Instability of small-amplitude convective flows in a rotating layer with stress-free boundaries

0.2 MB·English

by  O. M. Podvigina

Î.Ì.Ïîäâèãèíà
ÍÅÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÊÎÍÂÅÊÒÈÂÍÛÕ ÒÅ×ÅÍÈÉ
ÌÀËÎÉ ÀÌÏËÈÒÓÄÛ ÂÎ ÂÀÙÀÞÙÅÌÑß ÑËÎÅ
ÑÎ ÑÂÎÁÎÄÍÛÌÈ ÀÍÈÖÀÌÈ
6
0
0
Ìåæäóíàðîäíûé èíñòèòóò òåîðèè ïðîãíîçà çåìëåòðÿñåíèé
2
è ìàòåìàòè÷åñêîé ãåîèçèêè ÀÍ, Ìîñêâà
n
a
J
Ëàáîðàòîðèÿ îáùåé àýðîäèíàìèêè, Èíñòèòóò Ìåõàíèêè ÌÓ, Ìîñêâà

1
1 Ìû èçó÷àåì óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ êîíâåêòèâíûõ òå÷åíèé â ãîðèçîí-

òàëüíîì ñëîå ñî ñâîáîäíûìè ãðàíèöàìè, ïîäîãðåâàåìîì ñíèçó è âðàùàþùåìñÿ
]
n
îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè, ïðåäïîëàãàÿ ïðèáëèæåíèå Áóññèíåñêà (êîíâåê-
y
d öèÿýëåÿ-Áåíàðà).àññìàòðèâàåìûå òå÷åíèÿ(cid:21)êîíâåêòèâíûåâàëûèëèêâàäðàò-
-
íûå ÿ÷åéêè, ÿâëÿþùèåñÿ ñóììîé äâóõ ïåðïåíäèêóëÿðíûõ âàëîâ ñ îäèíàêîâûìè
u k
l âîëíîâûìè ÷èñëàìè, . Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ÷èñëî ýëåÿ áëèçêî ê êðèòè÷åñêîìó
f k R = R (k) +
. c
s äε2ëÿ âîçíèêíîâåíèÿ êîíâåêòèâíûõ òå÷åíèé ñ âîëíîâûì ÷èñëîì : ε
c
; àìïëèòóäà íàäêðèòè÷åñêèõ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ïîðÿäêà . Ïîêàçàíî,
i
s
y ÷òî òå÷åíèÿ âñåãäà íåóñòîé÷èâû îòíîñèòåëüíî âîçìóùåíèé, ÿâëÿþùèõñÿ ñóììîé
h äëèííîâîëíîâîé ìîäû è äâóõ êîðîòêîâîëíîâûõ ìîä,ñîîòâåòñòâóþùèõ ëèíåéíûì
p
âàëàì, ïîâåðíóòûì íà ìàëûå óãëû â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ. Ìàêñè-
[ O(max(ε8/5,(k k )2)) k
c c
ìàëüíûé èíêðåìåíò ðîñòà èìååò ïîðÿäîê − , ãäå (cid:21) êðèòè-
1
v ÷åñêîå âîëíîâîå ÷èñëî äëÿ óñòàíîâëåíèÿ êîíâåêöèè.
5
7
0
1 1 Ââåäåíèå
0
6
àññìàòðèâàåòñÿ êîíâåêöèÿýëåÿ-Áåíàðàâãîðèçîíòàëüíîìñëîå,ïîäîãðåâàåìîì
0
/ ñíèçó è âðàùàþùåìñÿ îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè. îðèçîíòàëüíûå ãðàíèöû
s
c ñâîáîäíû è ïîääåðæèâàþòñÿ ïðè èêñèðîâàííîé òåìïåðàòóðå. Â áåçðàçìåðíîé
R
i
s îðìå ñèñòåìà õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèìè ïàðàìåòðàìè: ÷èñëàìè ýëåÿ
y P
(õàðàêòåðèçóþùèì àìïëèòóäóñèëïëàâó÷åñòè), Ïðàíäòëÿ (îòíîøåíèåêèíåìà-
h T
p òè÷åñêîé âÿçêîñòèêêîýèöèåíòóòåïëîâîéäèóçèè)èÒåéëîðà (ïðîïîðöè-
:
v îíàëüíîì ñêîðîñòè âðàùåíèÿ).
i
X Ïðè ìàëûõ ÷èñëàõ ýëåÿ æèäêîñòü íåïîäâèæíà. Ñ óâåëè÷åíèåì ÷èñëà ýëåÿ
r â ñèñòåìå, â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ÷èñåë Òåéëîðà è Ïðàíäòëÿ, âîçíèêàåò
a
ìîíîòîííàÿèëèêîëåáàòåëüíàÿíåóñòîé÷èâîñòü[1℄.Âîçíèêàþùèåïðèìîíîòîííîé
íåóñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ òèïà âàëîâ, êâàäðàòíûõ è øåñòèóãîëü-
íûõ ÿ÷ååê áûëè ðàññìîòðåíû, íàïðèìåð, â [2℄-[4℄ (ñì. òàêæå ìîíîãðàèþ [5℄
è îáçîð [6℄) äëÿ êîíâåêöèè áåç âðàùåíèÿ, è â [7℄-[11℄ (cid:21) äëÿ âðàùàþùåãîñÿ ñëîÿ.
Ïðèîòñóòñòâèè âðàùåíèÿâñåòå÷åíèÿ îòâåòâëÿþòñÿ âîáëàñòüâîçðàñòàíèÿ÷èñåë
ýëåÿè,çàèñêëþ÷åíèåìâàëîâ,íåóñòîé÷èâû. Ïðèâðàùåíèèâîçìîæíîâåòâëåíèå
R P T
òàêæåâñòîðîíóóáûâàíèÿ ,èâíåêîòîðîéîáëàñòèçíà÷åíèé è âîçíèêàþùèå
òå÷åíèÿ ñ êâàäðàòíîé ÿ÷åéêîé ïåðèîäè÷íîñòè óñòîé÷èâû ïî îòíîøåíèé ê âîçìó-
ùåíèÿì òîãî æå ïåðèîäà, ÷òî è ó îñíîâíîãî òå÷åíèÿ.
1
ÂðàáîòåÊþïïåðñàèËîðòöà[8℄áûëîïîêàçàíî,÷òîêîíâåêòèâíûåâàëûìîãóò
áûòü íåóñòîé÷èâû îòíîñèòåëüíî òàêèõ æå âàëîâ, ïîâåðíóòûõ íà êîíå÷íûé óãîë.
T > 2285
 ïðåäåëå áîëüøèõ ÷èñåë Ïðàíäòëÿ ïðè ýòà íåóñòîé÷èâîñòü èìååò
ìåñòî ïðè óñòàíîâëåíèè êîíâåêöèè. Äðóãîé òèï íåóñòîé÷èâîñòè êîíâåêòèâíûõ
âàëîâ âî âðàùàþùåìñÿ ñëîå (òàê íàçûâàåìàÿ íåóñòîé÷èâîñòü ìàëîãî óãëà) ðàñ-
ñìîòðåëè Êîêñ è Ìýòüþñ [12℄. Èñïîëüçóÿ àìïëèòóäíûå óðàâíåíèÿ, îíè ïîêàçàëè,
k
c
÷òî âàëû ñ êðèòè÷åñêèì âîëíîâûì ÷èñëîì âñåãäà íåóñòîé÷èâû îòíîñèòåëüíî
âîçìóùåíèé, ÿâëÿþùèõñÿ ñóììîé äëèííîâîëíîâîé ìîäû è äâóõ ýêçåìïëÿðîâ
ε2/5 ε2
âîçìóùàåìîãî òå÷åíèÿ, ïîâåðíóòûõ íà ìàëûå óãëû ïîðÿäêà , ãäå (cid:21) íàäêðè-
òè÷íîñòü. Ýòîò òèï íåóñòîé÷èâîñòè èññëåäîâàí àñèìïòîòè÷åñêèìè ìåòîäàìè äëÿ
k = k
c
âàëîâ,áåãóùèõ è ñòîÿùèõ âîëí äëÿ â [13℄. Áûëîïîêàçàíî,÷òî ñóùåñòâóþò
ðàñòóùèå ìîäû ïðè ðàçëè÷íûõ óãëàõ ïîâîðîòà êîðîòêîâîëíîâûõ ñëàãàåìûõ.
 äàííîé ñòàòüå ìåòîäû [13℄ ïðèìåíåíû äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ñòà-
öèîíàðíûõ òå÷åíèé áîëåå ñëîæíîé îðìû ñ âîëíîâûìè ÷èñëàìè, íå îáÿçàòåëüíî
ðàâíûìè êðèòè÷åñêîìó. Ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ìàëîé íàäêðèòè÷íîñòè âàëû è êâàä-
ðàòíûå ÿ÷åéêè, â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè ÿâëÿþùèåñÿ ñóììîé äâóõ ïåðïåíäèêó-
k
ëÿðíûõâàëîâñîäèíàêîâûìèâîëíîâûìè÷èñëàìè ,íåóñòîé÷èâû. Ìàêñèìàëüíûé
max(ε8/5,(k k )2)
c
èíêðåìåíò ðîñòà èìååò ïîðÿäîê − .
2 Óñòàíîâëåíèå êîíâåêöèè âî âðàùàþùåìñÿ ñëîå
ïðè ìîíîòîííîé íåóñòîé÷èâîñòè
Êîíâåêòèâíûå òå÷åíèÿ ïîä÷èíÿþòñÿ óðàâíåíèþ Íàâüå-Ñòîêñà
∂v
= v ( v)+P∆v+PRθe p+PTv e
z z
∂t × ∇× −∇ × (1)
ñ óñëîâèåì íåñæèìàåìîñòè v = 0,
∇· (2)
è óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè
∂θ
= (v )θ +v +∆θ,
z
∂t − ·∇ (3)
v θ
ãäå (cid:21) ñêîðîñòü ïîòîêà, (cid:21) ðàçíîñòü ìåæäóòåìïåðàòóðîé è ååëèíåéíûì ïðîè-
ëåì. Íà ãîðèçîíòàëüíûõ ãðàíèöàõ ïðåäïîëàãàåòñÿ èêñèðîâàííàÿ òåìïåðàòóðà
è îòñóòñòâèå íàïðÿæåíèé:
∂v ∂v
x y
= = v = 0, θ = 0 z = 0,1.
z
∂z ∂z at (4)
v = 0, θ = 0
Ñèñòåìà (1)-(4) äîïóñêàåò ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå . Åãî óñòîé÷è-
âîñòüîïðåäåëÿåòñÿñîáñòâåííûìèçíà÷åíèÿìèîïåðàòîðàëèíåéíîé÷àñòèñèñòåìû
(1)-(4).ÅãîñîáñòâåííûåóíêöèèèìåþòâèäãàðìîíèêÔóðüå[6℄.Ïðèìîíîòîííîé
k R > R
c
íåóñòîé÷èâîñòè ðàñòóùèå ìîäû ñ âîëíîâûì ÷èñëîì ñóùåñòâóþò ïðè ,
R (k) = (a3 +T2π2)k−2, a = k2 +π2,
c
(5)
2
R > Rh
c
ïðè êîëåáàòåëüíîé (cid:21) ïðè
Rh(k) = 2((1+P)a3 +(PTπ)2(1+P)−1)k−2.
c (6)
×àñòîòà êîëåáàíèé óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
ω2 = T2π2a−1(1 P)(1+P)−1 a2,
c − − (7)
P < 1
ïîýòîìó êîëåáàòåëüíàÿ íåóñòîé÷èâîñòü âîçìîæíà òîëüêî ïðè .
Ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî ñëó÷àé ìîíîòîííîé íåóñòîé÷èâîñòè. Êðèòè÷åñêîå
k R (k)
c c
âîëíîâîå ÷èñëî , äëÿ êîòîðîãî äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì , ÿâëÿåòñÿ êîðíåì
óðàâíåíèÿ
a2(2k2 π2) T2π2 = 0.
− − (8)
Ïðè íåáîëüøîé íàäêðèòè÷íîñòè
R = R (k)+ε2,
c
(9)
íåëèíåéíîå ðåøåíèå (1)-(4) ìîæíî íàéòè, ðàçëàãàÿ åãî â ðÿä [5℄
∞
U = εjU .
j
(10)
j=1
X
Çäåñü è íèæå èñïîëüçîâàíî ïðåäñòàâëåíèå ïîëåé êîíâåêòèâíîãî òå÷åíèÿ â âèäå
4-êîìïîíåíòíûõâåêòîðîâ,ãäåïåðâûå3êîìïîíåíòû(cid:21)ñêîðîñòüïîòîêà,àïîñëåäíÿÿ
(cid:21) òåìïåðàòóðà: U = (Uflow,Utemp).
j j j (11)
Ïåðâûé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ëèíåàðèçîâàííîé ñèñ-
R = R (k)
c
òåìû (1)-(4) ñ , åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû
n
U = F ,
1 l
(12)
l=1
X
F
l
ãäå äâóìåðíûå êîíâåêòèâíûå òå÷åíèÿ (cid:21) ëèíåéíûå âàëûðàçëè÷íîé îðèåíòàöèè
k
ñ îäèíàêîâûìè âîëíîâûìè ÷èñëàìè . Ñëåäóþùèå ÷ëåíû (10) îïðåäåëÿþòñÿ èç
óðàâíåíèé, ïîëó÷àþùèõñÿ ïîäñòàíîâêîé (10) è (12) â (1)-(4).
n = 1
Ïåðâûå ÷ëåíû ðÿäà 10 äëÿ (âàëû) ïðèâåäåíû â [11℄:
πk−1cosπzsinkx
−
Tπ(ak)−1cosπzsinkx
U = b ,
1 sinπzcoskx (13)
 
 a−1sinπzcoskx 
 
 
0
Tπ2(8Pk3a)−1sin2kx
U = b2 ,
2 0 (14)
 
 (8πa)−1sin2πz 
 − 
 
b
ãäå àìïëèòóäà îïðåäåëÿåòñÿ èç
8k4P2a = (P2k4R T2π4)b2.
c
− (15)
Ñëó÷àè êâàäðàòíûõ è øåñòèóãîëüíûõ ÿ÷ååê ðàññìîòðåíû â [7℄, [9℄ è [10℄.
3
=
k k
c
3 Óñòîé÷èâîñòü âàëîâ ñ
 ýòîé ÷àñòè ìû èçëàãàåì ðåçóëüòàòû ðàáîòû [13℄, ãäå èññëåäîâàíà óñòîé÷èâîñòü
âàëîâ ñ âîëíîâûì ÷èñëîì, ðàâíûì êðèòè÷åñêîìó.
L
Óñòîé÷èâîñòü(10)îïðåäåëÿåòñÿñîáñòâåííûìèçíà÷åíèÿìèîïåðàòîðà ,ÿâëÿ-
þùåãîñÿ ëèíåàðèçàöèåé (1)-(3) âáëèçè ýòîãî ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ. Ýòîò îïå-
ðàòîð ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä
∞
L = εjL .
j
(16)
j=0
X
Ïåðâûå äâà ÷ëåíà èìåþò âèä
L (v,θ) = (P∆v+PR θe p+PTv e ,v +∆θ)
0 c z z z
−∇ × (17)
è
L (v,θ) = (Uflow ( v)+v ( Uflow), (Uflow )θ (v )Utemp).
1 1 1 1 1
× ∇× × ∇× − ·∇ − ·∇ (18)
L (R) L R = R M
0 0 c
Íèæå îáîçíà÷àåò îïåðàòîð ïðè 6 . Îïåðàòîð îïðåäåëÿåòñÿ
îðìóëîé M(v,θ) = (Pθe ,0).
z
(19)
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
LW = λW
(20)
L
âû÷èñëåíîèíâàðèàíòíîåïîäïðîñòðàíñòâî ;äëÿäîêàçàòåëüñòâàíåóñòîé÷èâîñòè
âòîðè÷íîãî òå÷åíèÿ äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè àíàëèç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îãðàíè-
L
÷åíèÿ íàWýòî ïjîä=ïð1î,ñ.ò.ð.,àJíñòâî.
j
Ïóñòü ( ) áàçèñ â ýòîì ïîäïðîñòðàíñòâå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
= (A ) L
mn
A ìàòðèöó îãðàíè÷åíèÿ íà ýòî ïîäïðîñòðàíñòâî:
J
LW = A W j.
j ij i
∀ (21)
i=1
X
Ïðåäñòàâèì áàçèñíûå âåêòîðû è ýëåìåíòû ìàòðèöû â âèäå ðÿäîâ
∞
W = εlW ,
j j,l
(22)
l=0
X
∞
A = εlA .
mn mn,l
(23)
l=0
X
Ïε îäñòàâëÿÿ (22) è (23) â (21) è ïðèWðàâíèâàÿ âûðàæWåíèÿ ïðè ðàâíûõ ñòåïåíÿõ
j,l j,0
, ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ .  êà÷åñòâå âûáðàíû ñîáñòâåííûå
L
0
âåêòîðû : L W = λ W .
0 j,0 j,0 j,0
(24)
4
(δ ,δ ,0) (k,0,π) δ k
x y x
δ Ïókñòü (cid:21) ìàWëîå âîAçìóùåíèå âîëíîâîãî âåêòîðà : ≪ è
y j,l mn,l
≪ .Êîýèöèåíòû è ðÿäîâ(22)è(23)çàâèñÿòîòýòèõïàðàìåòðîâ.
Îáîçíà÷èì çà F ïðîñòðàíñòâî ñèììåòðè÷íûõUîflòowíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè
4-êîìïîíåíòíûõâåêòîðíûõïîëåéâèäà(11),ãäå áåçäèâåðãåíòíî,ÿâëÿþùèõ-
(mk δ , δ ,lπ) l m
x y
ñÿ ñóììàìè ãàðìîíèê Ôóðüå ñ âîëíîâûìè âåêòîðàìè ± ± , ãäå è
L n
n
(cid:21)Wöåëûå. Ýòî ïðîñòðàíñòâî -èíâàðèàíòíî äëÿ âñåõ . Ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ
j,l
èìååò âèä
J
L W λ W A W =
0 j,n j,0 j,n ij,n i,0
− −
i=1
X
J
L W + A W j,
m j,l ij,m i,l
− ∀ (25)
m>0,l≥0,m+l=n i=1m>0,l≥0,m+l=n
X X X
n = 0
ãäå ïðàâàÿ ÷àñòü èçâåñòíà. Äëÿ ðåøåíèå äàåòñÿ (24). Óðàâíåíèÿ ðåøàåì
n 1
ïîñëåäîâàòåëüíî äëÿ âîçðàñòWàþùèõ ≥ . Äëÿ äàëüíåéøèõ ïîñòδðîåíδèé íàì
j,n x y
íåîáõîäèìî, ÷òîáû ðåøåíèÿ áûëè ðàâíLîì−1åðíî îãðàíè÷åíû ïî è . Äëÿ
0
ýòîãî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íîðìà îãðàíè÷åíèWÿ íà èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñ-
j,0
òâî, äîïîëíèòåëüíîå â F ê íàòÿíóòîìó íà , áûëà áû îãðàíè÷åíà ðàâíîìåðíî
δ δ L
x y 0
ïî è . Ïîñêîëüêó ó îãðàíè÷åíèÿ íà F ñóùåñòâóåò ðîâíî òðè ìàëûõ
ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ, à îñòàëüíûå èìåþò ïîðÿäîê åäèíèöû, åñòåñòâåííî, ÷òîáû
J = 3
ïîñWòðîåííîå èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî èìåëî ðàçìåðíîñòü .
j,0
èìåþò âèä:
δ sin(δ x+δ y)
y x y
−
δ sin(δ x+δ y)
W =  x x y ,
1,0 0 (26)
 
 0 
 
 
(πs +q δ )k−1cosπzsin((k +δ )x+δ y)
− + + y + x y
(q s πδ k−2)cosπzsin((k +δ )x+δ y)
W =  + + − y + x y +O((k2 k2)2),
2,0 sinπzcos((k +δx)x+δyy) + − (27)
 
 a−1sinπzcos((k +δ )x+δ y) 
 + x y 
 
(πs q δ )k−1cosπzsin((k δ )x δ y)
− − y − x y
− − − −
(q s +πδ k−2)cosπzsin((k δ )x δ y)
W =  − − y − − x − y +O((k2 k2)2).
3,0 sinπzcos((k δ )x δ y) − − (28)
x y
 − − 
 a−1sinπzcos((k δ )x δ y) 
 − − x − y 
 
k = ((k δ )2+δ2)1/2 s = (k δ )k−1 a = k2 +π2 q = Tπ(k a )−1
Çäåñü ± ± x y , ± ± x ± , ± ± è ± ± ± .
Ñîáñòâåííûå âåêòîðû (26)-(28) èìåþò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
λ = P(δ2 +δ2),
1,0 − x y (29)
λ = C Pg−1a−1(k2 k2)2 +O((k2 k2)3),
2,0 − 1 + − + −
λ = C Pg−1a−1(k2 k2)2 +O((k2 k2)3),
3,0 1 − −
− − −
C = 1∂2R /∂(k2)2 = 3(π2 +k2)/k2 g = 1((2π2 k2)k−2 +3P)
ãäå 1 2 c è 4 − .
5
Ýëåìåíòû ìàòðèöû A èìåþò âèä
A = P(δ2 +δ2)+O(ε2δ2),
11 − x y
A = 1kbεδ +εF (δ2)+O(εδ3,ε3),
21 2 y 1
A = 1kbεδ +εF (δ2)+O(εδ3,ε3),
A31 = −ε(δ22 +δy2)−1(C1 πb(δ2 δ2)+ bδ δ (C2 π2)+
12 x y 22k y − x 2 x y 2 − k2
F (δ3))+O(εδ2,ε3)),
2
A = ε2C C Pg−1a−1(k2 k2)2+
22 3 1 +
− − −
O((k2 k2)3,ε2δ,ε4),
+ − (30)
A = ε2C +O(ε2δ,ε4),
32 3
A = −ε(δ2 δ2)−1(C πb(δ2 δ2)+ bδ δ (C2 π2)
13 x − y 22k y − x 2 x y 2 − k2 −
F (δ3))+O(εδ2,ε3)),
2
−
A = ε2C +O(ε2δ,ε4),
23 3
−
A = ε2C C Pg−1a−1(k2 k2)2+
33 3 1 −
− − −
O((k2 k2)3,ε2δ,ε4),
−
−
C = Tπ(ka)−1 F = f δ2 +f δ δ +f δ2 F = f δ3 +f δ2δ +f δ δ2 +f δ3
ãäå 2 , 1 1 x 2 x y 3 y, 2 4 x 5 x y 6 x y 7 y, à
C f
3 i
âåëè÷èíû è íåñóùåñòâåííû.
àññìàòðèâàÿ ìàòðèöó A â íîâîì áàçèñå
W = W ,W = W +W ,W = W W
1 1 2 2 3 3 2 3
− (31)
f δ2+δ2f ε2 f
ïîëó÷àåì [13℄, ÷òî ïðè x y ≫ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû (30) àñèìïòî-
P(δ2 +δ2)
òè÷åñêè áëèçêè ê − x y è ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì ìàòðèöû
A ξ A A ξ A
22 − 2 12 23 − 2 13 ,
" A32 ξ3A12 A22 ξ3A13 # (32)
e − e e − e
e e e e
ξ = A /(A A ) ξ = A /(A A )
2 21 11 22 3 31 11 33
ãäå − è − (A (cid:21) ýòî ìàòðèöà A, çàïèñàííàÿ
â íîâîì áeàçèñåe(31) )e. e e e e
Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (32) àñèìïòîòè÷åñêè ðàâíû
λ = C (4k2δ2 +δ4) C ε2 [2C kδ δ2(8C kδ δ2 +b2ε2δ (δ2 +δ2)−1
(C π−(δ24 δ2)x+kδyδ −(C23 π±2))(P4(δ2x+yδ2)+4 Cxδy2)−1)+Cy εx2)]1/2y, × (33)
2 y − x x y 2 − k2 x y 4 x 3
C = C Pg−1a−1 δ δ
4 1 x y
ãäå . Ìàêñèìàëüíîå ïî è ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå
5
λ = Pg−1k−2δ4
max 4 y (34)
äîñòèãàåòñÿ ïðè
√3
3k2δ2 = δ4 δ5 = P−2Tπ2a−1gb2ε2k.
x y è y − 12 (35)
δ2 + δ2 = O(ε2)
x y
Ïðè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (30) ïî ïîðÿäêó íå ïðåâîñõîäÿò
O(ε2) λ ε8/5
max
, ÷òî ìåíüøå ∼ .
6
L
0
Îïåðàòîð, ñîïðÿæåííûé ê îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
(w ,w ) = wflow wflow +PR wtemp wtemp,
1 2 1 2 c 1 2
· · (36)
L
0
ñîâïàäàåò ñ , â êîòîðîì íàïðàâëåíèå âðàùåíèÿ èçìåíåíî íà ïðîòèâLîïîëîæíîå
2
(çäåñü · îáîçíà÷àWåò îáû÷íîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ïðîñòðàíñòâå ). Áàçèñ,
j,0
äâîéñòâåííûé ê , èìååò âèä
W∗ = (δ2 +δ2)−1W ,
1,0 x y 1,0
W∗ = g−1W ( T)+O((k2 k2)2)
W2∗,0 = g+−1W2,0(−T)+O((k+2 −k2)2),è (37)
3,0 − 3,0 − − −
ãäå g = (W ,W ( T)), g = (W ,W ( T)).
+ 2,0 2,0 − 3,0 3,0
− −
=
k k
c
4 Óñòîé÷èâîñòü âàëîâ ñ 6
k = k
c
Àíàëèç óñòîé÷èâîñòè âàëîâ ïðè 6 ïðîâîäèì àíàëîãè÷íî èññëåäîâàíèþ äëÿ
âàëîâ ñ âîëíîâûì ÷èñëîì, ðàâíûì êðèòè÷åñêîìó. àññìàòðèâàåì ñîáñòâåííûå
L
çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà ,ÿâëÿþùåãîñÿ ëèíåàðèçàöèåé (1)-(3)âáëèçèñòàöèîíàðíîãî
ñîñòîÿíèÿ(10),(13),(14).Îïåðàòîðçàïèñàíââèäå(16),ïåðâûå÷ëåíûðàçëîæåíèÿ
çàäàþòñÿ âûðàæåíèÿìè (17) è (18). L W j = 1,2,3
j
Òðåõìåðíîå èíâàðèàíòíîå ïðîñòðàíñòâî ñ áàçèñîì , , ñòðîèòñÿ
k = k L
c
òàêæå,êàêèäëÿ .ÝëåìåíòûìàòðèöûAîãðàíè÷åíèÿ íàýòîïîäïðWîñòðàí-
j,0
ñòâî è áàçèñíûå âåêòîðû ïðåäñòàâëåíû â âèäå ðÿäîâ (23) è (22), ãäå (cid:21)
L
0
ñîáñòâåííûå âåêòîðû .
λ k λ λ
1,0 2,0 3,0
Ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå (29) íå çàâèñèò îò ; è èìåþò âèä [13℄
λ = (R (k) R )(MW ,W∗ )+O((R (k) R )2),
2,0 c − + j,0 j,0 c − +
λ3,0 = (Rc(k)−R−)(MWj,0,Wj∗,0)+O((Rc(k)−R−)2), (38)
R = R (k ) k
± c ± ±
ãäå (cid:21) êðèòè÷åñêîå ÷èñëî ýëåÿ äëÿ (5). àçëîæèì åãî â ðÿä
k
Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè :
1
R = R (k)+∂R /∂(k2)(k2 k2)+ ∂2R /∂(k2)2(k2 k2)2+
± c c ± − 2 c ± −
O((k2 k2)3) = R +∂2R /∂2(k2)(k2 k2)(k2 k2)+
± − c c − c ± − (39)
1
∂2R /∂(k2)2(k2 k2)2 +O((k2 k2)(k2 k2)2,(k2 k2)3).
2 c ± − − c ± − ± −
k = k ∂R (k)/∂(k2) = 0
c c
Ïðè âûïîëíåíî .
k = k ε l = 1
c
Ïðè 6 ÷ëåí ïîðÿäêà ( ) ðÿäà (23) äëÿ ìàòðèöû (30) íå èçìåíÿåòñÿ,
k = k
c
ò.ê. ïðè åãî âû÷èñëåíèè â [13℄ óñëîâèå íå áûëî èñïîëüçîâàíî. Òàêèì
k = k
c
îáðàçîì,âñèëó(38),(39)è(30),äëÿ 6 ãëàâíûå÷ëåíûìàòðèöûAîãðàíè÷åíèÿ
L
îïåðàòîðà íà òðåõìåðíîå èíâàðèàíòíîå ïðîñòðàíñòâî òåïåðü èìåþò âèä:
7
A = P(δ2 +δ2)+O(ε2δ2),
11 − x y
A = 1kbεδ +εF (δ2)+O(εδ3,ε3),
21 2 y 1
A = 1kbεδ +εF (δ2)+O(εδ3,ε3),
A31 = ε−(δ22 +δy2)−1(C1 πb(δ2 δ2)+ bδ δ (C2 π2)+
12 x y 22k y − x 2 x y 2 − k2
F (δ3))+O(εδ2,ε3)),
2
A = ε2C C Pg−1a−1(k2 k2)2 4C Pg−1a−1αk(k2 k2)+
22 − 3 − 1 + − − 1 + −
O(α(k2 k2)2,(k2 k2)3,ε2δ,ε4),
+ − + − (40)
A = ε2C +O(ε2δ,ε4),
32 3
A = −ε(δ2 δ2)−1(C πb(δ2 δ2)+ bδ δ (C2 π2)
13 x − y 22k y − x 2 x y 2 − k2 −
F (δ3))+O(εδ2,ε3)),
2
A = ε2C +O(ε2δ,ε4),
23 3
−
A = ε2C C Pg−1a−1(k2 k2)2 4C Pg−1a−1αk(k2 k2)+
33 3 1 − 1 −
− − − − −
O(α(k2 k2)2,(k2 k2)3,ε2δ,ε4),
− −
− −
α = k k
c
ãäå − .
δ2 + δ2 ε2
Ïðè x y ≫ , ðàññìàòðèâàÿ ìàòðèöó A â íîâîì áàçèñå (31) êàê è ïðè
k = k
c
, ïîëó÷àåì, ÷òî íàèáîëüøåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå (40) àñèìïòîòè÷åñêè
ðàâíî
λ = C (4k2δ2 +δ4 +4αkδ2) C ε2+
− 4 x y y − 3
[(2C kδ δ2 +4αk2δ )8C kδ δ2 +16αk2δ +b2ε2δ (δ2 +δ2)−1
4 x y x 4 x y x y x y × (41)
π2
(C π(δ2 δ2)+kδ δ (C2 ))(P(δ2 +δ2)+C δ2)−1)+C ε2)]1/2.
2 y − x x y 2 − k2 x y 4 x 3
α ε
 çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ è , ìàêñèìóì (41) äîñòèãàåòñÿ ïðè ðàçëè÷íûõ
δ δ
x y
óñëîâèÿõ íà è .
α ε4/5.
Ñëó÷àé 1: ≪
Íàèáîëüøååñîáñòâåííîåçíà÷åíèåàñèìïòîòè÷åñêèçàäàåòñÿâûðàæåíèåì(34),
äîñòèãàåìîãî ïðè óñëîâèÿõ (35).  ýòîì ñëó÷àå äîïîëíèòåëüíûå ÷ëåíû ìàòðèöû
(k2 k2)(k2 k2)
(40) ïîðÿäêà ∼ − c ±− íåñóùåñòâåííû, è íåóñòîé÷èâîñòü òèïà ìàëîãî
óãëà ÿâëÿåòñÿ äîìèíèðóþùåé.
α ε4/5.
Ñëó÷àé 2: ≫
Ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå àñèìïòîòè÷åñêè ðàâíî
λ = 4C α2k2
4
(42)
è äîñòèãàåòñÿ ïðè
2kδ +δ2 = 2αk.
x y − (43)
1
Ýòî íåóñòîé÷èâîñòü òèïà Ýêõàóçà . Çàìåòèì, ÷òî (43) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü
òîëüêîâîëíîâîå÷èñëîíàèáîëååíåóñòîé÷èâîéìîäû,äëÿîïðåäåëåíèÿíàïðàâëåíèÿ
δ =0
1 y
Íåóñòîé÷èâîñòüÝêõàóçàñîîòâåòñòâóåòñëó÷àþ .Êàêõîðîøîèçâåñòíî(ñì.,íàïðèìåð,
[6,14℄,àòàêæåññûëêè â[15℄), íåóñòîé÷èâîñòüÝêõàóçà(cid:21)ýòîíåóñòîé÷èâîñòüâàëîâñâîëíîâûì
(k,0,π) (q,0,π)
âåêòîðîì îòíîñèòåëüíîâàëîâñâîëíîâûìâåêòîðîì , èìåþùàÿ ìåñòî äëÿ÷èñåë
3(R R (k)) R (k) R (k ) R (k)
c c c c c
ýëåÿ, óäîâëåòâîðÿþùèõíåðàâåíñòâó − ≤ − , ãäå îïðåäåëåíî (5).
8
λ
âîëíîâîãî âåêòîðà ïðè ìàêñèìèçàöèè â íåì íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ÷ëåíîâ
ñëåäóþùåãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ïî âñåì ìàëûì ïàðàìåòðàì.
α ε4/5
Ñëó÷àé 3: ∼ .
Ýòîò ñëó÷àé íàèáîëåå èíòåðåñåí è ñëîæåí (cid:21) èìååò ìåñòî âçàèìîäåéñòâèå
δ δ
x y
äâóõ íåóñòîé÷èâîñòåé. Íàèáîëüøèé ïî è èíêðåìåíò ðîñòà èìååò ïîðÿäîê
ε8/5 δ ε4/5 δ ε2/5 λ
x y max
∼ , è ∼ è ∼ . Ìû íå ïðèâîäèì çäåñü òî÷íûå âûðàæåíèÿ è
êîìïîíåíò êðèòè÷åñêîãî âîëíîâîãî âåêòîðà, ïîñêîëüêó îíè ÷åðåñ÷óð ãðîìîçäêè
è íåèíîðìàòèâíû.
5 Óñòîé÷èâîñòü êâàäðàòíûõ ÿ÷ååê
Ïîñêîëüêó ãîðèçîíòàëüíûé ñëîé îáëàäàåò âðàùàòåëüíîé èíâàðèàíòíîñòüþ, âîç-
ìîæíû áîëåå ñëîæíûå ñòàöèîíàðíûå òå÷åíèÿ, ÷åì ðàññìîòðåííûå âûøå âàëû
(ñì., íàïðèìåð, [6℄). Äëÿ òàêèõ òå÷åíèé ïåðâûé ÷ëåí ðÿäà (10) èìååò âèä (12):
n
Usq = b γ U ,
1 i ϕi 1 (44)
i=1
X
U γ ϕ
ãäå 1 (cid:21)ëèíåéíûåâàëû(10), ϕi (cid:21)îïåðàòîðïîâîðîòàíàóãîë i âîêðóãâåðòèêàëü-
íîéîñè.Àìïëèòóäû ìîãóòáûòüîïðåäåëåíû, íàïðèìåð, ìåòîäîì,ïðåäëîæåííûì
Âåðîíèñîì [7℄ (ñì. òàêæå [5℄). Ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî ñëó÷àé êâàäðàòíûõ
n = 2 ϕ = 0 ϕ = π/2 b = b
1 2 1 2
ÿ÷ååê, ò.å. , è . Òå÷åíèÿ òàêîé ãåîìåòðèè ñ ïðè
óñòàíîâëåíèèêîíâåêöèèóñòîé÷èâûîòíîñèòåëüíîêîðîòêîïåðèîäíûõ âîçìóùåíèé
P T
â íåêîòîðîé îáëàñòè çíà÷åíèé è [9℄.
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè êâàäðàòíûõ ÿ÷ååê ïîñòðîèì èíâàðèàíòíîå
Lsq
ïðîñòðàíñòâî îïåðàòîðà , ÿâëÿþùåãîñÿ ëèíåàðèçàöèåé (1)-(3) â îêðåñòíîñòè
ýòîãîñòàöèîíàðíîãîñîñòîÿíèÿ,ðàçìåðíîñòèïÿòü.Âêà÷åñòâåïðèáëèæåíèéíóëå-
ε
âîãî ïîðÿäêà ïî áàçèñíûõ ïîëåé ýòîãî èíâàðèàíòíîãî ïðîñòðàíñòâà âûáèðàåì
W ,W ,W ,
1,0 2,0 3,0
W (δ ,δ ) = γ W ( δ ,δ ),
4,0 x y π/2 2,0 y x
− (45)
W (δ ,δ ) = γ W ( δ ,δ ).
5,0 x y π/2 3,0 y x
−
Äâîéñòâåííûé áàçèñ îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî:
W∗ ,W∗ ,W∗ ,
1,0 2,0 3,0
W∗ (δ ,δ ) = γ W∗ ( δ ,δ ),
4,0 x y π/2 2,0 − y x
W∗ (δ ,δ ) = γ W∗ ( δ ,δ ).
5,0 x y π/2 3,0 − y x
×ëåí ðàçëîæåíèÿ (16) íóëåâîãî ïîðÿäêà íå çàâèñèò îò ïîòîêà, ñëåäóþùèé
÷ëåí èìååò âèä Lsq = L (U )+L (γ U )
1 1 1 1 π/2 1
9
L (U)
1
(Uçäåñü îáîçíà÷àåòîïåðàòîð(18),âû÷èñëåííûé äëÿñòàöèîíàðíîãîñîñòîÿíèÿ
).ÝëåìåíòûìàòðèöûA,îïðåäåëÿþùåéóñòîé÷èâîñòüêâàäðàòíûõÿ÷ååê,ìîæíî
îïðåäåëèòü, çíàÿ ýëåìåíòû ñîîòâåòñòâóþùåé ìàòðèöû (40) äëÿ âàëîâ.
k = k
c
àññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé . Òîãäà
A = P(δ2 +δ2)+O(ε2δ2),
11 − x y
A = 1kb εδ +εF (δ2)+O(εδ3,ε3),
21 2 1 y 1
A = 1kb εδ +εF (δ2)+O(εδ3,ε3),
31 −2 1 y 1
A = 1kb εδ +εF (δ2)+O(εδ3,ε3),
41 2 2 x 1
A = 1kb εδ +εF (δ2)+O(εδ3,ε3),
A51 = −ε(δ22 +2 δ2x)−1(C1πb1(δ2 δ2)+ b1δ δ (C2 π2)+
12 x y 2 2k y − x 2 x y 2 − k2
F (δ3))+O(εδ2,ε3)),
2
A = ε2C C Pg−1a−1(k2 k2)2 +O((k2 k2)3,ε2δ,ε4),
22 − 3 − 1 + − + −
A = ε2C +O(ε2δ,ε4),
32 3
A = −ε(δ2 δ2)−1(C πb1(δ2 δ2)+ b2δ δ (C2 π2)
13 x − y 2 2k y − x 2 x y 2 − k2 −
F (δ3))+O(εδ2,ε3)),
2
A = ε2C +O(ε2δ,ε4), (46)
23 3
−
A = ε2C C Pg−1a−1(k2 k2)2 +O((k2 k2)3,ε2δ,ε4),
33 3 1 − −
A = −ε(δ2 +δ−2)−1(C πb2(δ2 δ−2)+ b2δ δ (C2 − π2)+
14 x y 2 2k x − y 2 x y 2 − k2
F (δ3))+O(εδ2,ε3)),
4
A = ε2C C Pg−1a−1(k˜2 k2)2 +O((k˜2 k2)3,ε2δ,ε4),
44 − 5 − 1 + − + −
A = ε2C +O(ε2δ,ε4),
54 5
A = −ε(δ2 +δ2)−1(C πb2(δ2 δ2)+ b2δ δ (C2 π2)
15 x y 2 2k x − y 2 x y 2 − k2 −
F (δ3))+O(εδ2,ε3)),
4
A = ε2C +O(ε2δ,ε4),
45 5
−
A = ε2C C Pg−1a−1(k˜2 k2)2 +O((k˜2 k2)3,ε2δ,ε4)
55 5 1 − −
− − − −
k˜ = ((k δ )2 +δ2)1/2 g C F F C
ãäå ± ± y x ; , 1, 1, 2 òå æå, ÷òî è äëÿ âàëîâ, à çíà÷åíèÿ 3,
C f
5 i
è íåñóùåñòâåííû. Êîýèöèåíòû, íå ïðèâåäåííûå â (46), èìåþò ïîðÿäîê
O(ε3)
.
δ δ
y x
Ïóñòü ≫ . Èç àñèìïòîòèêè êîýèöèåíòîâ (46) ñëåäóåò, ÷òî, ïðè
δ2 + δ2 ε2 A A A
x y ≫ , 44 è 55 àñèìïòîòè÷åñêè áîëüøå îñòàëüíûõ êîýèöèåíòîâ 4i,
A A A i
i4 5i i5
, è ∀ .Ñëåäîâàòåëüíî,óìàòðèöû (46) åñòü îòðèöàòåëüíûå ñîáñòâåííûå
A A
44 55
çíà÷åíèÿ, àñèìïòîòè÷åñêè áëèçêèå ê è , êîòîðûì îòâå÷àþò ñîáñòâåííûå
âåêòîðû W˜ = W +ξ W
4 4 1 1
è
W˜ = W +ξ W ,
5 5 2 1
ξ = A /(A + A ) ξ = A /(A + A )
1 14 11 44 2 15 11 55
ãäå W W W èW . Ïðåäñòàâèì ìàòðèöó â íîâîì
4 4 5 5
áàçèñå → , → . Îñòàâøèåñÿ òðè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû
3 3
(46)òîãäàðàâífûñîáñòâåííûfìçíà÷åíèÿìååïîäìàòðèöûðàçìåðîì × ââåðõíåì
ëåâîì óãëó, êîòîðàÿ èìååò âèä:
A = A (ij) = (21),(31);
ij ij
äëÿ 6
A = A ξ A ;
21 21 1 12
e − (47)
A = A ξ A ,
31 31 2 12
e −
e
10