 1. Además, la función / es continua; por consiguiente, se
cumplen todas las condiciones del primer teorema del valor medio en el cálculo integral
(Ver T. 2, cap. 2, sec. 2), luego
F(y) = f(c{y)) arctg I 0 < c(y) < 1.
Sea f. > 0. Kntonces,
|/''(<-") -= | (/('#)) I' 1 (<(cid:129)(-£))) arctg ~ |
1
2 mín f(x) arctg 7r mín f(x) >0, £ -* 0.
£
xe[o,u
§ 1. Intégralo* |>ni|tltm <lit|temlli*iilrN «leí |Mi\iuietro 5
Debido a que la función ifr: Oír, y) \ * JJ/^j e:i mtitiiuja en cada uno de Jos rectángulos
< x ^ 1; # ^ < j4], [0 x : I; A ? - y 9 fidonde ¿i > 0, A > 0, entonces, según
el teorema 1 del p. 1.1, la función ¡** es continua en cada uno de los segmentos y
A, — ó\. Como 6 y A son arbitrarios, vemos que la función F es continua Vt/ ^ 0.
2.
Hallar:
i H-ar
f tía:
a) Iim b) Iiimm /
T
;—(cid:129)O J + 1a ;2 4- a2'
-i a
1
[ -
In(:c 4 |a|)
c) lim d) lim f da?.
n-+ oo J 1(cid:14) (cid:3)(cid:11)(cid:76)(cid:3)(cid:14)(cid:3)(cid:79)(cid:12) <*->ooJ¡n(ac2 4* a2)
0 i
I Solución* Dado que las funciones (x, á) i-* Vx2 4 ot2, a 1 4 ot (a?, a)
f üx^
S O n
continuas, entonces según el teorema 1 del p. 1.2 se puede efectuar el paso al límite respecto
a a en el integrando para a —» a siendo ct finito.
[)f 0
i i
a) lim / Vx2 4 a2dx — f \x dx — 1;
a
-i
1+a
¿x
/
b) » » / t r o , oto = 0.
o
i
Dado que para n ya fijos (n € N, |a| > 1) las funciones íc vr
i+(i+S)
y son continuas respecto a a ? ( 0 ^ a ? < l y l < ® ^ 2 , respectivamente)
y A W
TT^ Para /(*>a) = I Para a 00 (vor
i+(i+sr
a continuación), entonces, según el teorema 2 del p. 1.2 obtenemos:
i i i
tfo _ f i- dx _ p dx _ le
c ) i i m 4 i í é f =~ íi+o+f r ~ ¿ ^ ~ e+1'
d) / - / i™. «í» - i.
ir-+oo a (cid:129)(cid:129)(cid:129)> oo
La convergencia uniforme de la sucesión (/ (x)) y de la familia de las funciones
n
x f(x á) se deduce de las estimaciones siguientes:
7
1 1 X x
< e 14 <
1 4 ( 1 4 1 + e" (1 4 e*) (l 4 (l 4 f)") n
x
< sup 1 4 € K ) + 0
n —
0<xs£l
para n ooVx E [0,1], Sea e > 0, entonces
lx\a\)
ln(l4
1n(s + \a\) _ i x\a\
< <
!n(#2 4 a2) 2 2 ln(£2 4- a2) (x2 4 a2) ln(x2 4 a2)
Z\a 1
< ot2) < e
(1 4 a2)ln(l 4 a2) ^ ln(l 4
1/2
Va? G [1,2] siempre que |a| > (e* - l) (cid:129)
O t'jiplldlo L 111 líbrale» dependiente» del |Mi<1incho
i
3. I lallnr A lim f « "Hm" dO.
ii >i
ti
(cid:129)4 Solución. Como sen t) > ~0 para 0 < 0 íC se tiene ~Rsen$ íj Por tanto,
e
ffl £
J2 de <2 j e-íRe dd =
e-'1™* ^ ( 1 - e~R)
» o
y 0 < A ^ lim ^(1 - e~R) = 0, es decir, A= 0. (cid:129)
Jl—+00 ¿"
4. Sea f una función continua en el segmento [A,D\. Demostrar que
X
lim ^ í (f(t + h) - f(t)) dt = f(x) - f(a), A < a < x < B.
(cid:75)(cid:252)>0 ti(cid:3)(cid:45)(cid:3)
a
4 Solución. Introduciendo la primitiva F de la función /, con la ayuda de la fórmula de
Newton—Leibniz obtenemos
I (F'(t + h)~ F'(t)) dt = (F(t + h)~ F(t)) \l = F(x + h) - F(x) - (F(a + h) - F(a)),
u
entonces
F(x-i-h) - F(x)
lim 7- [ (f(t + h) - f(t)) dt = lim :
h-»(l ti J ' h->0
_ F(a k)-F(a) ^ _ ^ _ ^
+ = = m
k—*o n>
5. Supongamos que: 1) f„(x) ^ 0, n € N, en el segmento [—1,1]; 2) <p„(x) 0 para
i
n oo si 0 < e < |ar| < 1; 3) j tpn{x)dx —(cid:129) 1 para n oo. Demostrar que para una
-i
función / € C[-l, 1] se verifica
ii
lim /'.nx)<p (x)dx = m
n
n—>cc J
i
< Solución. Sea ó > 0. Veamos la desigualdad
i
j f(x)<pn(x)dx - f{Q) <*
-L
í \j !(j)>P»(*)dx | | /(a!V„(a:)rf3! I / /(^«(a) dar - /(O) (cid:2)(cid:8)(cid:4)
§ I. [nle#ttilei4 ¡mtptag de fWftdlpuft'i1* <lrl |?«ií vlmetro 7
Para el primor sumando del Neptunio miembro de (I) Iruemos la estimación siguiente:
V
f{x)<p (x)dx 2M sup (cid:2)(cid:3)(cid:4)
n
-i
donde M = máx\f(x)\ ¿ 0 (observemos que si f(x) E 0 en [-1,1], la afirmación del
leo rema es trivial).
Empleando el primer teorema del valor medio, así como la desigualdad 1), estimemos
el segundo sumando del segundo miembro de (1)
t
j f(x)ipn(x)dz - /(O) <pn(x)dx ~ /(0)| <
(cid:129)
í; |/tf»)-/(0)[ J <Pnfr)dX + 1 1 ipn(íc) dx <
i —€
< [/(C") - /(0)| f <p (x) dx + M 1 - j <p„(x)dx\+2M sup ip (x), (3)
n n
J 1 j I 0<c<|Í|<1
-I
donde |£| < e.
n
En virtud de la continuidad de la función / siempre se puede elegir un e tal que
se cumpla la desigualdad
(4)
Después de fijar s, a partir de las condiciones 2) y 3) hallamos
1
6
0 < sup tp {x) < "I", tp (x) dx — 1 <
n n
4M'
i
(cid:129)
(5)
1
6
0 < / < 1 +
4 M'
si n es lo suficientemente grande.
Utilizando ahora las estimaciones (2)-(5), de (1) se obtiene
i
<6
para todo n lo suficientemente grande. (cid:129)
6. Comprobar la posibilidad de efectuar el paso al límite bajo el signo integral en la
expresión siguiente
lim / —re ? dx.
v^u j y
o
H l u|i(liilo I. Integrales dependientes del imi.uih'Iio
Solución, líl pusit ni límite no puede ser realizado. Efectivamente, pasando al límite bajo el
signo integral obtenemos cero. No obstante, si calcularemos la integral y después pasaremos
al límite obtendremos
i i
lim / dx — ^lim / d ( ™ ] = ilimfl — e-?) — i.
r-o./ y2 2 y—a J \ y2 J 2V 1 2
y
I) o
Nótese que en el punto (0,0) la función /: {x,y) i-» ^¡e «* experimenta una
discontinuidad. (cid:129)
a a~ x+a
7. Sean a) F(a) = J f(x + a, x - a)dx; b) F(a) = J dx J sen(:rz+ y2 - a2)dy.
0 0 x—a
Hallar F'(a).
Solución, a) Asumiendo la existencia de las derivadas parciales continuas de las funciones
(u, v) i ^ f(u, v), donde u= x + a, v — x— a, conforme a la fórmula de Leibniz tenemos
o
F\a) = /(2a, 0) + J (fUu,v) - f'(u, v)) dx.
v
o
Observando que = f + f escribimos
u v
a a
J (ti - ti) dx =2 J ti dx - /(2a, 0) + f(a,-a).
o o
a
Por consiguiente, F'(a) = f(a, -a) + 2 f f'¡ dx.
o
x+a
b) Denotemos f(x, a) = / sen (x2 + y2 - a2) dy, entonces
x—a
a2
F'(a) = 2/(a2, a)a + J f'a{ x, a) dx,
o x+a
/¿(x, a) — sen(&2 + {x + a)2 - a2) 4 sen(z2 + {x - a}2 - a2) -- 2a J cos(.x2 4 y2 - a2 )dy.
x—a
De este modo, obtenemos
a2+a a2
F' (a) = 2a j sen (y2 + a4 - a2) dy + 2 J sen 2x2 eos 2aar dx -
cr 2+íi
-2a j dx J cos(x2 + y2 - a2) dy. (cid:129)
$ I. Intégralo* projild* dp|wiHlitMitt<N ilrl ¡Mijnu'ho 9
H h
j j f
8. Hallar F"(x) si F(x) y d( (x | ( | (cid:129)//) dy, h > 0, donde / es una función
continua. n 0
Solución. Evidentemente, para una función / continua es válida la igualdad
0
f(t + ta) dt f(t)dt.
a
Utilizando esta igualdad y la posibilidad de derivar respecto al parámetro obtenemos
d_f±
J mdrjJ
dx\h2
o *H
h x+h
¿ f ( f ( h + X + O f ( x + í ) ) 1
(cid:849) (cid:862) /(í) dí ,
ft2
0
X
F V ) - ¿ (/(2ft H-ar) — 2/(ft + x) + f(x)). (cid:129)
9.
Demostrar la fórmula
o)
í. = = *»<*), nGN,
donde
sen ir si a? ^ 0, hfyncos(y+f)dy x¿0,
x t
o
si x - 0,
eos TÍTT
x = o, w e n.
12+1 »
dnf(x)
A partir de la fórmula (1) obtener la estimación
dx ^ ñ+1 Para 35 ^ ]~00.+00[.
Solución. La demostración de la fórmula (1) para x ^ 0 se lleva a cabo mediante el método
de inducción matemática. En efecto, para ti = 1 la igualdad (1) es lícita. Suponiendo que
la fórmula (1) es válida para un cierto n = k derivemos los dos miembros respecto a x e
f
integrémoslos después por partes. Entonces resulta
X
k+1
d /sena; 1 / fCTT k±l f k hir
hfc+1 — cosíX -f k+i f -y c-o"sviíj-r +1 2
dXM V x X \ 2 xxk+2 J
o
X
X
—1 cosíí i k J+fc+ 21 ( f r i c o s ( y + kir + 1 y Jfe+sl enf{ y+. —k- K
X \ X ~2 h +
o
0
X X
jfc+i ( . for (fe + 1)7T
W 2 X^í).
¿ 2 / C0S +
X
o
rt
10 ('i!|)Uuli> I. lnIcgr.ilcN dfpcndii'iiti'H del |mi.íiih-Iio
Aliora demostremos Ki validez do la fórmula (I) para x 0. IJ lili/,indo el desarrollo
do sena: en serie de Maclnurin obtenemos
£ rctCiC Para x ^ G- Obviamente,
* ^ / ÍI^ÍF^
para x = 0 la suma de esta serie es igual a la unidad. Por lo tanto f(x) = ¿J rat+i)! Para
0
todo x, de donde hallamos /'"'(O) n+1 *
Como para x 0 se tiene
I
n+r
IcDS — f
y para x — 0 |/(n'(0)| — entonces \fx € ]—oo, +oo[ se tiene
dnm
dxn n +1
10. Aproximar la función f:x>> x2 en el segmento [1,3] por una función lineal
i h» b x tal que sea mínima la función
3
I(a,b) = J (a + bx — x2ydx.
i
< Solución. Debido a que el integrando tiene derivadas parciales continuas para cua-
lesquiera a y b, se puede aplicar la fórmula de Leibniz. Derivando bajo el signo integral
respecto a a y b y teniendo en cuenta las condiciones necesarias de extremo de la función I
obtenemos
3 3
j'(a, b)=2 J(a + bx- x2) dx = 0, l'(a, b) ~ 2 J(a + bx- x2)x dx = 0,
a b
i i
de donde resulta a = — y, b = 4. Es fácil ver que T"(a, 6) = 4. Así pues,
a
dzI(a, b) =4da2 + 16 dadb+~ db2 = 4(da + 2 dbf + ~db2 > 0,
3 3
o sea, para a — — y, 6 = 4 la función I alcanza su valor mínimo. Por consiguiente, la
función lineal y — 4x — y satisface el problema planteado. (cid:129)
11. Hallar las derivadas de las integrales elípticas completas
dtp
E(k) = f vT (cid:129) k2sen2ipd<p, F(k) = í d<P 0<k<l,
J J \/l —&2senfy
n rt y 4
y expresarlas mediante las funciones E y F.
Comprobar que E(k) satisface la ecuación diferencial