Implementierung und Anwendung analytischer und numerischer Verfahren zur Lösung der ...

153 Pages·2011·13 MB·German

Implementierung und Anwendung
analytischer und numerischer Verfahren zur
L¨osung der Maxwellgleichungen fu¨r die
Untersuchung der Lichtausbreitung in
biologischem Gewebe
Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades Dr. rer. nat.
der Fakult¨at fu¨r Naturwissenschaften
der Universit¨at Ulm
vorgelegt von
Jan-Patrick Sch¨afer
aus Weilburg
2011
Amtierender Dekan : Prof. Dr. Axel Groß
Erstgutachter : Prof. Dr. Alwin Kienle
Zweitgutachter : Prof. Dr. Othmar Marti
Tag der Promotion : 09.06.2011
Inhaltsverzeichnis
Abku¨rzungsverzeichnis v
1. Einleitung 1
2. Theoretische Grundlagen der Lichtausbreitung in biologischem Gewebe 3
2.1. Klassische Elektrodynamik - Maxwelltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1. L¨osung der Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2. Charakterisierung der L¨osung von Streuproblemen . . . . . . . . . 6
2.1.3. Nahfeld-Fernfeld-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.4. Lichtausbreitung an Grenz߬achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.5. Lichtbeugung an Aperturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Transporttheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Analytische Methoden zur L¨osung der Maxwellgleichungen 17
3.1. Streuung an kugelf¨ormigen Partikeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1. Mie-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2. Mehrschichtige Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.3. Mehrkugelproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.4. Zus¨atzliche Erweiterungen der Mie-Theorie . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. Streuung an unendlich ausgedehnten Zylindern . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1. Zylindertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2. Mehrschichtige Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.3. Mehrzylinderproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.4. Zus¨atzliche Erweiterungen der Zylinderl¨osung . . . . . . . . . . . . 25
4. Numerische Methoden zur L¨osung der Maxwellgleichungen 27
4.1. Finite Differenzen in der Zeitdom¨ane (FDTD) . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.1. FDTD-Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.2. Stabilit¨at, numerischer Fehler und Dispersion . . . . . . . . . . . . 32
4.1.3. Absorbierende Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.4. Eingangsquellfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.5. Nahfeld-Fernfeld-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2. Pseudospektrale Methode in der Zeitdom¨ane (PSTD). . . . . . . . . . . . 41
4.2.1. PSTD-Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.2. Stabilit¨at, numerischer Fehler und Dispersion . . . . . . . . . . . . 43
4.2.3. Absorbierende Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.4. Eingangsquellfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.5. Nahfeld-Fernfeld-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3. Diskrete Dipol-Approximation (DDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
i
Inhaltsverzeichnis
5. Implementierung und Validierung 47
5.1. Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2. Mie- und Zylindertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.1. Einteilchenl¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.2. L¨osung fu¨r mehrschichtige Streuteilchen . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.3. Mehrteilchenl¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3. FDTD- und PSTD-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3.1. Basisgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3.2. Dispersion und Stabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3.3. Modellierung der Streuszene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3.4. Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3.5. Quellfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3.6. Nahfeld-Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.7. Nahfeld-Fernfeld-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.8. Validierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4. DDA-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.5. Generierung von Zufallsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6. Monte-Carlo-Methode zur L¨osung der Transporttheorie . . . . . . . . . . 77
6. Ergebnisse und Diskussion 81
6.1. Einzelstreuer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1.1. Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.1.2. Nahfeld-Fernfeld-U¨bergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.1.3. Nahfeld-Betrachtungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2. Mehrteilchensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2.1. Mehrfachstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.2. Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.3. Abh¨angige Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2.4. Vergleich zwischen Maxwell- und Transporttheorie . . . . . . . . . 101
6.2.5. Vergleich zwischen Maxwelltheorie und Lambert-Beer-Gesetz . . . 105
6.3. Fluoreszenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7. Zusammenfassung 109
Literaturverzeichnis 113
A. MATLAB-Programme 125
A.1. Spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.2. Mie-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.2.1. Fernfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.2.2. Nahfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.3. Mie-Theorie fu¨r geschichtete Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.3.1. Fernfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.3.2. Nahfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.4. Zylindertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
A.4.1. Fernfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
A.4.2. Nahfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
ii
Inhaltsverzeichnis
A.5. Zylindertheorie fu¨r geschichtete Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A.5.1. Fernfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A.5.2. Nahfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.6. Zylindertheorie fu¨r mehrere geschichtete Zylinder . . . . . . . . . . . . . . 141
iii

Abku¨rzungen und Symbole
FDTD .......... Finite-Difference Time-Domain Methode
PSTD .......... Pseudo-Spectral Time-Domain Methode
PEC ............ Perfect Electric Conductor
PBC ........... Periodic Boundary Condition
ABC ........... Absorbing Boundary Condition
PML ........... Perfectly Matched Layer
TFSF .......... Total-Field/Scattered-Field Methode
ASF ............ All-Scattered-Field Methode
NFFF .......... Near-Field to Far-Field Transformation
DFT ........... Discrete Fourier Transformation
FFT ............ Fast Fourier Transformation
DDA ........... Discrete Dipole Approximation
GMM .......... Generalized Multipole Mie Theory
GLMT ......... Generalized Lorenz-Mie Theory
CFS ............ Courant-Friedrichs-Lewy Bedingung
................
Pm(x) .......... Legendre-Polynom
n
J (x) ........... Besselfunktion erster Art
n
N (x) .......... Besselfunktion zweiter Art (Neumannfunktion)
n
(1)
H (x) ......... Hankelfunktion erster Art
n
(1)
hn (x) ......... sph¨arische Hankelfunktion erster Art
ζ , χ , ξ ...... Riccati-Besselfunktionen
n n n
................
f (cid:48)(x) ........... Ableitung nach dem Argument x
f˙(x,t) .......... Ableitung nach der Zeit t
(cid:126)v ............... Vektor
vˆ ............... Normierter Vektor vˆ = (cid:126)v
v
eˆ .............. Basisvektor zur Basis b
b
V(cid:126) .............. Vektorfeld
V , V ......... x-Komponente des Vektorfeldes V(cid:126)
x 0
V , V ......... y-Komponente des Vektorfeldes V(cid:126)
y 1
V , V ......... z-Komponente des Vektorfeldes V(cid:126)
z 2
˜
V(cid:126) (ω) ........... Fourier-Transformierte des Vektorfeldes V(cid:126) (t)
................
ε .............. elektrische Feldkonstante, ε 8.85 10−12 As/Vm
0 0
≈ ·
µ .............. magnetische Feldkonstante, µ 12.57 10−7 Vs/Am
0 0
≈ ·
c .............. Vakuumlichtgeschwindigkeit, c = 299792458 m/s
0 0
η .............. Wellenwiderstand im Vakuum, η 376.73 Ω
0 0
≈
v

1. Einleitung
Der Forschungsbereich der Biophotonik, der sich mit der Anwendung von Licht in den
Biowissenschaften besch¨aftigt, hat durch den einschlagenden Erfolg von Entwicklungen
der vergangenen Jahre, wie z.B. der Optischen Koh¨arenztomographie (OCT) [1] seine
Bedeutung fu¨r die Gesellschaft und Wirtschaft unter Beweis gestellt. Auch in Zukunft
wird dieses Forschungsgebiet wichtige Technologien hervorbringen, die helfen werden,
Krankheiten fru¨hzeitig zu erkennen und schonend zu behandeln. Die Bedeutung fu¨r die
Gesellschaft l¨asst sich auch danach bemessen, dass die Biophotonik im Rahmen des For-
schungsschwerpunkts Optische Technologien vom Bundesministerium fu¨r Bildung und
Forschung als wichtiges zu f¨orderndes Themengebiet gefu¨hrt wird.
Bei der Anwendung von Licht fu¨r die biomedizinische Diagnostik oder Therapie ist ein
grundlegendes Verst¨andnis der Lichtausbreitung in biologischem Gewebe unabdingbar
[2]. Dazu sind neben experimentellen auch theoretische Betrachtungen notwendig. Zum
einen um die experimentellen Ergebnisse richtig deuten zu k¨onnen, zum anderen wer-
den dadurch bestimmte Anwendungen erst erm¨oglicht. Die theoretische Untersuchung
der Lichtausbreitung im Gewebe wird seit vielen Jahren intensiv betrieben. Im Sinne
der klassischen Physik wird die Lichtausbreitung u¨ber die Maxwelltheorie exakt beschrie-
ben. Im Allgemeinen lassen sich L¨osungen der Maxwelltheorie allerdings nur mit Hilfe
rechenintensiver numerischer Verfahren bestimmen [3]. Daher basieren die meisten der
verwendeten Modelle auf der Transport- oder der Diffusionstheorie [4, 5]. Die Trans-
porttheorie betrachtet den Strahlungstransport im Gewebe, vernachl¨assigt allerdings die
Wellennatur des Lichts. Die Diffusionstheorie wiederum ist eine N¨aherungsl¨osung der
Transporttheorie, die nur fu¨r spezielle Problemstellungen Gu¨ltigkeit besitzt [6].
Die Kopplung zwischen Diffusions- und Transporttheorie ist grunds¨atzlich verstanden.
Fu¨r die Gu¨ltigkeit der Transporttheorie gelten allgemeine Regeln [7]. Die Kopplung zwi-
schen Maxwell- und Transporttheorie ist allerdings fu¨r spezielle Problemstellungen noch
zu einem großen Teil unklar. Die Untersuchung der Lichtausbreitung in biologischem Ge-
webe,basierendaufdenMaxwellgleichungen,kannnichtnurhelfen,dieseKopplungeinge-
hender zu untersuchen, sondern bietet daru¨ber hinaus noch weitreichende M¨oglichkeiten,
wellentheoretische Effekte in die Betrachtung der Licht-Gewebe-Wechselwirkung mit ein-
zubeziehen. Insbesondere l¨asst sich mit Hilfe der Maxwellgleichungen die Abh¨angigkeit
der Lichtausbreitung von der Mikrostruktur des Gewebes grundlegend erforschen.
Am Institut fu¨r Lasertechnologien in der Medizin und Meßtechnik an der Universit¨at
Ulm (ILM) wird in der Arbeitsgruppe Materialoptik unter der Leitung von Professor
Dr. Alwin Kienle schon seit mehreren Jahren intensiv auf dem Gebiet der Gewebeoptik
geforscht. Neben experimentellen Untersuchungen wird auch an der theoretischen Be-
trachtung der Lichtausbreitung in biologischem Gewebe gearbeitet. Dabei umfassen die
experimentellen Arbeiten alle drei Messmethoden unter kontinuierlicher Einstrahlung so-
wie in der Zeit- und der Frequenzdom¨ane [8, 9, 10, 11, 12, 13]. Fu¨r die Deutung der
Messergebnisse wurden diese mit entsprechenden Ergebnissen der theoretischen Modell-
rechnungen verglichen. Dazu ist zum einen die Diffusionstheorie verwendet worden, fu¨r
1
1. Einleitung
die in der Arbeitsgruppe L¨osungen fu¨r verschiedene Geometrien hergeleitet werden konn-
ten [14, 15, 16]. Zum anderen wurde ein selbst entwickeltes Monte-Carlo-Programm zur
numerischen L¨osung der Transporttheorie eingesetzt [17]. Einen Forschungsschwerpunkt
stelltdieUntersuchungderAbh¨angigkeitderLichtausbreitungvonderMikrostrukturdes
Gewebes dar [18, 19, 20, 21, 22, 23, 24]. Es konnten z.B. experimentell Vergr¨oßerungs-
bzw.Verkleinerungs-sowieLichtleitungseffekteimDentindesmenschlichenZahnsgezeigt
und mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen beschrieben werden [25, 26].
ZieldieserArbeitistes,nebendenbestehendenMethodenaufBasisderTransport-und
der Diffusionstheorie, verschiedene numerische und analytische Verfahren zur L¨osung der
Maxwellgleichungen fu¨r die Untersuchung der Lichtausbreitung in biologischem Gewebe
innerhalb der Arbeitsgruppe zu etablieren. Dadurch sind Betrachtungen m¨oglich, die
sowohl alle wellentheoretischen Effekte der Lichtausbreitung beinhalten, als auch eine
Beru¨cksichtigung der Mikrostruktur bei der Untersuchung der Lichtausbreitung erlauben
undmitderenHilfeeintieferesVerst¨andnisderLichtausbreitunginbiologischemGewebe
erzielt werden kann.
EswirdnunkurzaufdeninhaltlichenAufbauderArbeiteingegangen.InKapitel2wird
diedendurchgefu¨hrtenBetrachtungenzugrundeliegendeMaxwelltheoriebeschrieben.Im
folgenden Kapitel 3 werden darauf aufbauend analytische L¨osungsmethoden fu¨r Streu-
probleme an Kugel- bzw. Zylindergeometrien vorgestellt, die fu¨r einfache Betrachtungen
oder zur Validierung der numerischen Verfahren verwendet werden konnten. Die numeri-
schenMethodenwerdeninKapitel4behandelt,insbesonderewerdendieFinite-Difference
Time-DomainMethode(FDTD)unddiePseudospectralTime-DomainMethode(PSTD)
betrachtet. W¨ahrend dieser Arbeit wurden die verschiedenen L¨osungsverfahren in Pro-
grammcode umgesetzt und eine Benutzerschnittstelle zur Durchfu¨hrung von Berechnun-
genderLichtausbreitunggeschaffen.DieImplementierungwirdinKapitel5thematisiert.
In Kapitel 6 werden Simulationsergebnisse, ausgehend von Einzelstreuung bis hin zur
Mehrfachstreuung,vorgestellt.InsbesonderewirdhierbeiaucheinVergleichderL¨osungen
der Maxwelltheorie mit Berechnungen, basierend auf der Transporttheorie, durchgefu¨hrt.
Die Arbeit endet in Kapitel 7 mit einer Zusammenfassung.
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