Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Springer
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Christian Blatter
Ingenieur Analysis 2
Zweite Auflage
Mit 241 Abbildungen und 127 Aufgaben
i
Springer
Professor Dr. Christian Blatter
ETH Zurich
Departement Mathematik
CH-8092 Zurich
Schweiz
e-mail: [email protected]
Blaltfr. Chrisllan:
lngenieur-Analysis I Christian Blatter. - Berlin; Heidelberg ;
New York; Barcelona; Budapest; Hongkong ; London ;
Mailand ; Paris; Santa Clara; Singapur ; Tokio: Springer.
Fliihu 1m Veri. de. F.chvcT1'lnc. Zurich
2. - 2. Auf\. - 1996
ISBN·!3: 978-J-S40-60438-9
Mathematics Subject Classification (1991): OOAOS. O().OI, OOA06, 26-01, 26A06,
268]5,26820
ISBN-13: 978-3-540-60438-9 e-1SBN-13: 978-3-642-610554
DOl: 10.10071978-3-642-61055-4
I. Aunage vdfVeriag, ZOrich
Diestl Work ist urheberrcchtlich geschliltl. Die dadurch begrlindeten Rechte. inwelondeT1' die dc.
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o Springt.-Vt.lag Berlin Heidelbe.g 1996
Slit: Rtproduktion,fenigr Vorlag. vom Auto.
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Hinweise zum Gebrauch dieses Buches
Das ganze Werk (zwei Bande) ist eingeteilt in sechs Kapitel, undjedes Kapitel
ist weiter unterteilt in Abschnitte. Formeln, die spater nocheinmal benotigt
werden, sind abschnittweise mit mageren Ziffern numeriert. Innerhalb eines
Abschnitts wird ohne Angabe der Abschnittnummer auf Formel (1) zuriick
verwiesen; 3.4.(2) hingegen bezeichnet die Formel (2) des Abschnitts 3.4.
Neu eingefiihrte Begriffe sind am Ort ihrer Definition halbfett gesetzt; eine
weitergehende Warnung ("Achtung, jetzt kommt eine Definition") erfolgt
nicht. Definitionen lassen sich yom Sachverzeichnis her jederzeit wieder
auffinden.
Satze (Theoreme) sind kapitelweise numeriert; die halbfette Signatur (4.3)
bezeichnet den dritten Satz in Kapitel 4. Satze werden im allgemeinen ange
sagt; jedenfalls sind sie erkenntlich an der vorangestellten Signatur und am
durchlaufenden Schriigdruck des Textes. Die beiden Winkel I und ~
bezeichnen den Beginn und das Ende eines Beweises.
Eingekreiste Ziffern numerieren abschnittweise die erlauternden Beispiele und
Anwendungen. Der Kreis 0 markiert das Ende eines Beispiels.
Jeder Abschnitt wird abgeschlossen durch eine Serie von Ubungsaufgaben.
Aufgaben, die zu einem wesentlichen Teil mit einem System wie Maple oder
Mathematica behandelt werden konnen (und sollen!), sind mit dem Zeichen
@ versehen.
Inhaltsverzeichnis Ingenieur-Analysis 1
Kapitel 1. Grundstrukturen 1
1.1. Logik . . . .. 1
1.2. Mengen . . . , 10
1.3. Natiirliche Zahlen 15
1.4. Reelle Zahlen. . 22
1.5. Koordinaten in der Ebene und im Raum 32
1.6. Vektoralgebra 43
1.7. Komplexe Zahlen . 64
Kapitel 2. Funktionen 77
2.1. Erscheinungsformen 77
2.2. Eigenschaften von Funktionen 105
2.3. Grenzwerte. . . . . . 124
2.4. Folgen und Reihen 138
2.5. Die Exponentialfunktion 157
Kapitel 3. Differentialrechnung 169
3.1. Grundbegriffe, Rechenregeln 169
3.2. Extrema . . . . . . . . . 180
3.3. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung 190
3.4. Taylor-Approximation . . 200
3.5. Differentialgleichungen I . 220
3.6. Differentialgleichungen II 236
Sachverzeichnis . . . . . . . 258
Inhaltsverzeichnis Ingenieur-Analysis 2
Kapitel 4. Integralrechnung 1
4.1. Der Integralbegriff 1
4.2. Hauptsatze. . . . 27
4.3. Technik des Integrierens 36
4.4. Uneigentliche Integrale 68
4.5. Mehrfache Integrale . . 77
4.6. Differentialgleichungen III 102
Kapitel 5. Mehrdimensionale Differentialrechnung 127
5.1. Grundbegriffe .............. . 127
5.2. H6here partielle Ableitungen, Taylorsche Formel 152
5.3. Implizite Funktionen 164
5.4. Die Funktionalmatrix . . . 178
5.5. Extrema . . . . . . . . . 193
5.6. Kurvenscharen in der Ebene 214
Kapitel 6. Vektoranalysis . . . 234
6.1. Vektorfelder, Linienintegrale 234
6.2. Die Greensche Formel fUr ebene Bereiche 254
6.3. Der Satz von GauE 275
6.4. Der Satz von Stokes 299
Sachverzeichnis . . . . 316
4. Integralrechnung
4.1. Der Integralbegriff
Die "Integralrechnung" besteht eigentlich aus zwei Teilen: einem begrifHichen
Teil und einem Kalkiil. In diesem ersten Abschnitt geht es urn eine allgemein
verwendbare Auffassung des Integrals als Grenzwert von Riemannschen Sum
men, und im zweiten Abschnitt beweisen wir den Hauptsatz der Infinitesimal
rechnung, der die Integralberechnung in eine sozusagen algebraische Aufgabe
verwandelt. Daraus ergibt sich dann ein Kalkiil, eben die "Technik des Inte
grierens". Diesen Kalkiil behandeln wir in den Abschnitten 4.3-4.5, und in
Abschnitt 4.6 wenden wir das bis dahin Gelernte auf Differentialgleichungen
an.
Der Integralbegriff stiitzt sich ganz wesentlich auf die Volumenmessung im
]Rn, n 2: 1. Wir beginnen daher mit einigen Feststellungen betreffend das
"n-dimensionale MaB", von den Mathematikern Lebesgue-MaB genannt.
Ohne das weiter zu hinterfragen, gehen wir davon aus, daB jeder verniinftige
Bereich (Menge) B c ]Rn ein wohlbestimmtes (n-dimensionales) MaB oder
Volumen J.l(B) 2: 0 besitzt. Wie man dieses Volumen im Einzelfall berech
net, werden wir noch sehen; fUr "einfache Korper" stehen uns natiirlich die
Formeln der Elementargeometrie zur VerfUgung.
z
o o
a b
x 1
Fig. 4.1.1
Bsp: (Fig. 4.1.1-2)
J.l([a, b]) = J.l(]a, b[) = b - a ,
D { (x, Y) E]R2 I x2 + y2 < I} =} J.L(D) = 7l' ,
2 4. Integralrechnung
1
=> IL(B) = 6'
3
1L([al,btl X [a2,b2] X [a3,b3j) = II(bi - ai) .
i=l
Fig. 4.1.2
Das MaE IL besitzt folgende charakteristischen Eigenschaften:
- Monotonie:
Additivitiit: Fur beliebige Mengen BI, B2 gilt
(Fig. 4.1.3). Sind BI und B2 disjunkt, so hat man sogar
Fig. 4.1.3
4.1. Der Integralbegriff 3
Bewegungsinvarianz: Wird B durch eine Bewegung des]Rn (Translation,
Drehung, ... ) in eine neue Lage B' gebracht, so ist f.l(B') = f.l(B).
Ist Be ]Rn und f.l(B) = 0, so nennt man Beine (n-dimensionale) Nullmenge.
Nullmengen konnen bei der Integration vernachHiBigt werden. Endlich viele
Punkte bilden immer eine Nullmenge. Eine verniinftige ebene Kurve ist
eine zweidimensionale Nullmenge. Wird diese Kurve aber als "eindimen
sionales Objekt" aufgefaBt, so hat sie eine durchaus interessante positive
Lange. Analog ist eine verniinftige Flache im ]R3 eine dreidimensionale Null
menge; als "zweidimensionales Objekt" aufgefaBt hat sie aber einen posi
tiven Flacheninhalt. Allgemein ist der Rand aB eines verniinftigen Bereiches
B c ]Rn eine n-dimensionale Nullmenge, und es kommt fUr das MaB dieses
Bereiches nicht darauf an, ob aB einbezogen ist oder nicht.
CD Wir zeigen, daB sich der Einheitskreis aD c ]R2 durch endlich viele
Rechtecke beliebig kleiner Gesamtflache iiberdecken liiBt. - Betrachte fUr
ein beliebiges n 2 2 das Rechteck R der Figur 4.1.4. Es gilt
2 (1 -
f.l(R) = sin ~ cos~) = 4sin ~ sin2 .!!....
n n n 2n
~ 4 . ~ . (.!!....) 2 7r3
n 2n n3 .
Da n derartige Rechtecke den Einheitskreis aD iiberdecken, ist
0
und das kann nur dann fUr beliebige n zutreffen, wenn f.l(aD) = 0 ist.
R
1
Fig. 4.1.4
