homología singular

139 Pages·2015·2.37 MB·Spanish

HOMOLOGÍA SINGULAR
MEMORIAS ACADÉMICAS
EN HONOR DE
AGRIPINO GARCÍA ARMAS
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
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HOMOLOGIA SINGULAR
Agripino Garc´ıa Armas
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Indice general
0.1. Presentaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.2. Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1. CONCEPTOS PRELIMINARES 7
1.1. Categor´ıas y funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. TEOR´IA DE HOMOTOP´IA ELEMENTAL 13
2.1. Homotop´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Equivalencia homot´opica y espacios contraibles . . . . . 20
2.3. Cofibracio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. H-Espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5. H-Coespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6. Construccio´n de James . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7. Desviacio´n de aplicaciones entre H-espacios . . . . . . . . . . . 41
2.8. Sucesio´n exacta de Barrat- Puppe . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3. TEOR´IA DE HOMOLOG´IA 47
3.1. Axiomas de Eilenberg -Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Homolog´ıa de complejo de cadenas . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3. Homomorfismo inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4. Homotop´ıa de cadenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5. Teorema de modelos ac´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4. HOMOLOG´IA SINGULAR 73
4.1. Complejo singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2. Invariabilidad bajo homotop´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3. Subdivisio´n baric´entrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4. Susecio´n de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5. APLICACIONES ELEMENTALES 99
5.1. Teorema de punto fijo de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2. Grado de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
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4
6. HOMOLOG´IA CELULAR 107
6.1. Espacio celular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7. RELACIO´N ENTRE LOS GRUPOS DE HOMOTOP´IA Y
HOMOLOG´IA 111
7.1. Teorema de Hurewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.2. Teorema de Whitehead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8. FIBRACIONES 113
8.1. Fibraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2. Haces fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9. ANILLO DE COHOMOLOG´IA SINGULAR 125
9.1. Cohomolog´ıa singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.HOMOLOG´IA DE ESPACIOS FIBRADOS 131
10.1.Pareja Exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.2.Sucesi´on espectral de una fibracio´n . . . . . . . . . . . . . . . 136
10.3.Cuadrados de Steenrod y relaciones de Adem . . . . . . . . . 136
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0.1. Presentacio´n
Estas notas tienen por objeto presentar la homolog´ıa singular y algunas
aplicaciones a resultados cl´asicos, surgieron de un curso que el autor dicto´ en
el segundo semestre del an˜o 1998 en la Escuela Acad´emico Profesional de
Matema´ticas para los estudiantes del octavo semestre en la Universidad Na-
cional Mayor de San Marcos.
Considero que el material que aqu´ı se presenta, debe ser del conocimiento
de todo estudiante de Licenciatura en Matema´tica, justificando as´ı la apari-
cio´n de estas notas.
6
0.2. Introduccio´n
El objeto de la Topolog´ıa Algebraica es hallar modelos algebra´ıcos de los
espacios topol´ogicos . As´ı , si X es un espacio topolo´gico , un modelo puede
ser un grupo,T(X), y si f : X → Y es una aplicacio´n continua es natural
requerir que induzca un homomorfismo T(f) : T(X) → T(Y) tal que:
f g
1. Si X −→ Y −→ Z, T(g ◦f) = T(f)◦T(g) : T(X) −→ T(Z)
2. Si id : X −→ X es la aplicacio´n identidad ,T(id ) : T(X) −→ T(X)
X X
sea el homomorfismo identidad.
Bajo estas condiciones si f : X −→ Y es homeomorfismo entonces
T(f) : T(X) −→ T(Y) es isomorfismo. Luego T(X) (cid:54)= T(Y) implica que
X no es homeomorfo a Y.
Un problema que siempre se presenta es : Dados un subconjunto A de
un espacio topol´ogico X y una aplicacio´n continua g : A −→ Y existe una
aplicacio´n continua f : X −→ Y tal que f | = g ?
A
Existen, en casos particulares, soluciones famosas .
Teorema de extensio´n de Tietze. Sea A un subconjunto cerrado de
un espacio topolo´gico X y g : A → R una aplicacio´n continua, entonces existe
f : X → R una aplicaci´on continua tal que f | = g
A
Un espacio X es conectable por trayectorias si para cualesquiera x,y ∈ X
existe ϕ : [0,1] −→ X una aplicaci´on continua tal que ϕ(0) = x y ϕ(1) = y
La conectabilidadportrayectorias puedeplantearse como un problema de
extensio´n. Sea A = {0,1} , X = [0,1] entonces Y es conectable por trayecto-
rias s´ı y so´lo si para cada par de puntos x, y de Y , la aplicacio´n ϕ : A −→ Y
es tal que ϕ(0) = x y ϕ(1) = y puede extenderse a f : X −→ Y
Por medio del modelo T(X)el problema de extensio´n induce un problema
de extensi´on algebra´ıca
T(X)
T(i) (cid:37) (cid:38) T(g)
T(A) T(f) T(Y)
−−→
Cap´ıtulo 1
CONCEPTOS
PRELIMINARES
1.1. Categor´ıas y funtores
Introducimos el lenguaje de categor´ıas y funtores por dos razones: La
primera es que se encuentra con frecuencia estos conceptos cuando lee los
articulos de la referencia y la segunda es que resulta la formulaci´on mas
conveniente de muchos de los resultados de estas notas estan dadas en este
contexto
Definicio´n 1.1.1 Una categor´ıa C consiste de:
1. Una clase de objetos, denotado por Obj(C)
2. Para cualquier par de objetos A,B, un conjunto de morfismos de A
a B,denotado por Mor (A,B). Si f ∈ Mor (A,B), A se denomina
C C
f
dominio de f y B el rango de f, se escribe f : A → B ´o A → B
3. Para cualquier terna ordenada de objetos A,B,C se da una ley de com-
posici´on
Mor (A,B)×Mor (B,C) → Mor (A,C)
C C C
(f,g) (cid:55)−→ g ◦f
satisfaciendo las siguientes dos axiomas:
1. Si f ∈ Mor (A,B),g ∈ Mor (B,C), h ∈ Mor (C,D) entonces
C C C
h◦(g ◦f) = (h◦g)◦f
7
8 Categor´ıas y Funtores
2. Existe un morfismo identidad id ∈ Mor (A,A) tal que para cuales-
A C
quiera f ∈ Mor (A,B), g ∈ Mor (C,A) se verifica
C C
f ◦id = f, id ◦g = g
A A
este morfismo identidad es u´nico, en efecto,
id = id id, = id,
A A A A
Ejemplo 1 Categor´ıa de conjuntos, C = Conj
Los objetos de esta categor´ıa son los conjuntos y los morfismos las aplicacio-
nes entre conjuntos con la composici´on usual
Ejemplo 2 Categor´ıa de grupos abelianos, C = GA
Los objetos de esta categor´ıa son los grupos abelianos y los morfismos los
homomorfismos de grupos con la composici´on usual
Ejemplo 3 Catregor´ıa de espacios topolo´gicos , C = TOP
Los objetos de esta categor´ıa son los espacios topol´ogicos y los morfismos las
aplicaciones continuas con la composici´on usual
Ejemplo 4 Sea G un grupo y la categor´ıa que contiene a G como u´nico
objeto y morfismos los elementos de G multiplicando a la izquierda
Definicio´n 1.1.2 Sean C y D dos categor´ıas. Un funtor covariante T de
C a D, escrito, T : C → D, asocia a cada objeto A ∈ C un objeto T(A) ∈ D
y a cada morfismo f : A → B de C un morfismo T(f) : T(A) → T(B)de D
tal que
f g
1. T(f ◦g) = T(f)◦T(g) para todo morfismo A → B → C
2. T(id ) = id para todo A ∈ Obj(C)
A T(A)
Un funtor contravariante T de C a D, escrito, T : C → D asocia a cada
objeto A ∈ C un objeto T(A) ∈ D y a cada morfismo f : A → B de C un
morfismo T(f) : T(B) → T(A) tal que
f g
1. T(f ◦g) = T(g)◦T(f) para todo morfismo A → B → C en C
2. T(id ) = id para todo A ∈ Obj(C)
A T(A)
Ejemplo 5 Funtor identidad , id : C → C
id(A) = A para todo A ∈ Obj(C) y id(f) = f para todo f ∈ Mor (A,A)
C
conceptos preliminares 9
Ejemplo 6 Si T : C → D y S : D → E dos funtores , la composici´on
S ◦T : C → E definido por (S ◦T)(A) = S(T(A) y (S ◦T)(f) = S(T(f)) es
un funtor
Ejemplo 7 Para cualquier D ∈ Obj(D) fijado tenemos el funtor constante
T : C → D tal que T(A) = D para todo A ∈ Obj(C) y T(f) = id para todo
D
f ∈ Mor (A,B)
C
Ejemplo 8 Sea C la categor´ıa de conjuntos, n un nu´mero natural,T : C → C
tal que T(A) = An para todo ∈ Obj(C), T(f) = fn para todo f ∈ Mor (A,B)
C
es un funtor
Ejemplo 9 Sea C la categor´ıa de espacios topol´ogicos , T : C → C tal que
(cid:80)
T(X) = X = suspenci´on de X = espacio de identificacion de X × I al
(cid:80) (cid:80) (cid:80)
identificar X×0 y X×1 a puntos , X ∈ Obj(C), T(f) = f : X → Y
(cid:80)
es un funtor, denominado funtor suspensi´on denotado por
Ejemplo 10 Sea C la categor´ıa de espacios topol´ogicos , T : C → C tal que
T(X) = Ω(X) = espacio de lazos de X = curvas que empiezan y terminan
en un punto fijo x para X ∈ Obj(C) , T(f) = Ω(f) : Ω(X) → Ω(Y) para
0
f ∈ Mor (X,Y) ,es un funtor denominado funtor lazo denotado por Ω
C
Ejemplo 11 Sea C la categor´ıa de espacios vectoriales sobre un campo K ,
T : C → C tal que T(A) = A∗ = Hom(A,K) para A ∈ Obj(C) y T(f) = f∗ :
B∗ → A∗ , para f ∈ Mor (A,B) es un funtor contravariante
C
Definicio´n 1.1.3 Si f : A → B, g : B → A son morfismos en una categor´ıa
C tales que g ◦ f = id entonces g se denomina inverso izquierdo de f, y f
inverso derecho de g.
Sifadmiteuninversoizquierdogytambienuninversoderechohentonces
g = g(fh) = (gf)h = h
en este caso a f se denomina una equivalencia o isomorfismo
SedicequeAesequivalentes aBsiexisteunisomorfismof ∈ Mor(A,B).
Una equivalencia en la categor´ıa Conj es una aplicacio´n biyectiva, una
equivalencia en la categor´ıa TOP es un homeomorfismo y en la catregor´ıa
GA es un isomorfismo en el sentido usual.
Proposici´on 1.1.1 SeaT : C → D unfuntorcovariante. Sif ∈ Mor (A,B)
C
es un isomorfismo entonces T(f) ∈ Mor (T(A),T(B)) es un isomorfismo y
D
T(f−1) = T(f)−1