Table Of ContentInstructor’s Manual
to accompany
Fundamental Methods
of
Mathematical Economics
Fourth Edition
Alpha C. Chiang
University of Connecticut
Kevin Wainwright
British Columbia Institute of Technology
Title of Supplement to accompany
FUNDAMENTAL METHODS OF MATHEMATICAL ECONOMICS
Alpha C. Chiang, Kevin Wainwright
Published by McGraw-Hill, an imprint of The McGraw-Hill Companies, Inc., 1221 Avenue of the Americas,
New York, NY 10020. Copyright 2005, 1984, 1974, 1967 by The McGraw-Hill Companies, Inc.
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FUNDAMENTAL METHODS OF MATHEMATICAL ECONOMICS
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to, in any network or other electronic storage or transmission, or broadcast for distance learning.
ISBN 0-07-286591-1 (CD-ROM)
www.mhhe.com
Contents
CONTENTS 1
CHAPTER 2 6
Exercise 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Exercise 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Exercise 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
CHAPTER 3 9
Exercise 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Exercise 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Exercise 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Exercise 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
CHAPTER 4 13
Exercise 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Exercise 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Exercise 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Exercise 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Exercise 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Exercise 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Exercise 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
CHAPTER 5 22
Exercise 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Exercise 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Exercise 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Exercise 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Exercise 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Exercise 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Exercise 5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
CHAPTER 6 32
1
Exercise 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Exercise 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Exercise 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Exercise 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Exercise 6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
CHAPTER 7 35
Exercise 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Exercise 7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Exercise 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Exercise 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Exercise 7.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Exercise 7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
CHAPTER 8 40
Exercise 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Exercise 8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Exercise 8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Exercise 8.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Exercise 8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Exercise 8.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
CHAPTER 9 51
Exercise 9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Exercise 9.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Exercise 9.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Exercise 9.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Exercise 9.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
CHAPTER 10 56
Exercise 10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Exercise 10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Exercise 10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Exercise 10.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2
Exercise 10.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exercise 10.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Exercise 10.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
CHAPTER 11 63
Exercise 11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Exercise 11.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Exercise 11.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Exercise 11.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Exercise 11.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Exercise 11.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
CHAPTER 12 76
Exercise 12.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Exercise 12.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Exercise 12.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Exercise 12.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Exercise 12.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Exercise 12.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
CHAPTER 13 87
Exercise 13.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Exercise 13.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Exercise 13.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
CHAPTER 14 92
Exercise 14.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Exercise 14.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Exercise 14.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Exercise 14.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Exercise 14.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
CHAPTER 15 98
Exercise 15.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3
Exercise 15.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Exercise 15.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Exercise 15.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Exercise 15.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Exercise 15.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Exercise 15.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
CHAPTER 16 106
Exercise 16.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Exercise 16.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Exercise 16.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Exercise 16.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Exercise 16.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Exercise 16.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Exercise 16.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
CHAPTER 17 117
Exercise 17.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Exercise 17.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Exercise 17.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Exercise 17.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Exercise 17.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
CHAPTER 18 123
Exercise 18.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Exercise 18.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Exercise 18.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Exercise 18.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
CHAPTER 19 129
Exercise 19.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Exercise 19.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Exercise 19.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Exercise 19.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4
Exercise 19.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
CHAPTER 20 141
Exercise 20.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5
Chiang/Wainwright: Fundamental Methods of Mathematical Economics Instructor’s Manual
CHAPTER 2
Exercise 2.3
1. (a) x x>34 (b) x 8<x<65
{ | } { | }
2. True statements: (a), (d), (f), (g), and (h)
3. (a) {2,4,6,7} (b) {2,4,6} (c) {2,6}
(d) {2} (e) {2} (f) {2,4,6}
4. All are valid.
5. Firstpart: A (B C)= 4,5,6 3,6 = 3,4,5,6 ;and(A B) (A C)= 3,4,5,6,7
∪ ∩ { }∪{ } { } ∪ ∩ ∪ { }∩
2,3,4,5,6 = 3,4,5,6 too.
{ } { }
Second part: A (B C) = 4,5,6 2,3,4,6,7 = 4,6 ; and (A B) (A C) =
∩ ∪ { } ∩{ } { } ∩ ∪ ∩
4,6 6 = 4,6 too.
{ }∪{ } { }
6. N/A
7. , 5 , 6 , 7 , 5,6 , 5,7 , 6,7 , 5,6,7
∅ { } { } { } { } { } { } { }
8. There are 24 = 16 subsets: , {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d},
∅
{a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, and {a,b,c,d}.
9. ThecomplementofU isU˜ = x x / U . Herethenotationof”notinU”isexpressedviathe
{ | ∈ }
/ symbol which relates an element (x) to a set (U). In contrast, when we say ” is a subset
∈ ∅
of U,” the notion of ”in U” is expressed via the symbol which relates a subset( ) to a set
⊂ ∅
(U). Hence, we have two different contexts, and there exists no paradox at all.
Exercise 2.4
1. (a) {(3,a), (3,b), (6,a), (6,b) (9,a), (9,b)}
(b) {(a,m), (a,n), (b,m), (b,n)}
(c) { (m,3), (m,6), (m,9), (n,3), (n,6), (n,9)}
2. {(3,a,m), (3,a,n), (3,b,m), (3,b,n), (6,a,m), (6,a,n), (6,b,m), (6,b,n), (9,a,m), (9,a,n), (9,b,m),
(9,b,n),}
6
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3. No. When S =S .
1 2
4. Only (d) represents a function.
5. Range = y 8 y 32
{ | ≤ ≤ }
6. The range is the set of all nonpositive numbers.
7. (a) No. (b) Yes.
8. For each level of output, we should discard all the inefficient cost figures, and take the lowest
cost figure as the total cost for that output level. This would establish the uniqueness as
required by the definition of a function.
Exercise 2.5
1. N/a
2. Eqs. (a) and (b) differ in the sign of the coefficient of x; a positive (negative) sign means an
upward (downward) slope.
Eqs. (a)and(c)differintheconstantterms;alargerconstantmeansahigherverticalintercept.
3. A negative coefficient (say, -1) for the x2 term is associated with a hill. as the value of x is
steadilyincreasedorreduced,the x2termwillexertamoredominantinfluenceindetermining
−
the value of y. Being negative, this term serves to pull down the y values at the two extreme
ends of the curve.
4. IfnegativevaluescanoccurtherewillappearinquadrantIIIacurvewhichisthemirrorimage
of the one in quadrant I.
5. (a) x19 (b) xa+b+c (c) (xyz)3
6. (a) x6 (b) x1/6
7. ByRulesVIandV,wecansuccessivelywritexm/n =(xm)1/n = √nxm;bythesametworules,
we also have xm/n =(x1/n)m =(√nx)m
8. Rule VI:
(xm)n = xm xm ... xm =x x ... x=xmn
× × × × × ×
n terms mnterms
| {z } | {z }
7
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Rule VII:
xm ym = x x ... x y y... y
× × × × × × ×
mterms mterms
= (xy) (xy) ... (xy)=(xy)m
| ×{z ×} ×| {z }
mterms
| {z }
8
