Table Of Content吉 田 耕 作 著
位 相 解 析
I.
現 代 数 學 8
岩 波 害 店
序
'a::,
位相解析は‘函敷空間において定義せられた作用素 位相代数的方法に
よって，研究することによって解析學に寄典することを目的とするここに作
用素とは一つの集合（定義域）の各変索に他の集合（値域）の変索を封應せし
める封應躁係をいうのであって，敷に敷と封應せしめる普通の函数の概念と一
般化したものである．所謂解析概論における導函敷，不定積分，定積分，無限
級数の和，曲線の長さ，馴形の面積・盟禎等がその例である．これ等の中で終
りの5つの例のようにその値域が敷であるような作用素は特に汎函敷と呼ばれ
ることがあな解析學に登場して来る多くの作用索は，その定義域及び値域を
それぞれ適嘗な函敷空間として明確に限定することによって，加法性というよ
うな代敷的性質や或稲の連績性ともいうべき性質と附興せられるためにこれと
位相代敷的に取扱うことが出来るのであら• その朕況については本文と誡んで
頂くと明かになって来ることと信する．
位相解析は，位相代敷的方法によって一般的な取扱いとするために，一方に
おいては解析學の稲々の部門において既に知られた語事賞を統一された簡掌な
i
方法で， しかもより一般的に取扱うことを可能こするのみならす， また他方に
おいて多くの新しい結果と導くのにも役立つのである．前者の例としては“賀
敷慨間が非可算集合である”という Cantorの定理や Weierstrassによる
‘到る所微分不可能な連績函数の存在定理’等がいす吋れも‘‘完備な距離空間は
第一類集合でない"という位相學の一定理の系として得られることと皐げてお
こうまた後者の例としては積分方程式論を一般にした‘スペクトル理論',古
典統計力學の甚礎付けとしての‘ェルコ←・ド理論’及び函敗及び微分の概念と
一般化した L.Schwartz の＼超函敗 (d~stribution) の理論’等と摯げれば充
分であるう．
2 序
位相解祈の Iである所の本書においては函散空間における解析學の翡礎とし
ての Banach空間論， Hilbert空間論の一般事項と町II寧に述べ特に種々の固宵
値問題a::J ルム環の表現諭によって統一的に扱った．ェルコ--~ ド理論，確率過
程，作用素環， vector束等についての一般的事項についても述べたけれども，
Iを豫備知識としての‘位相群の上の一般調和解析’や超函敗の立場からする
‘偏微分方程式論’特に 'Riemann空間の上の調和積分論’等については1[
に述べられることとおもう．
本書執筆の頃には未だ海外文献の入手が困難であったけれども，それらの多
くのものは甚礎的一般事項と述べるという Iの立前からはそれ程大きな障害で
はなかったように、息われなしかしようやく 1950年に我々の知ることの出来
たSchwartzの超函敗の理論だけは，その位相解析全般に興えた影唇の大きさ
n
から考えて， の出るより以前にも何智かの形で紹介しておく必要があると蒋
えたので附録としてその概要を追加することにした．
最後に戦時中の文献等について御援助と受けた角谷静夫博士及び印刷校:ii::等
にお手数と掛けた岩波書店の根岸榮次氏に厚く感謝の意と表明したい．
目 次
序
第 1章 線 形 空 間
""'""'."""""''""'"'"'""''"'"'"'""''"'""""'1
§1 .線形空 間........................................................................ 1
§2 加法的作用素， ;Jll法的汎函数............................................. 2
§3 Hahn-Banachの摘張定瑯................................................. 4
§4 一般極限， Banach極限..,.. ;.. ............................................ 5
第 2章 norm及び準 norm....................................................... ・9
§5 Banach空間及び Frechet空間 ........................................ 9
rm....................................
§6 Hilbert空間又は一般 Euclid径 11
§7 函敷空間，豫備............................................................... 13
§8 函敷空間......................................................................... 15
§9 .・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・19
敷列空間・・
§10 複素線形空間.................................................................. 21
§11 E 型空間の z2c~) としての表現・・・....................................... 23
§12 作用素の連績性，作用素環， C.Neumannの級敷…・……….. 27
第 3章共枷空間・・................................................................・32
§13 共範空間， Rieszの定狸................................................... 32
§14 線形帆函数の存在定踵............................;......................... 34
§15 :1:t腕作用素 ・・・・・・"・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 37
ノ、 ..
§16 E型窄間における射影作用素................................,... ......... 39
§17 共慟径間 C(Q)*,Riesz-Markoff-Ka,kutani の定理………...... 41
§18 Stone-Gelfand-Silovの定理 ・・・・.......................................... 50
§19 共悦空間の例， M(t2)*,L嘔）＊及び S(Q)* ・・・..…..... ~.... …... 52
2 目 次
§20 共腕空間の例， m(~)*, lP(~)*, c(~)* 及び s(~)* ………••…• 55・
第4章 強牧倣，弱牧倣............................................................58
§21 Gelfandの補助定瑯，共嗚定理・・・....................................... 58
§22 弱牧敏，弱完備，汎弱牧倣................................................"60
§23 強 compact及び弱 compact........................................... 65
§24 平均ェルコ--~ ド定理......................................................... 69
§25 概週期函敷の平均値......................................................... 73
§26 刺可測性と弱可測性， Pettisの定理.................................... 78
§27 Bochner精分 ............................................................... 80
§28 Cauchyの積分定理， norm憫に屈蘭する Mazur-Gelfandの定狸 85
第 5章弱位相，汎弱位相・;)....................................................... 89,
§29 弱位相，凸集合に封する Mazurの定理…………...…………… 89
§30 汎弱位相，正則凸集合.............................................'."""" 92
§31 正具jl凸集合の端貼， Krein-Milmanの定狸…………....…""…. f4
§32 Momentの間題， Hellyの定理 ..................... -.................. 96
§33 正則的に閉な部分空間............'.............. _... ......................... 99・
§34 Tychonoffの定理の同蹄性への應用….............……•• …......... 100・
§35 一様に凸な空間の同婦性...................................................104-
第6章 Norm環の表現 ・・・・・・・・・・・・.............................................106
、
§36 極大 ideal................... ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・106
ヽ 、
§37 校基，半箪純l生...............,.... ........................................... 109
§38 Tychonoff の定理の表現への應用・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 111
第 7章 固打値間題 1,Riesz-Schauder の理論……………•…••… 114
§39 固有値，固有 vector,o.pectra ........................................... 114
§40 compact作用素，完全連綬性 ..............................•........... 115・
§41 Riesz;Schauderの理論 .............................. _... .................. 119,
目 次 3
第 8章固有値間題 2;Hilbertの理論..………••……….............. 127
§42 線形正規作用素， Fourier雙換..........,... ............ 127
→ ................
§43 二つの補助定理...............................................................132
§44 線形正規作用素の可換系の同時函敷表現……………•••ヽ•・・・・・・・・・・ 13.i
§45 Baireの定理 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・136
§46 spectre分解， Hilbert の spectre分解定理・・・......…"・・・・・・・・・・ 140
§47 線形劉前作用素及び unitary 作用素の,spectre 分解•…........ 144
§48 Peter-W eyl-Neumannの珊論......... :, ..,... ........................... 150
第 9章 固有値間題・3,Neumann の踵論"・・・・・・・・・・•…...….... ……• 157
§49 共艇作用素及び閉作用素......"'.""" .. ・.. ・.. ・.. ・.. ・..... ・............ "・157
§50 劉稲作用素.....................................................................159
§51 作用素解祈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．、・ 161
§52 Cayley雙換， Neumann の sp~ctre 分解定理・・・・・・・・・・・・・....…・ 173
§53 spectreク ............................................................ 177
§54 可換性及び可約性， Neumann-Riesz-Mimuraの定理・・・・……..181
第10衆 閉 作 用 索 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・190
§55 閉作用素の値域定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．、..190
§56 値域定理の應用 l,1揺艮次連立一次方程式........………………・193
§57 値域定難の應用 2,線和法................................................195
§58 値域定理の應用 3,可逆定狸.............................................198
§59 正規作用素の定義， 作用索 A*A ・・・・・・・・・...….. ', ………............ 199
§60 閉作用素の槙準分解， Kodairaの方法による正規作用素の腹素
pectre分解..................................................................203
第11章ー作用索環.........................._... ................................. ,2 07
§61 非可換代敷， Perlis-Zorn-Hille-} aco bsonの定理...…•……, .... 207
§62 Banach代敷の表現・..........................................-.............. 211
4
し 日 次
§63. Banach代敷に横わる群.................................. :.....•........... 21,f
§64 Eidelheit-Kawadaの定理 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・'.・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・221
§65 norm環の表現の應用としての Wienerの Tauber型定理・・・ 223
§66 norm環の表現の應用としての Bochnerの定理（正の定符琥
函敷） ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・230
§67 Ne umannの ringsof operators・ ・• ・・ ・ ・・・ ・・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ 2 36
§68 unitary同値 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・242
第12章線形作用索の 1-parameter半群 (Stoneの定踵の1廣張） 251
§69 Stoneの定理 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・251
§70 .1- parameter 半群の微分可能性と表現 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 255
§71 Markoff過程への應用 1,無限に分解可能な確率法則…・・・・・・・・・264
§72 Markoff過程への應用 2,Fokker-Planckの偏微分方程式の
梢分..............................................................................270
第13章 vector 束 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・278-
§73 vector束に闘する惰定義 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・278
§74 B型束及び F型束.........................................................285
§75 牧欽定理，特異性璽畳の原理 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・288
§76 個リリエルコ--~ ド定理 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・292
§.77 束準同型封應 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・299
§78 黙函敷としての表現・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・...............,•. ..•.....•. 301
§79 射影作用素 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・:・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・308
§80 集合函散としての表現・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・312
附 録 L.Schwartzの超函敗の解説・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・319
索 りI・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・333
第1章 線 形 空 間
§1 線 形 空 間
集合Lの任意の2欝iI\x,y忍び任意の宵敷aに封して x+yEL及びcxxEL
が定義され，且つこれ等がつぎの條件(1.1)一(1.7)を満足しているときにLti=
線形空間 (vectoror linear space)ぁるいは V型空間という：
(1) x+y=y+x,
(2) (x十y)+z=x+(y+z),
(3) すべての x,zに鉗して， X十y=zなる如き yが一つしかも唯一つ
存在する，
(4) l・X=X,
(5) a(/3x) =( a,B)x,
(6) ex〈X十y)=ax+ay,
(7) a+f3)x=ax+(3x.
條件 (1.1)一(1.3)は Lが結合規則＋に闘する可換群(=加群）を作ること
を，また (1.4)一(1.7)はこの加群が賞敷閤(R)を係敷とすることを意味する．す
なわち x+yは vector;Jll法の，また axは vectorxに scalarexを乗する
scalar乗法の計窟規則に従っているのである．故に (1.3)によって定まるyを
z-xと曹けば R=x-xは X に無闘係に定まりこのカ111作の零元（零 vector)
になる：すべての X に討して x=x+R.(1.7)において a=l,/3= -1とおい
て 0-x=Bを得る．また (1.7)において a=O,炉ー1こおいて (-l)x=R-x
と得る． よって@,@-xをそれぞれ 0,-xとおいて y-x=y+(-l)x{(適
用しても不郡合が生じないことは容易にわかる．
部分空間 V型空間 Lの部分集合ムがその任意の 2罰!i1iX, yとともに
ヽ
x, ツの一次拮合 ax+,ayをすべて含むときに， Liを L の部分空間 (linear
2 第1草線形空間
subspace)という V型窄間 Lの部分集合 Aが典えられたとき， A のすべ
ての動を含む如き部分窄間の全骨叡の共通集合ムを A によって張られた部分
空間と呼ぶムは A の有限個の点功， Xぃ・・・・・・， Xn([)一次結合
”
Laふ=aの+a2x叶·…••十Unん (n 任意）
i=I
の全憫である・
凸集合，線分 V型空間 Lの部分集合 Kが， その任意の2黙 x,yとと
もにその凸結合 a1x+a2y(a1, a2;;=:;;0且つ a叶 <l2=l)のすべてを含むときに
k を凸集合 convexsetと呼ぶ，特に x,yによって張られる凸集合すなわ
ち xとツとの凸結合の全盟を X とyとを結ぶ線分 (segment)という．
一次獨立，次元 V型空間 Lの点 Xぃ必，・・・・・・，ふは，工心匠0なる限
i=I
り区aぷ合0なるときに互いに一次獨立である (linearlyindependent)とい
•i=1
う.Lの部分集合 Aが一次獨立な集合であるというのは， A の任意布限伽I
の動が互いに一次獨立なことと約束する．このときもし Lが A によって張
られる部分径間と一致するならば， A~L の一次獨立な基 (base)であると
いう． しかして A の濃度を nとし nが有限ならば Lは n次元であると
いい，しからざるときには Lは無限次元であるという．上の nが布限または
無限なること及び有限ならばその値が， Aの採り方に無闊係に定まることが容
易にいえるからである．
§2 加法的作用素，加法的汎面数
集合，Eの部分集合 A の各黙 X に封して集合 E1の点功=Txを野應さ
せる認像を定義する廣い意味の函敗 Tを Aから E1内への作用素 (Opera-
tion)と呼び，
ID(1:)=A, 瑯(T)={y;yEE 1, y=T x, 冗EE}=T・A
をそれぞれ Tの定義域 (domain),値域 (range)Oという．特に値域が賞数儒
1) rangeの獨語 Wertvorratの題字をとって瑯(T)とした．
§2 加法的作用素，加法的汎函敷 3
CR)に含まれるとき，すなわち A で定義された質敷値函敷 T・xを A で定
義された汎函敷(functional)ともいう．以下作用素は T,S,U等ローマ大字
で，また汎函数は特に f,g, h等ローマ小字であらわすことにする．
加法性 L, L1ともに V型空間且つ A=ID(T)が L の部分窒11りにして，
すべて<Da, (1 E( R)に封して
(1) T(ax+(1y)=aTx+(1TyEL1
が満足されているならば， T を A から L1内への加法的作用素 (additive
operation)という特に L1が一次元の V型空間 (R)l)たるときには Tを．，
加法的汎函敷ともいうすなわち Tは;JII群 A から1m群 L1<D中への（宜敷
憫を係敷とする）準同型寓像(homomorphism)に他ならない
作用素の和，積 ID(T)=ID(S)=A且つ T及びs([)値域が V型窒間 L1
に厠するときには (T+S)x=Tx+Sxによって Aからム内への作川素 T,
Sの和 T+Sが定義される．同じく (aT)x=arTx)によって， Aから L,内
への作用素 Tの a倍 aTも定義される．つぎに T が Aからム内への
S が ID(S)~L1 からム内への作用素ならば (ST)x=S(Tx) によって ID(ST)
={x; xEI D(T)且つ TxEI D(S)}から L2内への作用素 STを定義し Sと
Tとの精という（積の順序に注意！）．特に Tが Aから A自身内への作用索
たらば Tの n個の精として T"が定義され且つ T"・T切=T"+切が成立つ．
逆作用素 T が ID(T)から瑯(T)全盟への一鉗ー劉應を典えるならば
瑯CT)から ID(T)全證への作用素 y-1が
r-1Tx=x, xE刻(T) 及び TT-1y=y, yE瑯CT)
を満足する如くに定まる．すなわち Tー1は T<D逆寓像であってこれを T<D
逆作用素 (inverseoperator)と呼ぶ特に Tが加法的作用素ならば，容易
にわかる如<'y-1([)存在するための必十條件は
1) +は敷加法， scalar乗法は敷莱法による V型空間．
