Höhere Technische Mechanik: Lehr- und Übungsbuch

187 Pages·2002·4.05 MB·German

by  Prof. Dr.-Ing. Reiner Kreißig

Reiner KreiBig
Ulrich Benedix
Hohere Technische Mechanik
Lehr- und Ubungsbuch
Springer-Verlag Wien GmbH
Prof. Dr.-Ing. Reiner KreiBig
Dr.-Ing. Ulrich Benedix
Institut fiir Mechanik
Technische Universităt Chemnitz
Chemnitz, Bunelesrepublik Deutschlanel
Das Werk ist urheberrechtlich geschiitzt.
Die elaelurch begriineleten Rechte, insbesonelere elie eler Dbersetzung, eles Nachelruckes, eler
Entnahme von Abbilelungen, eler Funksenelung, eler Wieelergabe auf photomechanischem oeler
ăhnlichem Wege unel eler Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur
auszugsweiser Verwertung, vorbehalten.
Proelukthaftung: Sămtliche Angaben in eliesem Fachbuch (wissenschaftlichen Werk) erfolgen
trotz sorgfăltiger Bearbeitung unel Kontrolle ohne Gewăhr. Insbesonelere Angaben iiber Dosie
rungsanweisungen unel Applikationsformen miissen vom jeweiligen Anweneler im Einzelfall
anhanel anelerer Literaturstellen auf ihre Richtigkeit iiberpriift werelen. Eine Haftung eles Autors
oeler eles Verlages aus dem Inhalt dieses Werkes ist ausgeschlossen.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in eliesem
Buch berechtigt auch ohne besonelere Kennzeichnung nicht zu cler Annahme, class solche Na men
im Sinne cler Warenzeichen-uncl Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wăren und
elaher von jeelermann benutzt werelen elurfen.
© 2002 Springer-Verlag Wien
Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Wien New York 2002
Reproduktionsfertige Vorlage von den Autoren
Geelruckt auf săurefreiem, chlorfrei gebleichtem Papier - TeF
SPIN 10777251
Mit 62 Abbildungen
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Ein Titelelatensatz fUr eliese Publikation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhăltlich.
ISBN 978-3-211-83813-6 ISBN 978-3-7091-6135-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-7091-6135-7
Vorwort
Die vorliegende Einfuhrung in die Hohere Technische Mechanik basiert auf einer
Lehrveranstaltung fur Studenten des Maschinenbaus, die wir seit zirka 10 Jahren
an der Technischen Universitat Chemnitz halten. Sie ist auf Probleme der linea
ren Elastizitatstheorie beschrankt. Ihr Ziel besteht in der Schlief&ung der Lucke
zwischen den Grundlagen der Mechanik deformierbarer Festkorper als Teilgebiet
der Technischen Mechanik und einem der wichtigsten numerischen Verfahren,
der Methode der finiten Elemente (FEM). Damit werden die erforderlichen Vor
kenntnisse fUr eine Vertiefung der FEM zur Verfugung gestellt.
1m 1. Kapitel erfolgt die Behandlung einiger Grundbeziehungen der Tensor
rechnung. Ihre Anwendung ermoglicht eine kompakte Darstellung des weiteren
Inhalts. Auf&erdem ist die Kenntnis des Tensorkalkiils eine notwendige Voraus
setzung fUr das Verstandnis von Ergebnissen der theoretischen Ingenieurwissen
s chaft en , zu denen auch die FEM-Handbucher gehOren.
Das 2. Kapitel enthalt die stoffunabhangigen und die stoffabhangigen Grund
lagen der linearen Elastizitatstheorie. Dabei konnte auf die Erlauterung solcher
Probleme wie der Transformation der Koordinaten des Spannungs-und des Ver
zerrungstensors bei Drehung des Basissystems und der Hauptachsentransforma
tion verzichtet werden, weil diese bereits in einem allgemeinen Zusammenhang
(1. Kapitel) erklart wurden.
Die Randwertprobleme der linearen Elastizitatstheorie und ihre analytische
Losung fur spezielle FaIle sind Gegenstand des 3. Kapitels. Hier besteht das
vorrangige Ziel darin, die notwendigen Voraussetzungen fUr die richtige Anwen
dung kommerzieller Software zu schaffen. Schwerpunkte sind die Formulierung
von Randbedingungen und das Erkennen von Gradienten der Feldgrof&en z. B.
infolge grof&er Querschnittsanderungen und konzentrierter Lasteintragungen. In
dies em Kontext ist auch die EinfUhrung des rotationssymmetrischen Problems
im Allgemeinen sowie des zugehorigen Verschiebungsrandwertproblems im Be
sonderen zu verstehen.
Am Anfang des 4. Kapitels werden Prinzipe der Mechanik behandelt. Ihnen
schlief&t sich die Beschreibung des Ritzschen Verfahrens zur Erzeugung von Na
herungslOsungen an. Diese Vorgehensweise bildet in leicht modifizierter Form
den Zugang zur Methode der finiten Elemente. Fur die Darstellung der Grund
lagen der FEM und deren Anwendung auf das 4-Knoten-Rechteck-Element als
einfaches Beispiel wird die hier vorteilhaftere Matrixnotation eingesetzt.
VI
Der Anhang enthiilt zahlreiche Ubungsaufgaben zu allen Kapiteln mit rela
tiv ausfiihrlichen Losungen und dient sowohl der Anwendung der theoretischen
Grundlagen als auch der Ausbildung gewisser Fertigkeiten. Mit Ausnahme eini
ger klassischer Beispiele wie der eingespannten Rechteckscheibe, der gelochten
Scheibe unter Zug oder der durch eine Einzelkraft belasteten Halbebene handelt
es sich urn eigene Aufgaben. An ihrer Entwicklung war der ehemalige Mitarbei
ter an der Professur Festkorpermechanik Herr Dr.-Ing. E. Bohnsack beteiligt,
dem an dieser Stelle gedankt sei.
Herrn Dr.-Ing. Uwe-Jens Gorke gebiihrt ein herzlicher Dank fiir die kritische
Korrekturlesung und seine Verbesserungsvorschliige.
Dem Lehrbuchcharakter entsprechend, wurde den Kapiteln lediglich eine
Auswahl weiterfiihrender Literatur angefiigt.
Reiner Kreii6ig, Ulrich Benedix
Inhalt sverzeichnis
1 Einfiihrung in die Tensorrechnung 1
1.1 Motivation 1
1.2 Tensor begriff 1
1.3 Tensorkoordinatentransformation 5
1.4 Tensoralgebra ..... 8
1.4.1 Tensoraddition 8
1.4.2 Tensormultiplikation 9
1.5 Hauptachsentransformation fur
symmetrische Tensoren zweiter Stufe 12
1.6 Tensorfelder, Differenzialoperationen 14
1.7 Flachenvektor, Gauf&scher Integralsatz 16
2 Grundgleichungen der linearen Elastizitiitstheorie 19
2.1 Stoffunabhangige Gleichungen . 19
2.1.1 Vorbemerkung .... 19
2.1.2 Statische Grundlagen 19
2.1.2.1 Spannungsvektor, Spannungstensor 19
2.1.2.2 Impulssatz ... 23
2.1.2.3 Drehimpulssatz. 25
2.1.2.4 Gleichgewichtsbedingungen 27
2.1.3 Geometrische Grundlagen ..... 28
2.1.3.1 Bewegung, Verschiebung 28
2.1.3.2 Verzerrung, Rotation .. 29
2.1.3.3 Kompatibilitatsbedingungen 33
VII
VIII
2.2 Stoffabhiingige Gleichungen .............. . 35
2.2.1 Begriindung der Notwendigkeit stoffabhiingiger
Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2 Linearelastisches Materialverhalten . 35
2.2.3 Thermoelastizitat .......... . 38
2.2.4 Orthotropie, transversale Isotropie, Isotropie 39
3 Analytische Losung des Randwertproblems der linearen
Elastizitatstheorie 43
3.1 Motivation .......... . 43
3.2 Randwertprobleme der Iinearen
Elastizitatstheorie ...... . 43
3.3 SpannungsformuIierung bei Isotropie 46
3.3.1 Ebener Spannungszustand . 46
3.3.2 Ebener Verzerrungszustand 48
3.4 Verschiebungsformulierung ..... 50
3.4.1 Grundgleichungen der Elastizitatstheorie in
Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . 50
3.4.2 Das axialsymmetrische Problem. . . . . 53
3.4.2.1 Definition, Grundgleichungen . 53
3.4.2.2 Ebener Spannungszustand . 54
3.4.2.3 Ebener Verzerrungszustand . 56
3.5 Das Prinzip von de Saint Venant ...... . 57
4 Allgemeine Losungsmethoden 59
4.1 Prinzipe der Mechanik .... 59
4.1.1 Prinzip der virtuellen Verschiebungen 59
4.1.2 Prinzip vom Minimum des elastischen
Gesamtpotenzials ...... . 63
4.1.3 Prinzip der virtuellen Krafte 65
4.2 Das Verfahren von Ritz ... 67
4.3 Methode der finiten Elemente 70
4.3.1 EinfUhrung ..... . 70
4.3.2 Verschiebungsansatz. 71
4.3.3 Anwendung des Verfahrens von Ritz auf ein Element. 74
4.3.4 FEM fUr das Grundgebiet . . . . . . . . . . . . . . . . 76
IX
4.3.5 Das 4-Knoten-Rechteck-Element 79
4.3.5.1 Verschiebungsansatz .. 79
4.3.5.2 Elementsteifigkeitsmatrix 82
4.3.5.3 Element belast ungsvektor 84
4.3.5.4 Grobstruktur eines FEM-Programms 90
4.3.5.5 Ein Beispiel. . . . . . 91
Anhang Ubungsaufgaben mit Losungen 93
A.l Aufgaben zu Kapitel 1 93
A.2 Aufgaben zu Kapitel 2 113
A.3 Aufgaben zu Kapitel 3 127
A.4 Aufgaben zu Kapitel 4 154
Sachverzeichnis 171
Kapitell
Einfiihrung in die
Tensorrechnung
1.1 Motivation
Der Tensorkalkiil stellt ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel in der Physik
sowie zunehmend in den theoretischen Ingenieurwissenschaften dar. Seine An
wendung ermoglicht bei nur wenigen Rechenregeln eine kompakte Darstellung
komplizierter Zusammenhange. Da z. B. in den Handbiichern fiir kommerzielle
Software (Methode der finiten Elemente, der Randelemente u. a.) die konti
nuumsmechanischen Grundlagen unter Verwendung dieses Kalkiils beschrieben
werden, sind entsprechende Kenntnisse auch im Anwendungsbereich erforder
lich.
1m Weiteren wird der dreidimensionale euklidische Raum R3 der Anschau
ung zu Grunde gelegt. Beim Ubergang auf die Komponenten- und Koordina
tendarstellung von Tensoren erfolgt eine Beschrankung auf die orthonormierte
(kartesische) Basis. Au~erdem werden nur diejenigen Grundlagen erlautert, wel
che fUr das Verstandnis der folgenden Kapitel erforderlich sind.
Bei der Behandlung der "Allgemeinen Losungsmethoden" (Kapitel 4) wird
parallel die Matrizenschreibweise verwendet. Deshalb werden im Kapitel 1 be
stehende Zusammenhange mit der Matrizenrechnung beriicksichtigt.
1.2 Tensorbegriff
Tensoren sind gerichtete, physikalische oder geometrische Gro~en. Die Anzahl
n der den Tensor charakterisierenden Richtungen wird Sture genannt.
1
R. Kreißig et al., Höhere Technische Mechanik
© Springer-Verlag/Wien 2002
2 1 Tensorrechnung
Die symbolische Darstellung von Tensoren wird wie folgt vereinbart:
a, A Tensor nullter Stufe
Beispiele: Temperatur, Dichte
Q, A. Tensor erster Stufe
Beispiele: Verschiebung, Geschwindigkeit, Kraft, Moment
4
g" Tensor zweiter Stufe
Beipiele: Spannung, Verzerrung
4
g" Tensor dritter Stufe
Q(n), A.(n) Tensor n-ter Stufe
Fur die Komponenten- und Koordinatenschreibweise im dreidimensiona
len euklidischen Raum R3 wird die orthonormierte oder kartesische Basis (siehe
Abb. 1.1) eingefuhrt, wobei zur Kennzeichnung der drei Basisvektoren die Ziffern
1, 2 und 3 anstelle von x, y und z dienen.
~1
Abb. 1.1: Orthonormiertes Basissystem
Ein orthonormiertes Basissystem besteht aus drei zueinander orthogonalen Ein
heitsvektoren.
(1.1)
Fur das Skalarprodukt der Basisvektoren mit i, j = 1, 2, 3 gilt unter Beachtung
von (1.1)
(1.2)
mit dem Kronecker-Symbol
I fUr i=j
8·· - { (1.3)
1) - 0 fUr i -=I j
Bezuglich der Basis (1.1) besitzt ein Vektor die Komponentendarstellung
(vgl. Abb. 1.2)
(1.4)