Table Of ContentUNIVERSITETI I KOSOV~S N~ PRISHTIN~
FAKULTETI I SHKENCAVE MATEMATIKO-NATYRORE
Dr. RASIM BEJTULLAHU
Dr. JOSIP MOSER
HYRJE NE TEORI TE
RELATIVITETIT
ENTI I TEKSTEVE DHE I MJETEVE M£SIMORE
I K~S SOCIALIST£ AUTONOME T~ KOSOV£S
PRISHTIN£
UNIVERSITETI I KOSOVES NE PRISHTINE
FAKULTETI I SHKENCAVE MATEMATIKOcNATYRORE
Dr. RASIM BEJTULLAHU
Dr. JOSIP MOSER
·H YRJE NE TEORI TE
RELA TIVITETIT
ENTI I TEKSTEVE DHE I MJETEVE MtlSIMORE
I !>:RAHINtlS SOCIALISTE AUTONOME Ttl KOSOVtlS
P R I S H T I N tl 1984
BIBLIOTEKA TEKSTET UNIVERSITARE
~-------------------~
Recensente:
1. Dr. Jahja Koka
2. Dr. Ahmet Veseli
Redaktor profesional
Refik Bekteshi, prof.
Redak.tor'
Tafil Morina, prof.
Me vendimin e Keshillit Mi!simor Shkencor te Pleqi!sise se Universitetit te Kosoves, nr.
632 te dates 20 qershor 1983, lejohet te perdoret si tekst universitar.
Ne haze te mendimit te Kon'litetit Krahinor per Arsim, Shkence e Kulture, e ·me vendimin, 04.
nr. 413~235/80, ky tekst eshte i liruar nga tatimi ne qarkullim.
PERMBAJTJA
Faqe
HYRJE ····················································'················· 9
DIS A PROBLEME Tii FIZIKES KAH FUNDI I SHEKULUT XIX........ 9
1. A;istoteli~ Gal~lei dhe Njutni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 9
2. S1stemet Inerc1ale ............................... ·. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 10
3. Parimi i relativitetit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4. Eteri kozmik dhe problemet e lidhura me te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 14
5. Eksperimenti i Fizos, i Majkelsonit dhe aberacioni i dritCs . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6. Tent imet e Lorencit, Fixheraldit dhe tC Puankares per shpjegimin e rezultatit
negativ tC eksperimentit te Majkelsonit ..........· .................. ·. . . . . . 17
7. Postulate! e teorise speciale te relativitetit ................ .-.......... 18
8. Relativiteti i kohes. Njekohesia sipas Ajnshtajnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I. TRANSFORMIMET E LORENCIT DHE RRJEDHIM.ET E TYRE 22
1. Transformimet per pozite speciale te boshteve tC koordinatave ... . 22
2. Transformimet e Lorencit ne forme vektoriale ..........· . , ................ . 25
3. Invaria_nc~ .e ~k~.a~ionit te vales ndaj transformimeve te Lorencit . , ... : ... . 27
t 29
~~fe~~~I ~;h~~es~~e. .· .· ." ." ." ." .· .· ." ." ." ." ." ." ." ." ." ." ." ." :;·.':.~::·.·.·.·.·.·_-.".". ·.· ..... ·.·. ·. ·. ·. ~ ~: :-: ·. 31
6. Shprehjet e transformimit te komponenteve te s~pejtesiEC ne TS;R gjate k~limit
nga nje sistem inercial te referimit ne tjetrin ............................ . 32
7. Shprehjet per transformim te intensitetit dhe te kahut tC shpejtesise. Shqyr-
timi relativist i aberacionit ........................... :. : .............. . 38
8. Shqyrtimi i perhapjes se valeve ne TSR .................. . 40
9. Madhesite absolute ne TSR .................................... . 43
10. Interpretimi gjeometrik i renditjes se ndodhive ................. . 47
II. KONTINUMI HAPESIRE-KOHE ................................... . 50
l. Inv~r~a~ca e ..l igjeve te fizikes ndaj transformimeve te ~orencit dhe kontinumi
hapestre-kohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2. Transformimet e Lorencit si rrotullim ne hapCsiren katCrdimensionale 52
3. Paraqitja gjeometrike ne kontinumin ·hapCsire-kohe~ .-................ 54
III. MEKANIKA E TEORISE SPECIALE Tii RELATIVITETIT ....... . 62
1. 4-vektori i shpejtesise dhe i nxitimit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2. Masa ne traitimin relativist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3. Formula e transformimit te mases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4. Forca e Minkovskit ........................................ , ....... , . 68
5. Shqyrtimi i ekuacionit relativist te dinamikCs se pikes materiale . . . . . . . . . . . . 72
6. PCrfitimi i shprehjes relativiste per enernrgji ti:! trupit , , .. , . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7. Si te kuptohet ekuivalenca ne mes tC mases dhe energjise . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8. Impulsi dhe energjia si tersesi relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 77
4 HYRJE NE TEORI Tlt RELATIVITETIT
faqe
9. Disa shembuj te zbatimit te ligjit te ruajtjes se energji-impulsit ........... . 79
10. 4-tenzori i momentit te sasise se Ievizjes dhe 4-tenzori i momentit tC forces 88
11. Tenzori i energji-impulsit te trupave makroskopike ................ . 92
12. Funksionet e Lagranzhit dhe te Hamiltonit ne teori ti! relativitetit 94
13. Levizja drejtvizore nji!trajtesisht e nxituar e pikes materiale 96
14. Forma relativiste e formules sC Binetit ............. . 98
15. Percaktimi i orbites ........................ . 101
IV. NJEHSIMI TENZORIAL DHE GJEOMETRIA E RIMANIT .... 103
1. Perkufizime te pi!rgjithshme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2. Transformimi i ko6rdinatave gjate rrotullimit te sistemit te Dekartit 105
3. Perkufizimi i terizorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4. Hapsira n-dimensionale .... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11:?.
5. Vektoret kontravariante dhe kovariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6. Tenzoret kontravariante, kovariante dhe te pCrzier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7. Disa operime themelore me ten?.ore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8. Metrika dhe hapesirat metrike. Invarianca e intervalit ne TP;R. . . . . . ... ·:.. 122
9. Tenzori fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10. Shumezimi me tenzore fundamentak. Tenzoret e shoqeruar . . . . . . 126
1 I. Invarianca vellimore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
12. Simbolet e Kristofelit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
13. Lidhshmeriane mes te simboleve tC Kristovelit dhe te determinantesg . . . . . . . . 132
14. Vijat gjeodezike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
15. Derivatet kovariante te vektoreve kovariante dhe kontravariante 136
16. Diferencimi kovariant i tenzoreve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
17. Formulimi kovariant i derivateve hapesinore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
v.
ELEKTRODINAMIKA RELATIVISTE ........................... . 143
1. 4-vektori i potencialit dhe 4-vek.tori i rrymes . . . . . . . . . . . . 143
2. Paraqitja e vektorCve te fushCs elektromagnetike me ndihmen e 4-potencialit . . 148
3. Transformimi i fushCs elektrike dhe magnetike ............ , .. , ....... ,.... 152
4. Transformimi i polarizimit elektrik dhe magnetike . , , , .... , ..... , . . . . . . . . . 154
5. Shembuj tC zbatimit te transformimit te fusbes elektromagnetike . . . . 157
6, Potencialet e Lienard-Vihertit. Efekti i <;:erenkovit .. , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7. Forma kovariante e ekuacioneve te Maksvelit ne boshllek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8. Forma kovariante e ekuacioneve tC Ma,ksvelit ne mjedise materiale 170
9. Invariantet e fushes elektromagnetike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10. Forca katCrdimensionale e Lorencit ....... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
11, Tenzori i energji-impulsit i fushCs elektromagnetik:e ...... , ............ , . . 1 77
12. Lidhshmeria ne roes tC forces katCrdimensionale tC Lorencit dhe te tenzorit tC
energjiimpulsit tC fushes elektromagnetike ........ , ... -......... , . . . . . . . . 182
13. Funksionet e Lagranzhit dhe te Hamiltonit per ngarkese ne fushen elektro-
magnetike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J 87
14. Levizja e grimces se ngarkuar ne fushen homogjene konstante magnetike . . . . 189
VI. HYRJE Nil TERMODINAMIKilN RELATIVISTE ..................... . 19Z
1. PCrkufizime themelore .................... .'........................... 192
2. Transformimi i komponenteve tC tenzorit tC energji-impulsit te trupit makro-
skopik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
3. Puna e nje procesi te ~faredoshem te rikthyeshem termodinamik . . . . . . . . . . . . 197
4. Njehsimi i impulsit te sistemit termodinamik nga puna e forcave mekanike . . . . 200
5. Forma katerdimensionale e ligjit te dytC tC termodinamikes . . . . . . . . . . . . . . . . 202
LITERATURA E PilRDORUR Nil TSR 204
VII. HYRJE Nil TEORI Til PilRGJITHSHME Til RELATIVITETIT . . . . . . . . . . 207
1. Parimet thiinelore tC Ajnshtajnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 207
2. Perkulshmeria e hapesires se Rimanit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
PERNABAJT,TA 5
faqe
3. Tenzori i Ajnshtajnit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4. Forma e pergjithshme e ekuacionit te fushes se gravitetit . . . . . . . . . . . . 214
5. Levizja e grimd!s se lire ne fushe te gravitetit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6. Teoria e Njutnit si rast special i ekuacionit te fushes se gravitetit te TPR . . 218
7. Zgjidhja e Shvarcshlidit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8. Precesioni i perihelit te Merkurit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9. Perkulja e rrezeve te drites ne fushC te fuqislune te gravitetit........ 233
10. Zhvendosja e vijave spektrale kah pjesa e kuqe e spektrit nen ndikimin e fushes
sC gravitetit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
VIII. ZBATIMI I TEORISE Si;: PERGJITHSHME TE RELATIVITETIT Ni;:
KOZMOLOGJI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
t. 1\1.etrika ne teorite kozmologjike .. 241
2. Disa veti te hapesires sferiko-eliptike 244
3. Ekuacionet kozmologjike ................... . 246
4. Kozmosi i Ajnshtajnit ............. . 249
5. Kozmosi iDe Siterit ............ . 250
6. Kozmosi i Lemetrit .............. . 251
7. Modelet pa konstante kozmologjike 253
8. Zgjerimi i GjithCsise .. 256
PERFUNDIM 259
LITERATURA E PERDORUR Pi;:R TPR ............. . 262
PARATHENIE
Ky libi!r u dedikohet, ni! radhi! ti! pari!, studenti!ve ti!
Jiziki!s prani! Fakultetit ti! Shkencave Matematiko-Naty
rore nif Prishtinii, por, njiikohlisz"sht, mund ta pi:."rdorin edhe
tii gjithi/ studentJ't e Univers£teth re· Kosovils, U ct"Ut nif
studimet e tyre e di!gjojni! li!ndi!n e fiziki!s. Po ashtu, libri
paraqet ndihmi! edhe pi!r ata ti! cili!t i kani! kryer studimet e
qii diishirojnii t'i thellojnii dituriti e veta nga li!mi i teorise·
se: relativitett't.
Teksti i!shti! ndari! ni! 8 kapituj, ti! ci/i!ve u paraprin
arsyetimi i paraqitjes sii teorisii sii relativitetit dhe zhvillimi
historik i dukurive ui! fiziki! deri ni! paraqitjen e saj. Keto
probleme jane-paraqitur nl kuadi!r ti! hyrjes.
Kemi bi!ri! pi!rpjekje qi!, nji!kohi!sisht, ti! prekim ti! gjithi!
liimiinjtil e fizikiis, nl! tii ciliJt paraqiten ejektet relativiste.
Veyaniirisht, vend tii merituar i kemi dhe:nii termodinamike·s
relativiste, e cila nii ti! gjitha tekstet e botuara deri nif vitin
1965 e ka ti! gabuar transformimin e sasisi! si! nxehti!sise dhe
tif temperatures. Ky gabim parimor iishti! trashiiguar gati
50 vite ni! fiziken teorike si rezultat i autoritetit mjaft ti!
madh ti! Ajnshtajnit dhe ti! disa ko/osi!ve ti! tjeri!. Kete kapi
tu/1 e pi!rpiluam duke u mbi!shtetur ni! punimet me ti! reja ti!
botuara ne· viteve ti! fundic.
(:do kapitu/1 i!shti! shi!nuar me shifi!r romake, ndlrsa
fdO mi!sim, ni! kuadi!r ti! tij, me shifi!r tjeti!r. Ni! ;do mesim
shprehjet fi/lojni! nga numi!ri nji!. Nese ki!rkojmi! ndonji!
shprehje nga miisimi i kaluar, ati!herii si! pari shilnohet numri
i kapitullit, pastaj numri i mi!simit dhe me shifri!n e treti!
kemi shi!nuar numrin rendor til shprehjes nii ati! miisim.
Nif ki!ti! libi!r, hyrjen dhe kapitujt I-VIi ka hartuar
R. Bejtullahu, ndi!rsa kapitujt VII dhe VIII ]. Moser.
'
I
/
H Y R J E
DISA PROBLEME Tli FIZIKi:iS KAH FUNDI I SHEKULLIT XIX
1. ARISTOTELI, GALILEI DHE NJUTNI
Perfundimet intuitive per ligje te natyres shpeshhere jane te gabuara. Ato
mund te nxirren nga pervoja ndonjehere vetem ne dukje, por vete pervoja site tilla
nuk i pranon. Do te fillojme nga problemi i levizjes, i cili ne dukje eshte mjaft i
thjeshte dhe i cili pikerisht nga ky supozim ngeli i pashpjegueshem gjate mijavje-
9areve. Pervoja na tregon se nderrimi i pozites se ndonje trupi shkaktohet nga
ushtrimi i veprimit ne te. Ne raste me te thjeshta, ky veprim mund te jete: shtyrje,
ngritje, terheqje etj. Duke u nisur nga fakti se ne procesin e nderrimit te pozites
trupi kryen levizje, nga intuita mund te perfundojme se Ievizja eshte e lidhur ngus
htesisht me ushtrimin e veprimit. Kesisoj, na duket i natyrshem perfundimi in
tuitiv qe sa me i forte te jete veprimi ne ndonje trup, aq me e madhe do te jete
shpejtesia e tij. Nje mendim te ketille e paraqiti edhe Aristoteli, ne ,Mekaniken"
e te cilit lexojme: , Trupi nii Uvizje ndalon kur fore a qe· e shtyen pushon sii vepruari".
Kuptohet, ky perfundim eshte nxjerre nga pervoja, se me te vertete karroca e terhe
qur nga kater kuaj ecen me shpejt se nje karroce e terhequr nga dy kuaj. Mirepo,
ky perfundim per levizjen eshte teresisht i gabuar dhe mjerisht ne shkence ka
qene i pranuar shume shekuj nga autoriteti mjaft i madh i Aristotelit. Shpjegimi
eshte i gabuar, sepse kemi te bejme me levizje te karroces ne te cilen esbte e pra
nishme edhe forca e ferkimit. Karroca do te levize perderisa veprimi terheqes i
muskujve te kuajve te jete me i madh apo i barabarte me forcen e ferkimit te saj.
Ne te kunderten ajo do te ndalet. Duke u bazuar ne perfundimin e Aristotelit,
kuptojme se shpejtesia e trupit njekohesisht tregon se a veprojne apo nuk veprojne
forcat e jashtme ne te.
Madheshtia e nje perfundimi qendron ne nxjerrjen e tij nga nje eksperiment
abstrakt, i cili nuk ndeshet ne jeten e perditshme, por si i tille shpreh realitetin.
Kesisoj, studimin per levizje e vazhdoi Galilei dhe e perfundoi Njumi. Nese kemi
mundesi qe ta evitojme teresisht ferkimin ne mes te rrotave dhe boshteve te karro
ces, rrotave dhe rruges neper te cilen leviz, po qe njekohesisht levizja te kryhet
ne boshllek, atehere ajo do te levize edhe pa veprim te vazhduar te muskujve te
kuajve. Mjafton qe njehere te filloje levizjen dhe pastaj nuk do te ndalet perderisa
nje veprim tjeter te mos ushtrohet ne te. Mendim te ketille kishte Galilei, te cilin
e shkroi ne ,Bisede per dy shkenca te reja" ne kete forme: ,Nji! shpejtifsi e ;fare-
