Implementación de algoritmos para la manipulación de Curvas Concoides en Dise˜no Geométrico.

153 Pages·2013·4.47 MB·Spanish

Implementacio´n de algoritmos
para la manipulacio´n de Curvas
Concoides en Disen˜o Geom´etrico.
Valerio Mora´n Coco
Julio de 2013
A mis padres, porque a ellos se lo debo todo.
Agradecimientos
Me llena de orgullo escribir estas l´ıneas, en las que al fin, con la finalizaci´on de este
trabajo, puedo expresar la gran satisfacci´on que siento por la culminaci´on de una etapa, la
finalizaci´ondemisestudioscomoIngenieroT´ecnicodeTelecomunicaci´onenlaespecialidad
de Sistemas de Telecomunicaci´on.
Sin duda en esta etapa, y como en todas en la vida, ha habido momentos mejores
y peores, pero absolutamente siempre y en todos ellos, he tenido el apoyo incondicional
de mi familia, de mis padres y mis hermanos. Sin duda alguna, sin ellos no habr´ıa sido
posible.
Tambi´en ha sido fundamental para m´ı, especialmente en la realizaci´on de este trabajo,
el apoyo, el carin˜o y la comprensi´on de mi pareja, a ella tambi´en le doy las gracias.
Elhechodehabercompaginadolarealizaci´ondeesteproyectoconuntrabajoajornada
completa, no ha sido una tarea f´acil. En ese sentido, agradezco enormemente la ayuda
y el apoyo que mi tutora, Juana Sendra, me ha brindado. Porque adem´as ha sabido
transmitirme a la prefecci´on los conocimientos necesarios y despertar au´n m´as en mi el
inter´es en algo que siempre me ha gustado, las matem´aticas.
Tambi´en agradezco las ensen˜azas que me han transmitido todos los profesores que me
han impartido clase. Y a todos los compan˜eros de la escuela que me han acompan˜ado en
el camino.
Poru´ltimo,nopodr´ıacerrarestasl´ıneassinhacermenci´onamimejoramigoytambi´en
un apasionado de la ingenier´ıa, Roberto, y con quien tantos buenos momentos he pasado
y por supuesto espero seguir pasando.
De coraz´on, muchas gracias a todos.
3
´
Indice general
1. Curvas Concoide 11
1.1. Construcci´on geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. C´alculo de la concoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Concoides cl´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1. Concoide de Nic´omedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2. Limac¸´on de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Marco Matem´atico 21
2.1. Ana´lisis de racionalidad de las curvas concoides . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Algoritmo de parametrizaci´on de la concoide . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3. Programaci´on en Maple 29
3.1. Introducci´on a la programaci´on en Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1. Estructura b´asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2. Breve recorrido por Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. Creaci´on de un paquete en Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3. Creaci´on de una p´agina de ayuda en Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. Creaci´on de un paquete Maple para el tratamiento de curvas Concoide 40
4.1. Creaci´on del paquete Conchoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1.1. Procedimiento getImplConch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.2. Procedimiento plotImplConch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.3. Procedimiento getParamCoch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.4. Procedimiento checkParam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.5. Paquete Conchoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2. Creaci´on de las p´aginas de ayuda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.1. P´agina de ayuda del procedimiento getImplConch . . . . . . . . . . 55
4
4.2.2. P´agina de ayuda del procedimiento plotImplConch . . . . . . . . . . 56
4.2.3. P´agina de ayuda del procedimiento getParamCoch . . . . . . . . . . 57
4.2.4. P´agina de ayuda del procedimiento checkParam. . . . . . . . . . . . 59
5. Atlas de curvas Concoide 60
5.1. Curvas C´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1.1. Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1.2. Par´abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.3. Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1.4. Hip´erbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2. Curvas Cl´asicas de grado superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2.1. Cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2.2. Rosa de tres hojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.3. Trisectriz de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2.4. Folium de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.5. Tacnode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2.6. Conchoide de Sluze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2.7. Epitrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2.8. Ramphoid Cuspidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2.9. Lemniscata de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3. Tabla Resumen de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6. Aplicaciones de las Curvas Concoide 135
6.1. Aplicaciones en la antigu¨edad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2. Aplicaciones en la actualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7. Superficie Concoide 148
8. Bibliograf´ıa 151
5
Abstract
This project is set up in the framework of Symbolic Computation as well as in the im-
plementation of algebraic-geometric problems that arise from Computer Aided Geometric
Design (C.A.G.D.) applications.
We address problems related to conchoid curves. The importance of these curves is the
fundamental role that they play in current applications as medicine, optics, electromag-
netism, construction, etc.
The main goal of this project is to design and implement some algorithms to solve pro-
blems in studying, calculating and generating conchoid curves with symbolic computation
techniques. For this purpose, we program our implementations in the symbolic system
“Maple”.
The project consists of two differentiated parts, one more theoretical part and another
part more practical. The first one includes the description of conchoid curves as well as
the basic ideas about the concept and its basic properties. More precisely, we introduce in
this part the mathematical analysis of the rationality of the conchoids, and we present the
algorithms that will be implemented. Furthermore, the reader will be briefly introduced
in Maple programming.
On the other hand, the second part of this project is totally original. In this more
practical part, the author presents the implemented algorithms and a Maple package that
includes them, as well as their help pages. These implemented procedures will be check
and illustrated with some classical and well known curves, collecting the main properties
of the conchoid curves obtained in a brief atlas.
Finally, a compilation of the most important applications where conchoids play a fun-
damental role, and a brief introduction to the conchoids of surfaces, subject of several
studies today and where this project could be very useful, are presented.
6
Resumen
Este proyecto se enmarca dentro de la Computaci´on Simb´olica y de los fundamentos
matem´aticos del Disen˜o Geom´etrico Asistido por Ordenador (CAGD).
Se abordar´a uno de los problemas principales en el ´ambito del CAGD y que es la
manipulaci´ondelasCurvas Concoide.Laimportanciadelavanceenlamanipulaci´ondelas
curvas concoide radica en el papel fundamental que desempen˜an en mu´ltiples aplicaciones
en la actualidad dentro de campos de diversa´ındole tales como la medicina, la ´optica, el
electromagnetismo, la construcci´on, etc.
El objetivo principal de este proyecto es el disen˜o e implementaci´on de algoritmos
para el estudio, c´alculo y manipulaci´on de curvas concoides, utilizando t´ecnicas propias
del C´alculo Simb´olico. Esta implementaci´on se ha programado utilizando el sistema de
computaci´on simb´olica Maple.
El proyecto consiste en dos partes bien diferenciadas, una parte te´orica y otra m´as
pr´actica. La primera incluye la descripci´on geom´etica y definici´on formal de curvas concoi-
de, as´ı como las ideas y propiedades b´asicas. De forma m´as precisa, se presenta un estudio
matem´aticosobreelan´alisisderacionalidaddeestascurvas,explicandolosalgoritmosque
ser´an implementados en las segunda parte, y que constituye el objetivo principal de este
proyecto. Para cerrar esta parte, se presenta una pequen˜a introduccci´on al sistema y a la
programaci´on en Maple.
Por otro lado, la segunda parte de este proyecto es totalmente original, y en ella el
autor desarrolla las implementaciones en Maple de los algoritmos presentados en el parte
anterior, as´ı como la creaci´on de un paquete Maple que las recoge. Por u´ltimo, se crean las
p´aginasdeayudasenelsistemaMapleparalacorrectautilizaci´ondelpaquetematem´atico
anteriormente mencionado. Una vez terminada la parte de implementaci´on, se aplican los
algoritmos implementados a una colecci´on de curvas cl´asicas conocidas, recogiendo los
datos y resultados obtenidos en un atlas de curvas.
7
Finalmente, se presenta una recopilaci´on de las aplicaciones m´as destacadas en las
que las concoides desempen˜an un papel importante as´ı como una breve resen˜a sobre las
concoides de superficies, objeto de varios estudios en la actualidad y a los que se considera
que el presente proyecto les puede resultar de gran utilidad.
8
Introduccio´n
Los contenidos de este proyecto se enmarcan dentro de la Computaci´on Simb´olica
y de los fundamentos matem´aticos del Disen˜o Geom´etrico Asistido por Ordenador
(CAGD).
En particular, se pretende mostrar c´omo se pueden resolver los problemas en el estu-
dio, c´alculo y generaci´on de las curvas concoide con t´ecnicas de computaci´on simb´olica,
implementando en el sistema Maple los algoritmos principales para tal f´ın.
El disen˜o asistido por ordenador (CAD) es el uso de sistemas inform´aticos para ayudar
en la creaci´on, modificaci´on, an´alisis u optimizaci´on de un disen˜o. El disen˜o asistido por
ordenador se utiliza en muchos campos, y en concreto el aplicado a modelos geom´etricos
es conocido como Disen˜o Geom´etrico Asistido por Ordenador (CAGD).
OriginalmentelosproblemasenCAGDfuerontratadoscont´ecnicasnum´ericas,aunque
en los u´ltimos an˜os, la comunidad del CAGD ha comenzado a interesarse por la utilizaci´on
dem´etodossimb´olicosy/om´etodosh´ıbridossimb´olico–num´ericosparalaresoluci´ondesus
problemas.
Uno de los problemas en el campo del Disen˜o Asistido por Ordenador es la manipu-
laci´on de las curvas concoide. El concepto de concoide es muy intuitivo geom´etricamente
y b´asicamente se define la concoide C(C) de una curva C, para un foco A(a,b) y una dis-
tancia fija d > 0, como el conjunto de puntos Q en la recta AP a una distancia d de un
punto P movi´endose en la curva C. La importancia del avance en la manipulaci´on de las
curvas concoide radica en el papel fundamental que desempen˜an en mu´ltiples aplicaciones
en la actualidad dentro de campos de diversa´ındole tales como la medicina, la ´optica, el
electromagnetismo, la construcci´on, etc.
El proyecto se estructura en 7 cap´ıtulos. En el primer cap´ıtulo se define el concepto
de concoide, se describe su proceso de construcci´on y se presentan las dos concoides cl´asi-
cas m´as importantes: el “concoide de Nic´omedes”, y el “Lima¸c´on de Pascal”. En el
9
cap´ıtulo 2 se entra en el marco matem´atico del proyecto, defini´endose algunos conceptos
claves en primer lugar, y describiendo un estudio sobre la racionalidad de la concoide en
segundo lugar. En este cap´ıtulo se presentan y explican los algoritmos sobre las curvas
concoides que ser´an m´as tarde implementados. En el cap´ıtulo 3 se hace una breve intro-
ducci´on de la programaci´on en Maple. En el cap´ıtulo 4, se implementan los algoritmos
anteriormente estudiados mostrando los paquetes Maple creados para la manipulaci´on de
las curvas concoide, as´ı como sus correspondientes p´aginas de ayuda. En el cap´ıtulo 5, se
ilustran y prueban los paquetes creados aplic´andolos a una colecci´on de curvas cl´asicas
conocidas, recogiendo los datos y resultados obtenidos en un atlas de curvas. El cap´ıtulo
6 muestra algunas de las aplicaciones m´as destacadas en las que podemos encontrar con-
coides, objeto de varios estudios en la actualidad y a los que se considera que el presente
proyectolespuederesultardegranutilidad.Poru´ltimo,enelcap´ıtulo7,sehaceunabreve
resen˜a a las concoides de superficies.
Para m´as detalle sobre el contenido de cada cap´ıtulo, v´ease las siguientes referencias.
Para el cap´ıtulo 1, sobre curvas concoide, ver [10], [16], [25], [28], [29],[30],[31] y [32]. Para
elcap´ıtulo2,enelquesetrataelmarcomatem´aticodelproyecto,ver[17].Paraelcap´ıtulo
3, donde se hace un breve recorrido por las principales utilidades de Maple, ver [18] y [33].
El cap´ıtulo 4, sobre la implementaci´on de los algoritmos estudiados en cap´ıtulos anteriores
y creaci´on de un paquete Maple junto con sus respectivas p´aginas de ayuda, as´ı como el
atlas de curvas del cap´ıtulo 5, son materiales originales de este proyecto. Para el cap´ıtulo
6, donde se describen algunas de las principales aplicaciones de las curvas concoide, ver
[2], [3], [8], [9], [11], [12], [15], [20], [21], [22], [23], [24], [26] y [27]. Para el cap´ıtulo 7, sobre
superficies concoide, ver [5], [13] y [14].
10