Imprimitive Spincharaktere von Überlagerungsgruppen der symmetrischen und alternierenden Gruppen

83 Pages·2007·0.555 MB·German

by  Daniel Nett

Imprimitive Spincharaktere von
¨
Uberlagerungsgruppen der symmetrischen
und alternierenden Gruppen
von
Daniel Nett
April2007
AnderFakulta¨tfu¨rMathematik,InformatikundNaturwissenschaften
derRheinisch-Westfa¨lischenTechnischenHochschuleAachen
zurErlangungdesakademischenGradeseines
Diplom-Mathematikers
vorgelegte
DIPLOMARBEIT
inMathematik
AngefertigtamLehrstuhlDfu¨rMathematikbei
Universita¨tsprofessorDr.GerhardHiß

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis 1
Einleitung 3
I GrundlagenderDarstellungstheorie 7
I.1 Moduln,DarstellungenundCharaktere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.2 EinigeAussagenausderDarstellungstheorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.3 ProjektiveDarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
I.4 DarstellungstheoriedersymmetrischenGruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.5 U¨berlagerungsgruppenvonS undA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
n n
II Charaktertafeln 23
II.1 Einverschra¨nkteszentralesProduktvonGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II.2 DarstellungenderObjekteausG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
II.3 KonjugiertenklassenderS˜ undA˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
n n
II.4 DieSpincharaktere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II.5 Morris’RekursionsformelundBranching-Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II.6 EinigekombinatorischeBegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
III InduzierteSpincharakterevonverschra¨nktenzentralenProdukten 43
III.1 DieLittlewood-Richardson-Regelfu¨rSpincharaktere . . . . . . . . . . . . . . 43
III.2 Vielfachheitsfreieprojektivea¨ußereProduktevonSpincharakteren . . . . . . . 47
IV Ergebnisse 71
IV.1 SerievonimprimitivenSpincharakterenderS˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
n
IV.2 Mo¨glicheFa¨lleimprimitiverSpincharaktereausdemSatzvonBessenrodt . . . 72
IV.3 SerievonimprimitivenSpincharakterenderA˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
n
IV.4 Mo¨glicheimprimitiveSpincharaktereandererArt . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Literaturverzeichnis 79
1
2
Einleitung
OMensch!Gibacht!
WassprichtdietiefeMitternacht?
Ichschlief,ichschlief–,
”
austiefemTraumbinicherwacht:–
DieWeltisttief,
undtieferalsderTaggedacht.
TiefistihrWeh–,
Lust–tiefernochalsHerzeleid:
Wehspricht:Vergeh!
dochalleLustwillEwigkeit–,
–willtiefe,tiefeEwigkeit!“
FriedrichNietzsche, DastrunkeneLied‘
’
IssaiSchurlieferteAnfangdes20.JahrhundertsinseinenArbeiten[Sch04]und[Sch07]bedeu-
tendeBeitra¨gezurallgemeinenTheoriederprojektivenDarstellungenvonendlichenGruppen.
InderdarauffolgendenumfangreichenArbeit[Sch11]wandteersichdensymmetrischenund
alternierendenGruppenS undA zuundfu¨hrteunteranderemU¨berlagerungsgruppenS˜ und
n n n
A˜ dieser Gruppen ein. Seine Ergebnisse sind bis heute die Grundpfeiler der projektiven Dar-
n
stellungstheoriederGruppenS undA .
n n
DielineareDarstellungstheoriedersymmetrischenGruppen,hauptsa¨chlichvorangetriebenvon
Alfred Young, hat sich rasch entwickelt. Sie verbindet die Theorie von Darstellungen mit der
vonsymmetrischenFunktionenundderKombinatorikvonTableaus.InderTheoriederprojek-
tivenDarstellungendersymmetrischenGruppenbrachtenerstetwa50JahrenachdenArbeiten
von Schur die Arbeiten [Mor62] und [Mor65] von Alun O. Morris einen vergleichbaren Fort-
schritt.A¨hnlichdenkombinatorischenBegriffeinderlinearenDarstellungstheorieentwickelte
sich eine Theorie um verschobene Tableaus und so genannter Q-Funktionen. In der Arbeit
[Ste89] von 1989 behandelt Stembridge den Zusammenhang von verschobenen Tableaus und
denprojektivenDarstellungendersymmetrischenGruppen.IndiesemArtikelwirdunterande-
remeinSatzu¨berprojektivea¨ußereProduktevonSpincharakterenvonUntergruppenderU¨ber-
lagerungsgruppenbewiesen.DieserSatzisteinAnalogonzurLittlewood-Richardson-Regelin
derDarstellungstheoriedersymmetrischenGruppen.
3
4
DerInhalt
In dieser Arbeit werden imprimitive Spincharaktere der U¨berlagerungsgruppen S˜ und A˜ der
n n
symmetrischen bzw. alternierenden Gruppen bestimmt, dabei sind imprimitive Charaktere ei-
ner Gruppe solche irreduziblen Charaktere, welche von Charakteren echter Untergruppen in-
duziert sind. Wir beschra¨nken uns dabei auf solche Charaktere, die von Spincharakteren von
UntergruppenderFormS˜ × S˜ bzw.A˜ × A˜ induziertsind.DieseGruppensinddieUr-
n−k z k n−k z k
bilderunterdemkanonischenEpimorphismusS˜ −→S dersogenanntenYoung-Untergruppen
n n
S ×S der symmetrischen Gruppen bzw. deren Untergruppen gerader Permutationen. Das
n−k k
direkte Produkt von Untergruppen der U¨berlagerungsgruppen S˜ liefert nicht die U¨berlage-
n
rungsgruppen der Young-Untergruppen, daher werden wir das verschra¨nkte zentrale Produkt
× vonUntergruppeneinfu¨hren.EsfolgteinedetaillierteZusammenfassungdesInhaltsdieser
z
Arbeit.
ImerstenKapitelwerdengrundlegendeDefinitionenundAussagenu¨berdieDarstellungstheo-
rie endlicher Gruppen im Allgemeinen und die projektive Darstellungstheorie der symmetri-
schen Gruppe im Speziellen zusammengetragen. Dabei werden im vierten Abschnitt auch ei-
nigederHauptergebnissederlinearenDarstellungstheoriederGruppenS undA wiedergege-
n n
ben. Diese dienen zur Motivation und ermo¨glichen ein besseres Versta¨ndnis der entsprechen-
den Aussagen aus der projektiven Theorie. In diesem Zusammenhang wird auch ein Teil der
ErgebnissevonDragomizZˇ.Dokovic´undJerryMalzanfu¨rdiesymmetrischenundalternieren-
den Gruppen angegeben. In ihren Arbeiten [DM74] und [DM76] haben sie alle imprimitiven
CharakteredieserGruppenbestimmt.AufdieseAussagenwirdimweiterenVerlaufderArbeit
nichtmehrverwiesen.ImletztenAbschnittdeserstenKapitelswerdendieU¨berlagerungsgrup-
pen S˜ und A˜ eingefu¨hrt. Ein Leser, der mit der linearen und projektiven Darstellungstheorie
n n
vertrautist,ko¨nntegeneigtsein,diesesKapitelbeimerstenLesenzuu¨berspringen.Werdenim
weiteren Verlauf Ergebnisse aus dem ersten Kapitel benutzt, so sind entsprechende Verweise
gegebenundmankannbeiBedarfnachschlagen.
Im zweiten Kapitel definieren wir die verschra¨nkten zentralen Produkte U × V fu¨r Unter-
z
gruppenU undV der U¨berlagerungsgruppen S˜ , welche ebenfalls Untergruppen von S˜ sind.
n n
Anschließend beschreiben wir die Darstellungen dieser Objekte, wofu¨r wir den Zugang aus
[HH92] wa¨hlen. Des Weiteren entha¨lt das zweite Kapitel die Parametrisierung der Konju-
giertenklassen der Gruppen S˜ und A˜ . Diese kann, a¨hnlich wie bei den symmetrischen und
n n
alternierenden Gruppen, u¨ber Partitionen natu¨rlicher Zahlen gegeben werden. Anschließend
werdendieSpincharakterederU¨berlagerungsgruppenangegeben.DieseErgebnissegehenbe-
reitsaufSchurzuru¨ck,allerdingsgebenwirindieserArbeit modernere“ Referenzenfu¨rdiese
”
Aussagen.AuchdieSpincharakterelassensichdurchgewissePartitionenparametrisieren.Wir
werdendaherdenSpincharaktervonS˜ zueinerPartitionλmithλibezeichnen.DurchdenSatz
n
II.(2.1)imviertenAbschnittwerdenjedochnochnichtalleCharakterwertederSpincharaktere
von S˜ wiedergegeben. Erst mit Hilfe der Morris’schen Rekursionsformel ist man in der La-
n
ge, alle Charakterwerte eines Spincharakters hλi anzugeben. Diese ist eine Entsprechung der
Murnaghan-Nakayama-FormelausderlinearenDarstellungstheoriedersymmetrischenGrup-
pen. In diesem Zusammenhang werden einige kombinatorische Begriffe eingefu¨hrt, die im
Fokus der zweiten Ha¨lfte dieser Arbeit stehen. Des Weiteren werden die Branching-Rules fu¨r
Spincharaktere angegeben. Diese machen Aussagen u¨ber die induzierten bzw. eingeschra¨nk-
5
tenSpincharakterevonS˜ nachS˜ bzw.S˜ undfindenebenfallseineEntsprechunginder
n n+1 n−1
DarstellungstheoriederGruppenS .
n
DasdritteKapitelbeinhaltetdieLittlewood-Richardson-Regelfu¨rSpincharaktere.DieseRegel
macht, a¨hnlich wie im Fall der linearen Darstellungstheorie, eine Aussage u¨ber die Konstitu-
entenineinemprojektivena¨ußerenProdukt(hµi⊗ hνi)↑S˜ vonirreduziblenSpincharakteren
z n
hµi und hνi von Untergruppen S˜ und S˜ der U¨berlagerungsgruppen S˜ . Diese Charaktere
n−k k n
werden wir mit hµi⊗ˆhνi bezeichnen. Die Werte des Skalarprodukts (hµi⊗ˆhνi,hλi) werden
hierbei durch die Anzahl gewisser verschobener Schief-Tableaus der Form λ/µ mit Inhalt ν
bestimmt.Daranknu¨pfendieSa¨tzeimzweitenAbschnittdiesesKapitelsan,indenendieviel-
fachheitsfreienprojektivena¨ußerenProduktebestimmtwerden.DieseErgebnissestammenaus
der Arbeit [Bes02] von Christine Bessenrodt und bilden die wichtigste Grundlage fu¨r die Un-
tersuchungenimviertenKapitel.EswurdendieBeweisedieserAussagenimVergleichzurOri-
ginalarbeit ausgearbeitet und mo¨glichst detailreich in die Arbeit aufgenommen. Des Weiteren
wurde hierbei die zentrale Aussage aus [Bes02] um einen Fall erweitert, denn die dort ange-
gebeneCharakterisierungvielfachheitsfreierprojektivera¨ußererProdukteistunvollsta¨ndig.Es
wird allerdings hier keine Aussage daru¨ber gemacht, ob die Klassifizierung der vielfachheits-
freienprojektivena¨ußerenProduktedamitkomplettist.Fu¨rdieBestimmungderimprimitiven
SpincharaktereimviertenKapitelistdiesauchnichtvonNo¨ten.DieBeweisedieseru¨berwie-
gend kombinatorischen Aussagen sind recht technisch, jedoch wird man bei ihrem Studium
mit der Tableau-Arithmetik“ vertraut. Dies tra¨gt zu einem besseren Versta¨ndnis der Beweise
”
imviertenKapitelbei.
Im vierten und letzten Kapitel werden die Ergebnisse dieser Arbeit angegeben. Mit Hilfe des
Satzes III.(2.4) aus dem dritten Kapitel werden die imprimitiven Spincharaktere von S˜ und
n
A˜ bestimmt,welchevonCharakterenderobenerwa¨hntenUntergruppeninduziertsind.Inden
n
meisten Fa¨llen sind solche induzierten Charaktere reduzibel. In den Beweisen werden dafu¨r
dieprojektivena¨ußerenProduktehµi⊗ˆhνibetrachtet,dienurKonstituentenmitVielfachheit1
besitzen.FastimmerwerdendannzweinichtzueinanderassoziierteCharaktereangegeben,die
KonstituentendieserProduktesind.ZurUntersuchungimFallderA˜ werdenwirdieClifford-
n
Theoriezusammenmitdenfu¨rS˜ gewonnenenErgebnissenbenutzen.MitHilfederBranching-
n
Rules fu¨r Spincharaktere wirdgezeigt, dass es jeweilseine Serie imprimitiver Charakterevon
S˜ bzw.A˜ gibt,dievonCharakterenderUntergruppenS˜ bzw.A˜ induziertsind.Fu¨rUn-
n n n−1 n−1
tergruppenS˜ × S˜ mitn,k6=1gibteskeineweiterenirreduziblenSpincharakterehµi⊗ˆhνi
n−k z k
vonS˜ .EntsprechendgibtesauchkeineimprimitivenSpincharakterederA˜ ,dievonCharak-
n n
teren der Untergruppen A˜ × A˜ fu¨r n,k6=1 induziert sind. Im Fall der S˜ kann allerdings
n−k z k n
eine Serie von Spincharakteren hµi⊗ hνi angegeben werden, deren nach S˜ induzierten Cha-
z n
rakteregenauzweiKonstituentenhaben:hλiunddendazuassoziiertenSpincharakterhλia fu¨r
eineentsprechendePartitionλ.
DieErgebnissedieserArbeitentstandenausschließlichunterVerwendungderBranching-Rules
fu¨r Spincharaktere (siehe II.(5.3)) und der Littlewood-Richardson-Regel, bzw. deren Anwen-
dung in Form von III.(2.4). Die Ergebnisse u¨ber die in dieser Arbeit untersuchte Klasse von
imprimitivenSpincharakterenvonS˜ sindnachKenntnisstanddesAutorsnochnichtvero¨ffent-
n
licht.
6
Danksagung
Ich verdanke das Thema dieser Arbeit Herrn Prof. Dr. Hiß. Bei ihm mo¨chte ich mich fu¨r die
ausgezeichnete Betreuung bedanken. Er bewies sehr viel Geduld und nahm sich immer die
Zeitfu¨rmeineFragen,obgleichermirbeiderBearbeitungderAufgabenstellungalleFreihei-
ten ließ. Seine Anmerkungen und Kritik trugen wesentlich zum Gelingen dieser Arbeit bei.
Daru¨berhinausmo¨chteichmichbeimeinenFreundenundKommilitonenJohannesOrlob,Se-
bastianDany,SebastianKo¨hler,Jo¨rgRosenberg,ChristianWeberundAlexMu¨llerbedanken.
SiestandenmirmitRatschla¨genundVerbesserungsvorschla¨genzurSeiteundließenesniean
aufmunterndenundanspornendenWortenfehlen.Ebensomo¨chteichMaxNeunho¨fferdanken.
Erstandmirnichtnurunza¨hligeMalebeiComputerproblemenundLATEX-Fragenunterstu¨tzend
zurSeite,sondernhalfmirmitseinenAnregungenauchbeimErstellendiesesVorworts.1
ZuguterLetztdankeichherzlichmeinenEltern,diemirmeineAusbildungermo¨glichtenund
mich in jeder Hinsicht unterstu¨tzt haben. Ich mo¨chte die Arbeit meinem lieben, zum jetzigen
Zeitpunkt15Monatealten,NeffenundPatenkindOliverNettwidmen.
1Ichmo¨chteeinweitereswichtigesHilfsmittel,welchesmirbeimErstellendieserArbeiteineunverzichtbare
Hilfewar,nichtunerwa¨hntlassen,—denDuden([Dud06]).
Kapitel I
Grundlagen der Darstellungstheorie
IndiesemKapitelwerdendiefu¨rdieseArbeitwichtigstenGrundlagenbereitgestellt.Zuna¨chst
fu¨hrenwirelementareBegriffederDarstellungstheorieendlicherGruppenmiteinemvertra¨gli-
chen Maß an Allgemeinheit ein. Im zweiten Abschnitt werden einige Aussagen aufgefu¨hrt,
welche in der Arbeit implizit oder explizit verwendet werden. Die Aussagen — wie fast alle
indiesemKapitel—werdenohneBeweiseangegebenundsindgewissenhaftmitLiteraturver-
weisenbehaftet,sodassderLeserdieDetailsbeiBedarfnachlesenkann.
Im dritten Paragrafen wird die Begriffsbildung der projektiven Darstellungen geschaffen. Ins-
besonderewirdderZusammenhangzwischenprojektivenDarstellungenundDarstellungsgrup-
penerkla¨rt.EinSatz,welcherbereitsaufSchurzuru¨ckgeht,liefertunsdanneinhinreichendes
Kriteriumdafu¨r,wannsolcheDarstellungsgruppenfu¨rendlicheGruppenexistieren.
Der vierte Abschnitt gibt einen U¨berblick u¨ber die nicht-projektive Darstellungstheorie der
symmetrischen Gruppen, sofern sie im weiteren Verlauf wichtig ist. Dabei beschreiben wir
detailliert die Konjugiertenklassen der symmetrischen und alternierenden Gruppen und geben
eine Charakterisierung ihrer irreduziblen Darstellungen — all dies mit Hilfe von Partitionen
natu¨rlicherZahlen.
Schließlichschla¨gtderletzteAbschnittdiesesKapitelsdieBru¨ckezuru¨ckzurprojektivenDar-
stellungstheorie. Hier werden die von Schur eingefu¨hrten U¨berlagerungsgruppen der symme-
trischenGruppendefiniert.Diese,sostelltsichheraus,sindindenmeistenFa¨llenDarstellungs-
gruppendersymmetrischenGruppen.Entsprechendfu¨hrenwirdannnochdieU¨berlagerungen
der alternierenden Gruppen ein, welche ebenfalls in den meisten Fa¨llen Darstellungsgruppen
deralternierendenGruppensind.
I.1 Moduln, Darstellungen und Charaktere
IndiesemAbschnittstellenwireinigegrundlegendeBegriffeundAussagenzurDarstellungs-
theorie endlicher Gruppen zusammen. Im ganzen Paragrafen sei G eine endliche Gruppe, K
ein Ko¨rper und A eine endlich-dimensionale K-Algebra. Weiterhin bezeichnen End(V) den
RingderK-EndomorphismenvonV,GL(V)dieK-AutomorphismenvonV,M (K)denvollen
n
Matrixringder(n×n)–Matrizenu¨berK undGL (K)dieMengederEinheiteninM (K).
n n
7
8 KapitelI. GrundlagenderDarstellungstheorie
(1.1)Definition(DarstellungenvonAlgebren,vgl.[Fei82,I.19])
SeiV ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Eine (lineare) Darstellung von A aufV ist ein K-
Algebrenhomomorphismus
D:A−→End(V).
MannenntndenGradderDarstellungD.
Wa¨hltmanzueinergegebenDarstellungvonAaufV eineK–BasisvonV,soerha¨ltmaneine
Matrixdarstellung
D:A−→M (K).
n
MansprichtbeieinemGruppenhomomorphismusD:G−→GL(V)voneinerDarstellungder
GruppeGvomGradn.DurchdieWahleinerBasisvonV erha¨ltmaneinenGruppenhomomor-
phismusG−→GL (K),eineMatrixdarstellungvonG.
n
(1.2)Definition(CharaktereinerDarstellung,vgl.[Isa94,Definition2.2])
SeiD:G−→GL (K)eineMatrixdarstellungvonG.DannnenntmandieAbbildung
n
χ:G−→K, g7→Spur(D(g))
denCharaktervonD.
(1.3)Definition(A¨quivalenzvonDarstellungen,vgl.[Isa94,Definition1.18])
Zwei (Matrix-)Darstellungen D , D von A vom gleichen Grad sind a¨quivalent, wenn eine
1 2
invertierbareMatrixP∈GL (K)existiert,sodass
n
D (a)=P−1D (a)P
1 2
fu¨rallea∈Agilt.
(1.4)Definition(Modul,vgl.[Isa94,Definition1.3])
Es seiV ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Existiert eine Abbildung A×V −→V, so
dassfu¨rallex,y∈A,v,w∈V undα∈K
(a) x(v+w)=xv+xw,
(b) (x+y)v=xv+yv,
(c) x(yv)=(xy)v,
(d) α(xv)=(αx)v=x(αv),
(e) 1v=v
gilt,soistV einA-(Links-)Modul.
MankannA-ModulnalsDarstellungenbzw.DarstellungenalsA-Modulnauffassen: