Hopf Algebróides

191 Pages·2016·0.807 MB·Portuguese

by  Ricardo David Morais Da Silva

Universidade Federal de Santa Catarina
Curso de P(cid:243)s-Gradua(cid:231)ªo em MatemÆtica
Pura e Aplicada
Hopf Algebr(cid:243)ides
Ricardo David Morais Da Silva
(cid:176)
Orientador: Prof. Dr. Eliezer Batista
Florian(cid:243)polis
Fevereiro de 2016
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Universidade Federal de Santa Catarina
Curso de P(cid:243)s-Gradua(cid:231)ªo em MatemÆtica
Pura e Aplicada
Hopf Algebr(cid:243)ides
Disserta(cid:231)ªo apresentada ao Curso de P(cid:243)s-
Gradua(cid:231)ªo em MatemÆtica Pura e Apli-
cada, do Centro de CiŒncias F(cid:237)sicas e
MatemÆticas da Universidade Federal de
Santa Catarina, para a obten(cid:231)ªo do grau
de Mestre em MatemÆtica, com `rea de
Concentra(cid:231)ªo em `lgebra.
Ricardo David Morais da Silva
Florian(cid:243)polis
Fevereiro de 2016
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Hopf Algebr(cid:243)ides
por
1
Ricardo David Morais da Silva
Esta Disserta(cid:231)ªo foi julgada para a obten(cid:231)ªo do T(cid:237)tulo de (cid:16)Mestre(cid:17),
`rea de Concentra(cid:231)ªo em `lgebra, e aprovada em sua forma
(cid:28)nal pelo Curso de P(cid:243)s-Gradua(cid:231)ªo em MatemÆtica Pura e
Aplicada.
Prof. Dr. Daniel Gon(cid:231)alves
Coordenador
Comissªo Examinadora
“
Prof. Dr. Eliezer Batista
(Orientador - UFSC)
Prof. Dr. Marcelo Muniz Silva Alves
(Universidade Federal do ParanÆ - UFPR)
Profa. Dra. AldaDayanaMattosMortari
(Universidade Federal de Santa Catarina- UFSC)
Prof. Dr. Felipe Lopes Castro
(UniversidadeFederaldeSantaCatarina-UFSC)
Florian(cid:243)polis, Fevereiro de 2016.
1Bolsista do Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient(cid:237)(cid:28)co e Tecnol(cid:243)gico -
CNPq
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Agradecimentos
Agrade(cid:231)o primeiramente (cid:224) Deus por toda sua bondade. Agrade(cid:231)o
(cid:224) toda minha fam(cid:237)lia por sempre estar ao meu lado, mesmo estando
distante. Em especial, agrade(cid:231)o aos meus av(cid:243)s JosØ Vicente e Maria
Grinaura, por terem praticamente me criado, (cid:224) minha mªe Marilene,
por sempre me amar, meu irmªo Fabiano e minhas irmªs, Rosilene,
Rozileide e Roseane, por sempre estarmos unidos em todos os momen-
tos, saibam que eu amo todos vocŒs. Agrade(cid:231)o (cid:224) minha namorada e
meu amor Jadna, por tornar a minha vida mais feliz e por me mostrar
o verdadeiro sentido do amor e da vida.
Agrade(cid:231)oaomeuorientadorprofessorEliezer,porsempreacreditar
no meu potencial e me incentivar a continuar os meus estudos em Ma-
temÆtica. (cid:192) professora Alda, por tudo que fez por mim, por ter sido
minha orientadora no TCC, por ter aceito participar da banca da mi-
nha disserta(cid:231)ªo, fazendo valiosas corre(cid:231)ıes, por tambØm acreditar na
minha capacidade e pelos vÆrios conselhos que me deu, me ajudando a
crescer como estudante. Aos demais professores da banca, por terem
aceito o convite para lerem meu trabalho e pelas corre(cid:231)ıes feitas.
Agrade(cid:231)o ao meu colega de mestrado e amigo Gabriel, pela compa-
nhianos(cid:28)nsdetardeepelaajudanessesdoisanos, poissempreesteve
dispostoatirarminhasdœvidas. Agrade(cid:231)otambØmaosdemaiscolegas
e amigos que encontrei nessa jornada.
Por(cid:28)m,agrade(cid:231)oaoCNPq,pelosuporte(cid:28)nanceiroquepossibilitou
o desenvolvimento deste trabalho.
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Resumo
O objetivo principal deste trabalho Ø de(cid:28)nir e exempli(cid:28)car Hopf al-
gebr(cid:243)ides, que sªo uma das generaliza(cid:231)ıes de Ælgebras de Hopf, sobre
uma Ælgebra base nªo comutativa, isto Ø, que sªo constru(cid:237)dos a partir
de bim(cid:243)dulos sobre um anel R, nªo necessariamente comutativo. Para
tanto, de(cid:28)nimos e exempli(cid:28)camos tambØm bialgebr(cid:243)ides, que consti-
tuem a melhor generaliza(cid:231)ªo do conceito de biÆlgebra. Exploramos
diversas no(cid:231)ıes equivalentes a de bialgebr(cid:243)ide, como as × -biÆlgebras
R
de Takeuchi. No decorrer do trabalho, apresentamos alguns resultados
dateoriadebiÆlgebrasedeÆlgebrasdeHopfquesªoestendidosparao
(cid:226)mbito de bialgebr(cid:243)ides e de Hopf algebr(cid:243)ides. Como um exemplo im-
portante de resultado, podemos citar o fato de a categoria de m(cid:243)dulos
sobre um bialgebr(cid:243)ide B ser monoidal, tal que o funtor esquecimento
M −→ M Ø estritamente monoidal e um anÆlogo para o caso de
B R R
com(cid:243)dulos sobre bialgebr(cid:243)ides. No (cid:28)nal do trabalho apresentamos a
no(cid:231)ªo de × -Hopf Ælgebra proposta por P. Schauenburg, que Ø uma
R
no(cid:231)ªo mais geral do que Hopf algebr(cid:243)ides.
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