Основы многомерной геометрии. Часть II. Евклидовы пространства

56 Pages·2018·0.544 MB·Russian

by  Маслова Ю. В.

Российский государственный педагогический
университет им. А. И. Герцена
Ю. В. Маслова
ОСНОВЫ
МНОГОМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Часть II. Евклидовы пространства
Учебно-методическое пособие
для студентов педагогических вузов
Санкт-Петербург
Издательство РГПУ им. А. И. Герцена
2018
1
ББК 22.151.1
М 31
Маслова Ю. В.
М 31 Основы многомерной геометрии. Часть II. Евклидовы простран-
ства: учебно-методическое пособие для студентов педагогических
вузов. — СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2018. — 57 с.
ISBN 978-5-8064-2529-5
Материал, представленный в учебно-методическом пособии, соот-
ветствует действующей учебной программе по геометрии, которая явля-
ется частью основной образовательной программы подготовки бакалавра
по направлениям «01.03.02 – Прикладная математика и информатика» и
«44.03.01 – Педагогическое образование», профиль «Математическое об-
разование». Пособие содержит теоретический материал и набор упраж-
нений и указаний к их решению. Часть материала посвящена вектор-
ным пространствам и носит, в основном, справочный характер, так как
предполагается, что к моменту изучения многомерной геометрии курс
линейной алгебры студентами пройден.
ББК 22.151.1
ISBN 978-5-8064-2529-5 (cid:13)c Маслова Ю. В., 2018
(cid:13)c Смилга Л. Б., оформление обложки, 2018
(cid:13)c ИздательствоРГПУим.А.И.Герцена,2018
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................................................................................. 5
§ 1. Евклидово векторное пространство........................................................6
1.1. Определение и следствия из аксиом евклидова векторного про-
странства............. ..........................................................................................6
1.2. Примеры евклидовых векторных пространств..............................7
1.3. Длина вектора и угол между векторами........................................8
1.4. Ортонормированный базис...........................................................12
1.5. Изоморфизм евклидовых векторных пространств......................16
1.6. Ортогональное дополнение...........................................................18
Вопросы и упражнения к § 1.........................................................................19
§ 2. Евклидово точечное пространство.........................................................21
2.1. Определение евклидова точечного пространства.........................21
2.2. Примеры евклидовых точечных пространств..............................21
2.3. Расстояние между точками...........................................................22
Вопросы и упражнения к § 2.........................................................................23
§ 3. Декартовы координаты..........................................................................24
3.1. Декартова система координат.......................................................24
3.2. Переход к новой системе координат..............................................24
Вопросы и упражнения к § 3.........................................................................25
§ 4. Плоскости в евклидовом точечном пространстве..................................27
4.1. Задание плоскости точкой и нормальным подпространством.....27
4.2. Перпендикуляр к плоскости.........................................................28
4.3. Расстояние от точки до гиперплоскости.......................................29
4.4. Ортогональные плоскости............................................................30
Вопросы и упражнения к § 4........................................................................32
§ 5. Преобразования евклидова точечного пространства............................34
5.1. Определение и простейшие свойства движения...........................34
5.2. Теорема подвижности...................................................................34
5.3. Аналитическое задание движения. Род движения.......................35
5.4. Группа движений. Равенство фигур. Инвариантная фигура......35
5.5. Виды движений.............................................................................36
5.5.1. Параллельный перенос.......................................................36
5.5.2. Симметрия относительно k-мерной плоскости..................36
5.5.3. Поворот вокруг (n−2)-мерной плоскости..........................37
3
5.6. Примеры аффинных преобразований евклидовых точечных
пространств................................................................................................39
5.6.1. Гомотетия..........................................................................39
5.6.2. Подобие.............................................................................40
Вопросы и упражнения к § 5......................................................................40
§ 6. Многогранники в евклидовом точечном пространстве.......................42
6.1. Определитель Грама. Объёмы...................................................42
6.2. Определение правильного многогранника.Символ Шлефли....44
6.3. Простейшие примеры правильных многогранников.................46
6.4. Теорема Шлефли о классификации правильных
многогранников..........................................................................................49
Вопросы и упражнения к § 6......................................................................50
§ 7. Групповой подход к геометрии............................................................51
Литература........................................................................................54
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебно-методическое пособие написано в соответствии
с действующей учебной программой по геометрии и предназначено для
студентов факультета математики РГПУ им. А.И. Герцена. Оно состо-
ит из двух книг и посвящено геометрии n-мерных пространств. Первая
книга («Основы многомерной геометрии. Часть I. Аффинные простран-
ства») посвящена n-мерным аффинным пространствам, вторая книга
(«Основы многомерной геометрии. Часть II. Евклидовы пространства»)
посвящена n-мерным евклидовым точечным пространствам. В пособии
изложены наиболее наглядные вопросы геометрии n-мерных пространств,
относящиеся к k-мерным плоскостям и многогранникам рассматривае-
мого пространства. Классификация квадрик в аффинном и евклидовом
пространствах в этом пособии не излагаются. Для изучения этих тем
предлагаем читателю обратиться к книгам [7], [9].
Пособие содержит теоретический материал и набор упражнений и
указаний к их решению. Часть материала посвящена векторным про-
странствам и носит, в основном, справочный характер, так как предпо-
лагается, что к моменту изучения многомерной геометрии курс линейной
алгебры ([3], [4]) студентами пройден.
Автор настоящего пособия поставил перед собой ряд задач:
1) познакомить читателя с основными принципами аксиоматического по-
строения математической теории (в частности, геометрии);
2) построить n-мерное евклидово точечное пространство, основываясь
на аксиоматическом методе;
3) изложить наиболее наглядный материал геометрии n-мерных про-
странств: k-мерные плоскости и многогранники;
4) подобрать набор задач и упражнений, необходимых для лучшего усво-
ения теоретического материала.
Автор считает своим долгом поблагодарить Т.Г. Ходот за помощь
и поддержку при подготовке данного пособия, а также за полезные ком-
ментарии и исправления.
5
§ 1. ЕВКЛИДОВО ВЕКТОРНОЕ
ПРОСТРАНСТВО
1.1. Определение и следствия из аксиом
евклидова векторного пространства
Пусть V – векторное пространство, R – поле действительных чи-
сел.
Определение. Скалярным произведением векторов пространства
V называется отображение V ×V → R, которое каждой упорядоченной
паре элементов u и v из V ставит в соответствие число из R, которое
мы будем обозначать (u,v), удовлетворяющее следующим аксиомам.
Аксиома V . ∀ u,v ∈ V (u,v) = (v,u).
1
Аксиома V . ∀ u,v,w ∈ V (u + v,w) = (u,w) + (v,w).
2
Аксиома V . ∀ u,v ∈ V ∀ l ∈ R (lu, v) = l(u, v).
3
Аксиома V . ∀ u ∈ V (u (cid:54)= 0 → (u,u) > 0).
4
Определение. Векторное пространство V , на котором задано ска-
лярное произведение, называется евклидовым векторным пространством.
Будем обозначать евклидово векторное пространство через E. Ес-
ли при этом размерность евклидова векторного пространства равна n,
то оно называется n-мерным евклидовым векторным пространством и
обозначается En.
Таким образом, система аксиом n-мерного евклидова векторного
пространства состоит из четырех групп: I и II группы – аксиомы век-
торного пространства, III группа – аксиомы размерности и V группа –
аксиомы скалярного произведения.
Из аксиом V группы непосредственно вытекают следующие три
свойства евклидового векторного пространства.
Следствие 1. ∀ u,v,w ∈ E (u,v+w)=(u,v)+(u,w).
Следствие 2. ∀ u,v ∈ E ∀ l ∈R (u, lv)=l(u,v).
Следствие 3. ∀ u ∈ E (0,u)=0.
Доказательство. Поскольку 0 = 0u и (0u,u)=0(u,u)=0, cледо-
вательно, (0, u) = (0u,u)=0.
Следствие 4. u = 0 ⇐⇒ (u,u) = 0.
6
1.2. Примеры евклидовых векторных пространств
1) В n-мерном координатном пространстве Rn зададим скалярное
произведение. Пусть u = (u , u ,..., u ) и v = (v , v ,..., v ) – векторы
1 2 n 1 2 n
пространства Rn. Скалярное произведение векторов u и v положим
равным сумме произведений соответствующих компонент:
(u, v) = u v + u v + ··· + u v .
1 1 2 2 n n
Легко проверить, что в этом случае все аксиомы скалярного произ-
ведения выполнены. Следовательно, пространство Rn, с заданным таким
образом скалярным произведением, является n-мерным евклидовым век-
торным пространством. Будем называть его n-мерным координатным
евклидовым пространством.
2) Множество геометрических векторов с операциями сложения
векторов и умножения вектора на число из R, на котором задано ска-
лярное произведение векторов формулой (u,v)=|u|·|v|·cos(u(cid:100),v), является
евклидовым векторным пространством. Аксиомы V – V выполняются,
1 4
это доказано в курсе аналитической геометрии.
3) Рассмотрим двумерное координатное пространство R2. Опреде-
лим скалярное произведение в R2 следующим образом: для любых век-
торов u = (u , u ) и v = (v , v ) положим
1 2 1 2
(u, v) = u v + u v + u v + 2u v .
1 1 1 2 2 1 2 2
Пусть u = (u , u ), v = (v , v ), w = (w , w ) – произвольные векто-
1 2 1 2 1 2
ры из R2 и l – произвольное число из R. Проверим, что аксиомы V –
1
V выполняются.
4
V : (u, v) = u v + u v + u v +2u v = u v + u v + u v +
1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2
2v u = u v + u v + u v + 2v u = (v, u).
2 2 1 1 1 2 2 1 2 2
V : (u + v, w) = (u + v )w + (u + v )w + (u + v )w +
2 1 1 1 1 1 2 2 2 1
+2(u + v )w = (u w + v w ) + (u w + v w ) + (u w + v w )+
2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1
+(2u w + 2v w ) = (u w + u w + u w + 2u w ) + (v w + v w +
2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2
+v w + 2v w ) = (u, w) + (v, w).
2 1 2 2
V : (lu, v) = (lu )v + (lu )v + (lu )v + 2(lu )v = l(u v +
3 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1
+u v + u v + 2u v ) = l(u, v).
1 2 2 1 2 2
V : пусть u (cid:54)= 0, тогда (u, u) = u u + u u + u u + 2u u =
4 1 1 1 2 2 1 2 2
= u2 + 2u u + 2u2 = (u + u )2 + u2 > 0.
1 1 2 2 1 2 2
Таким образом, пространство R2, с заданным на нём скалярным
произведением (u, v) = u v + u v + u v +2u v , является двумер-
1 1 1 2 2 1 2 2
ным евклидовым векторным пространством.
7
1.3. Длина вектора и угол между векторами
Понятие скалярного произведения даёт возможность определить
длину вектора и угол между векторами. Пусть, далее, E – евклидово
векторное пространство.
Определение. Длиной (или нормой) вектора u ∈ E называется
число, равное арифметическому квадратному корню из его скалярного
квадрата, то есть
(cid:112)
|u| = (u, u).
Заметим, что из определения следует, что длина нулевого вектора
равна нулю.
Из определения также следует, что скалярный квадрат вектора ра-
вен квадрату его длины:
|u|2=(u,u).
В случае, если |u| = 1, вектор u называется нормированным.
Заметим, что для любого ненулевого вектора u ∈ E вектор lu при
1
l = ± является нормированным. Действительно,
(cid:112)
(u, u)
(cid:113)
(cid:112) (cid:112)
|lu| = (lu,lu) = l2(u, u) = |l| · (u, u) = |l| · |u| =
1 (cid:112)
· (u, u) = 1.
(cid:112)
(u, u)
Теорема 1 (неравенство Коши – Буняковского). В евклидо-
вом векторном пространстве для любых его векторов u и v выполня-
ется следующее неравенство:
|(u, v)| ≤ |u| · |v|. (1)
Доказательство. Если хотя бы один из векторов нулевой, то
|(u, v)| = 0 и |u| · |v| = 0, и следовательно, утверждение теоремы
выполнено. Пусть теперь векторы u и v ненулевые. Рассмотрим вектор
u + lv, где l ∈ R. По аксиомам группы V и их следствиям имеем
(u + lv, u + lv) ≥ 0, то есть
(u, u) + 2l(u, v) + l2(v, v) ≥ 0. (2)
8
Это возможно тогда и только тогда, когда дискриминант квадратного
трёхчлена отрицательный или равен нулю, то есть
(u, v)2 − (u, u) · (v, v) ≤ 0. (3)
Это равносильно неравенству |(u, v)| ≤ |u| · |v|. Теорема доказана.
Неравенство (1) называется неравенством Коши – Буняковского.
Напомним, что два вектора называются коллинеарными, если они
линейно зависимы. Следовательно, нулевой вектор коллинеарен любому
вектору.
Замечание. Знак равенства в формуле (1) имеет место тогда и
только тогда, когда векторы u и v коллинеарны.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда векторы
u и v ненулевые. Пусть векторы u и v коллинеарны, тогда v = lu.
Откуда получаем
|(u,v)|=|(u,lu)|=|l(u,u)|= |l|·|(u,u)|=|l|·(u,u)=
=|l||u|2=|l||u|·|u| =|lu|·|u|=|v|·|u|.
Пусть теперь |(u,v)|=|u|·|v|. Тогда формула (3) будет иметь вид
(u, v)2-(u,u)·(v,v)=0,
и квадратное уравнение
(u,u)+2l(u,v)+l2(v,v)=0
имеет вещественный корень. Следовательно, (u+ lv,u+ lv)=0. Таким
образом, u+lv=0, и векторы u и v коллинеарны. Теорема доказана.
Определение. Векторы u и v называются сонаправленными, ес-
ли v=lu и l > 0. Векторы u и v называются противоположнонаправ-
ленными, если v=lu и l < 0.
Теорема 2 (неравенство треугольника). Для любых векторов
u и v ∈ E выполнено неравенство
|u + v| ≤ |u| + |v|,
причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы
u и v сонаправлены или один из векторов нулевой.
Доказательство. Рассмотрим выражение |u + v|2. Используя
неравенство Коши – Буняковского (1), получаем:
|u + v|2= (u + v,u + v)= (u,u)+ 2(u,v)+ (v,v)≤
≤|u|2+ 2|u|·|v|+ |v|2= (|u| + |v|)2.
9
Следовательно, |u + v| ≤ |u| + |v|.
Согласно замечанию выше, равенство (u, v) = |u| · |v| возможно
тогда и только тогда, когда один из векторов нулевой или векторы u и v
коллинеарны и сонаправлены, то есть v = lu и l>0. Теорема доказана.
Следствие 1. Если векторы u и v ненулевые, то выполнено
неравенство
(u, v)
−1 ≤ ≤ 1.
|u| · |v|
Полученную дробь можно рассматривать как косинус некоторого аргу-
мента.
Определение. Углом между ненулевыми векторами u и v ев-
клидова векторного пространства E называется вещественное число a,
для которого выполняются условия
(u, v)
cosa = , 0 ≤ a ≤ p. (4)
|u| · |v|
Определение. Векторы называются ортогональными, если угол
p
между ними равен .
2
Далее, договоримся считать нулевой вектор ортогональным любо-
му вектору.
Ортогональные векторы u и v будем обозначать следующим об-
разом: u ⊥ v.
Теорема 3. u ⊥ v ⇔ (u, v) = 0.
Докажите это самостоятельно.
Следствие 2. Если u ⊥ v, то lu ⊥ mv для любых веществен-
ных чисел l (cid:54)= 0 и m (cid:54)= 0.
Докажите это самостоятельно.
Из (4) следует, что |(u, v)| = |u| · |v| · cosa. В школьном курсе
геометрии это равенство рассматривается как определение скалярного
произведения. В нашем случае при изложении материала в соответствии
с аксиоматикой Вейля оно является лишь следствием из определения
угла между векторами.
Теорема 4 (теорема Пифагора). Если векторы u и v ортого-
нальны, то |u + v|2=|u|2+|v|2.
Это легко следует из теорем 2 и 3 этого пункта.
Следствие 3. Если векторы u ,u ,...,u попарно ортогональны,
1 2 n
то |u + u + ... + u |2=|u |2 + |u |2 + ... + |u |2.
1 2 n 1 2 n
10