Table Of ContentMathematik im Kontext
Reiheherausgegebenvon
DavidRowe
MathematicsFB08
MainzUniversity
Mainz
Deutschland
KlausVolkert
BergischeUniversitätWuppertal
Wuppertal
Deutschland
DieBuchreiheMathematikimKontextpubliziertWerke,indenenmathematischwichtige
undwegweisendeEreignisseoderPeriodengeschildertwerden.NebeneinerBeschreibung
der mathematischen Hintergründe wird dabei besonderer Wert auf die Darstellung der
mitdenEreignissenverknüpftenPersonengelegtsowieversucht,derenHandlungsmotive
darzustellen.DieBüchersollenStudierendenundMathematikernsowieanMathematikIn-
teressierteneinentiefenEinblickinbedeutendeEreignissederGeschichtederMathematik
geben
WeitereBändeinderReihe
http://www.springer.com/series/8810
Klaus Volkert
In höheren Räumen
Der Weg der Geometrie in die vierte
Dimension
KlausVolkert
DidaktikundGeschichtederMathematik
UniversitätWuppertal
Wuppertal
Deutschland
ISSN2191-074X ISSN2191-0758(electronic)
MathematikimKontext
ISBN978-3-662-54794-6 ISBN978-3-662-54795-3(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-54795-3
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SpringerSpektrum
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Dank
Mein besonderer Dank gilt Frau Anna Katharina Spitz (Wuppertal) für die sorgfältige
Bearbeitung meines Manuskripts, die daraus eine brauchbare Druckvorlage machte. Bei
der Schlußredaktion haben mich Nadine Benstein und Ulrich Schwebinghaus (beide
Wuppertal)unterstützt.WeiterhinmöchteichNicolaOswald(Wuppertal)dankenfürdie
Zeichnungen, welche sie zum Buch beigesteuert hat – und für viele interessante Dis-
kussionen. Sebastian Kitz (Wuppertal) hat mich bei der oft schwierigen Beschaffung
des Materials für dieses Buch tatkräftig unterstützt. Schließlich danke ich Erhard Scholz
(Wuppertal)fürseineHinweisezumManuskriptundseinevielenspannendenIdeen,von
denen ich nun schon jahrzehntelang profitiere. Weitere Personen, die mir an bestimmten
Stellen geholfen haben, sind im Text genannt. Mein Mitherausgeber D. Rowe (Mainz)
und Frau A. Denkert (Springer-Verlag Heidelberg) haben die Veröffentlichung diese
Buchs dankenswerter Weise ermöglicht. Weiterhin bedanke ich mich für die großzügige
ÜberlassungvonBildrechtenbeiderStaats-undUniversitätsbibliothekGöttingen.
Daneben–abernichtwenigerwichtig–dankeichalleninmeinemberuflichenundin
meinemprivatenUmfeld,derenUnterstützungesmirüberhaupterstmöglichgemachthat,
diesesBuchzuschreiben.
V
Inhaltsverzeichnis
1 InkongruenteGegenstücke,ReliefsundersteSchritte.................. 1
2 DerAufbruch ................................................. 39
3 InderneuenWelt .............................................. 51
3.1 Schläflis „Theorie der vielfachen Kontinuität“ – ein
bahnbrechendesWerkohneFolgen.............................. 52
3.2 Höherdimensionale und nichteuklidische Geometrie,
VerbindungenzuPhysikundAstronomie ......................... 61
3.3 RegulärePolytope .......................................... 67
3.4 EdmundHessunddieRückkehrdersphärischenGeometrie ........... 91
3.5 DergruppentheoretischeZugang ............................... 97
3.6 VictorSchlegel,derersteChronistderneuenWelt .................. 103
3.7 AufderSuchenachderverlorenenAnschauung–BilderundModelle ... 107
3.8 EineWeltohneKnoten....................................... 121
3.9 Lehrbücher................................................ 125
4 DerZöllner-Skandal ............................................ 133
4.1 KarlFriedrichZöllner........................................ 134
4.2 EinigeReaktionenaufZöllner ................................. 146
4.3 DerZöllner-SkandalinderPresse............................... 153
4.4 WeitereReaktionenaufZöllner................................. 160
4.5 DieMathematikschlägtzurück................................. 166
5 Wanderungen des Wissens – die vierte Dimension in Kunst,
LiteraturundPhilosophie........................................ 183
5.1 PoincarésEssaysundJouffretsLehrbuch ......................... 183
5.2 Flächenwesen,Analogien,Metaphern............................ 202
5.3 DervierdimensionaleRaumunddiebildendeKunst ................. 211
5.4 DieverkehrteWelt–dievierteDimensioninderLiteratur ............ 215
5.5 CharlesHowardHinton,derPhilosophderviertenDimension.......... 218
5.6 AliciaBooleStott,dieersteFrauinderviertenDimension ............ 231
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
6 DievierteDimensionverliertihreSchrecken......................... 243
Literatur ........................................................ 251
Sachverzeichnis................................................... 263
Personenverzeichnis ............................................... 269
Einleitung
DenkedirdieGeometriedesvierdimensionalen
RaumeszudemZweckebetrieben,
dieLebensbedingungenderGeisterkennenzulernen.
IstsiedarumnichtMathematik?
Undkannichnunsagen,siebestimmeBegriffe?
(L.Wittgenstein)1
Dieses Buch behandelt die Geschichte der vierten Dimension aus der Sicht des Mathe-
matikhistorikers. Es versucht, gestützt auf Quellen, den Weg zu erläutern, der die vierte
Dimension und den vierdimensionalen Raum in die Mathematik hineinführte. Dabei
werdenwirunsimWesentlichenaufdiezweiteHälftedes19.Jhs.konzentrierenmitgele-
gentlichenAusblickenins20.Jh.DievierteDimensionwirdalsreinräumlichebetrachtet,
dievielfachauchanzutreffendeIdee,dieZeitalsvierteDimensionzubehandeln,wirdnur
gestreift;demVerfasserscheintdieseinewesentlichandereGeschichtezuseinalsdiehier
betrachtete,welchemangeometrischnennenkönnte.Insbesonderegehteshiernichtum
eineVorgeschichtederRelativitätstheorie,wennauchgewisseBerührungspunktenichtzu
leugnensind.RäumlichhabeichmichaufdendeutschsprachigenRaumkonzentriert,der
inderGeschichtederviertenDimensioneinezentraleRollespielt.Insbesondereereignete
sichhiereinesehrbemerkenswerte,heutenurnochwenigbekannteGeschichte,dieichden
Zöllner-Skandalnennenmöchte.NurseltenhateinmathematischBegriff,hierdievierte
Dimension,fürsovielAufsehengesorgtwienachFriedrichKarlZöllnersab1878einset-
zendemVersuch,mitihrerHilfespiristischeSéancen„wissenschaftlich“zuerklären,das
Übernatürliche gewissermaßen zu naturalisieren. Das Knotenexperiment, das mathema-
tisch mit der Nichtexistenz von Knoten im vierdimensionalen Raum zusammenhängt,
erlangtegroßeBekanntheit;eswurdezueinemParadigmafürErklärungenimStileZöll-
ners.FürdieMathematikergabsicheinegefährlicheSituation,gelangtesiedochsoinden
Verdacht, dem Okkultismus Vorschub zu leisten. Sie setzte sich gegen diese Enteignung
1Wittgenstein1974,260.
IX
X Einleitung
letztlicherfolgreichzurWehr,vorallem,indemsiebetonte,dassdievierteDimensionder
MathematiknichtsmitderRealitätzutunhabe.HierfindetmaneineWurzelfürsowich-
tige Ideen wie „Modelle“ im modernen Sinne des Wortes und Mathematik als abstrakte
axiomatisch-deduktive Theorie abgekoppelt von jeglicher Metaphysik, Aspekte also, die
indenletztenJahreninderHistoriographiederMathematikgernemitder„Moderne“in
Zusammenhanggebrachtwurden.VorallemimsechstenKapitel,woesumAuswirkungen
derviertenDimensiongeht,werdenwirdenBlickweitenundauchdenangelsächsischen
RaumundFrankreichindenBlicknehmen.HierverlassenwirdieMathematikgeschichte
imengerenSinneunddieKompetenzendesAutorserfordernEinschränkungen.Dasgilt
auchfürdieEinbettungindieallgemeineGeschichte–Stichwortetwa:Gründerboomund
Gründerkrise–,zuderimmerwiederBezügehergestelltwerden.Diesalleserschienmir
unerlässlich,wennichmirauchdurchausmeinerGrenzenbewusstbin.
Das Buch geht im Wesentlichen chronologisch vor: Nach einigen Bemerkungen zum
DimensionsbegriffdessenWurzelnwienichtanderszuerwartenbisEuklidzurückverfolgt
werden können, folgen im zweiten Kapitel vor allem Ausführungen zu einigen Fragen,
die Denkanstöße in Richtung vierte Dimension lieferten. Allen voran sind hier Kants
„inkongruenteGegenstücke“zunennen,dasheißtsymmetrischeKörper,diesichimDrei-
dimensionalen nicht zur Deckung bringen lassen wie die berühmten linken und rechten
Hände. Das dritte Kapitel schildert erste Ansätze, eine vierte Dimension oder auch noch
höhere Dimensionen in die Geometrie einzuführen. Dies geschah um 1850 herum; die
Vorkämpfer waren noch vorsichtig und sprachen lieber von analytischen Punkten, Gera-
denetc.anstattvonwirklichen.DabeiwirdGelegenheitsein,aufdiephilosophischeSicht
aufdieGeometrieeinzugehen,welcheim19.Jh.vorwiegendeineempiristischewar.Das
vierte Kapitel beschäftigt sich mit dem eigentlichen Durchbruch der vierdimensionalen
Geometrie, der etwa 1880 geschah. Dabei spielte die Bestimmung der Anzahl und des
AufbausderregelmäßigenPolytope,alsoderAnalogaderPlatonischenKörper,eineganz
wichtige Rolle. Sie legitimierte es, dieses neue Gebiet eine Geometrie zu nennen. Die
neue Welt wurde besiedelt mit Objekten, was natürlich auch dem im 19. Jh. noch stark
ausgeprägtenInteresseankonkretenGebildenentgegenkam.ObwohlichmichimWesent-
lichenaufTextebeschränkthabe,dienachweislicheineWirkungentfalteten,schienesmir
hierdochunerlässlich,aufLudwigsSchläflisunpublizierte„TheoriedervielfachenKon-
tinuität“ einzugehen. Der Stand der Dinge, der hier erreicht wurde und der vollkommen
unbekannt blieb, ist wirklich bemerkenswert. Ausführlich werden „Modelle“ behandelt,
wiemansieinderzweitenHälftedes19.Jhs.liebte,dasheißtmaterialeGebilde,dieab-
straktemathematischeObjektehandgreiflichvorAugenführten.InunseremFallegehtes
vorallemumVictorSchlegelsModellederregulärenPolytope,dieimweiterenVerlaufder
GeschichtevonderFirmaBrillundihremNachfolger,derFirmaSchilling,vertriebenwur-
den.SiefindensichnochheuteinmancherVitrine.SchließlichgehenwiraufKnotenein,
die–wiebereits–erwähntdasObjektvonvielenDiskussionenundGegenstanddesspi-
ritistischenExperimentumcrucisgewissermaßengegendenWillenihrerUrheberwerden
sollten. Das fünfte Kapitel ist dem Zöllner-Skandal gewidmet, von dem schon die Rede
war.ImsechstenKapitelgeheichzuerstaufdiebeidenQuellenein,diefürdieBekanntheit
