Table Of ContentAlfred Boge
Hohere Mathematik
zur
Mechanik und
Festigkeitslehre
Unter Mitarbeit von Walter Schlemmer
und Wolfgang WeiBbach
Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig/wiesbaden
1983
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1983
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Umschlaggestaltung: Hanswerner Klein, Leverkusen
Satz: Vieweg, Braunschweig
ISBN-13: 978-3-528-04240-0 e-ISBN-13: 978-3-322-84912-0
DOl: 10.1 007/978-3-322-84912-0
Vorwort
Das "Lehr- und Lernsystem Mechanik und Festigkeitslehre" wird mit diesem Heft er
weitert. Aufbauend auf den didaktisch reduzierten Darstellungen bestimmter Inhalte im
Lehrbuch erfahrt der Studierende, wie diese physikalisch -technischen Probleme ingenieur
miifl,ig mit Hilfe der Differential- und Integralrechnung zu behandeln sind. Wie im Lehr
buch werden auch hier die einzelnen Lernschritte griindlich erarbeitet.
Vor aHem KoHegen aus Schulformen, in denen die Anfange der hi:iheren Mathematik
behandelt werden, haben mich zu dieser Arbeit angeregt.
Braunschweig, im Miirz 1983 Alfred Edge
Zur Benutzung des Buches
1. Die Angabe "Lehrbuch Abschnitt..." verweist auf den betreffenden Abschnitt im
Lehrbuch ,,Mechanik und Festigkeitslehre" des Lehr- und Lernsystems
(Verlag Friedr. Vieweg & Sohn, BraunschweigjWiesbaden).
2. Die Angabe ,,AH 1 , ... " bei Fragen aus der hi:iheren Mathematik verweist auf das Buch
"Arbeitshilfen und Formeln fUr das technische Studium", Band 1, Grundlagen
(Verlag Friedr. Vieweg & Sohn, BraunschweigjWiesbaden).
III
Inhaltsverzeichnis
1 Aus der Dynamik ..................................... .
1.1 Einftihrung, Geschwindigkeits-und Beschleunigungsbegriff ............ .
1.2 Gegeniiberstellung der GraBen und Funktionen der Bewegungslehre
mit den Begriffen der Infinitesimalrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4
1.3 Weg als Zeitintegral der Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7
1.4 Beispiele aus der Bewegungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8
1.5 Aufgaben aus der Bewegungslehre .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12
1.6 Das dynamische Grundgesetz flir die Drehbewegung und die
Definitionsgleichung der Tragheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14
1. 7 Beispiele fur die Herleitung von Formeln zur Berechnung von
Tragheitsmomenten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
1.8 Aufgaben zu Tragheitsmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18
2 Aus der Festigkeitslehre .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19
2.1 Zug- und Druckstabe gleicher Spannung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19
2.2 Definition des axialen Flachenmomentes 2. Grades. . . . . . . . . . . . . . . . .. 22
2.3 Herleitung des Steinerschen Satzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
2.4 Beispiele flir die Herleitung von Formeln flir Flachenmomente 2. Grades. . .. 26
2.5 Aufgaben zu Flachenmomenten 2. Grades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
2.6 Herleitung der Biegehauptgleichung und der Torsionshauptgleichung ...... 30
2.7 Zusammenhang zwischen Biegemoment und Querkraft. . . . . . . . . . . . . . .. 32
2.8 Differentialgleichung der elastischen Linie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
2.9 Beispiele flir die Herleitung einer Durchbiegungsgleichung. . . . . . . . . . . . .. 40
2.10 Eulersche Knickungsgleichung ................................ 43
3 Aus der Statik ........................................ 45
3.1 Schwerpunktsbestimmung flir den Kreisbogen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45
3.2 Schwerpunktsbestimmung flir den,Kreisausschnitt ................... 46
3.3 Reibung am Spurzapfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
3.4 Eulersche Seilreibungsformel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50
4 Losungen . ........................................... 52
4.1 Lasungen aus der Bewegungslehre .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52
4.2 Lasungen zu Tragheitsmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52
4.3 Lasungen zu Flachenmomenten 2. Grades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54
Sachwortverzeichnis ......................................... 56
IV
1 Aus der Dyna'mik
1.1 Einfiihrung, Geschwindigkeits- und 8eschleunigungsbegriff
(Lehrbuch Abschnitt 4.1)
In der Bewegungslehre werden die nebenstehenden Beispieie flir Quotientenbildung (Lehrbuch
vier Definitionsgleichungen verwendet, die ein abschnitt in Klammern):
heitlich aufgebaut sind: Eine physikalische Gro~e . .. .6.s S2 - s,
wird als Quotient von zwei anderen GroEen aus Geschwmdlgkelt v = t;t = t2 _ t, (4.1.3)
gedrtickt und Zahler und Nenner sind Differenzen. .6. v V2 - v,
Auch in anderen physikalisch-technischen Berei Beschleunigung a=.6.t -=(2 -- -t, (4.1.4)
chen treten solche Quotienten haufig auf. Ein
Winkel-
Beispiel dafUr ist die Federrate c (auch Feder .6.«! «!2 -«!,
geschwindigkeit w = -= -- (4.2.6)
steifigkeit genannt). .6.t t2-(,
In der Mathematik werden Quotienten dieser Art Winkel w-w
als Differenzenquotienten bezeichnet. beschleunigung a = ~A = _2_ _I (4.3.2)
.6.t t2-t,
.6.F F2 -F,
Federrate c = .6.s = s;-=s; (4.5.3)
Tragt man gemessene Werte fUr die GroEen eines Beispiele fUr die graphische Darstellung von
Differenzenquotienten im rechtwinkligen Achsen Differenzenquotienten im Lehrbuch:
kreuz auf und verbindet die MeEpunkte mitein s. t-Diagramm (4.1.3)
ander, dann erhalt man den Graphen der Funktion. v,t-Diagramm (4.1.5)
So ergeben die MeEwerte filr die Federkraft Fund F.s-Diagramm (4.5.3)
fUr den Federweg (Spannweg) seiner Schrauben
feder den Graphen der Funktion F(s).
Sind Zahler und Nenner des Differenzenquotien
ten linear voneinander abhangig, dann ist der
Federkennlinie
Graph eine Gerade und man kommt fUr aile = Graph F(s) ____
Problemlosungen ohne die hohere Mathematik aus,
wie es im Lehrbuch gezeigt wird. 1m ailgemeinen
Faile ist die Abhangigkeit jedoch nichtlinear.
Beispiele dafilr zeigen die v. t-Diagramme im
Lehrbuch A bschnitt 4.1.1 und das nebenstehende
Federwegs
Federkraft-Federweg-Diagramm einer Schrauben
F.s-Diagramm einer progressiv wirkenden
feder mit ansteigender (progressiver) Kennlinie.
Schraubenfeder
Solche Federn werden beispielsweise im Fahr
zeugbau verwendet.
Aus den vereinfacht skizzierten Diagrammen mit s,t·Diagramm v,t-Diagramm
linearer Abhangigkeit der jeweiligen Gr6£en la£t lls II v
sich eine geometrische Erklarung flir Differenzen ~=M v !2!22,= .1t
quotienten herauslesen:
Der Differenzenquotient ist ein Ma£ fUr die "Steil
heit" des Graphen, denn der jeweilige Quotient
entspricht dem Tangens des Neigungswinkels a
der Geraden.
Die eingezeichneten Dreiecke sind die Steigungs
a,t-Diagramm F,s-Diagramm
dreiecke mit dem Steigungswinkel a. 1m folgen
den sol1 die Bezeichnung "Steigung" flir den Tan
gens des Steigungswinkels verwendet werden.
Anschauliches Beispiel: Die Steigung einer Stra£e
im Langsschnitt ist der Quotient aus dem H6hen
unterschied und der horizontalen Me£iange, also
der Tangens des Steigungswinkels.
Am Beispiel einer nich tlinearen Funktion s (t) flir
einen ungleichf6rmigen Bewegungsablauf sol1 die
Bedeutung des Differenzenquotienten flir den
allgemeinen Fall untersucht werden. Auch hier
lassen sich beliebige Steigungsdreiecke einzeich
nen. 1m Unterschied zu den Fallen mit linearer
Abhangigkeit ist hier der Differenzenquotient ein
Ma£ fUr die mitt/ere Steigung eines ausgewahlten
Kurvenstlicks zwischen zwei Punkten PI und P
2
des Graphen set). Darliber hinaus hangt der
Steigungswinkel von der Lage und Gr6£e des o
Steigungsdreiecks ab. 1m Unterschied zum kon
s,t-Diagramm einer ungleichfbrmigen
stanten Steigungswinkel a im FaIle der gleich
Bewegung
f6rmigen Bewegung wird er deshalb mit a bezeich
net.
Aus der Bewegungslehre im Lehrbuchabschnitt
4.1.3 wissen wir, da£ der Differenzenquotient
t:.s / t:. t die Geschwindigkeit u flir einen gleichf6r
migen Bewegungsablauf ist (u = t:.s/t:.t=konstant).
Der Graph set) ist dann eine Gerade. 1m FaIle der
ungleichf6rmigen Bewegung gibt der Differenzen
quotient als Steigung nur die mittlere Geschwindig
keit urn zwischen zwei willklirlich ausgewahlten
Zeitpunkten tl und t2 an. Urn ist diejenige Ge
schwindigkeit, init der sich ein K6rper bewegen
wlirde, wenn die Sekante im s, t-Diagramm der
Graph set) ware. (vergleiche mit Lehrbuch 4.1.4)
2
SolI ftir einen ungleichformigen Bewegungsablauf
$
die Momentangeschwindigkeit v zu einem be
stimmten Zeitpunkt (z.B. t I) gefunden werden,
dann ist nach dem Tangens des Steigungswinkels ex
der Tangente im Kurvenpunkt PI gefragt, also
nach der Steigung der Tangente in PI' Das ist das
Grundproblem der Differentialrechnung.l) Man
denkt sich die Sekante urn Punkt PI gedreht, bis
sie zur Tangente in PI wird. Bei dieser Drehung
wandert der Kurvenpunkt P nach PI und die
2
Sekante dreht sich immer mehr in die Lage der
o
Tangente hinein. Dabei wird der Zeitabschnitt Il t
immer kleiner und die mittlere Geschwindig s,l-Diagramm einer ungJeichfOrmigen
keit Vm nahert sich immer mehr der Momentan Bewegung
geschwindigkeit v. In der Sprache der Differential
rechnung hei£t das:
Die Momentangeschwindigkeit v(t) in einer V(I) = 1.1 m -t:.s = -ds =s. et)
ungleichfOrmigen Bewegung i t der Grenz tJ.1 ~ 0 t:.f dl
wert der mittleren Geschwindigkeit flir
Beachte: In der Kurzschreibweise wird die
Il t =? 0; sie ist damit die I. A bleitung der
Ableitung einer physikaJischen GroBe fUlch
Weg-Zeit-Funktion.
der Zeit durch den Punkt gekennzeichnet.
Genau die gleichen Uberlegungen, angestellt mit
der Gleichung flir die mittlere Beschleunigung
am = Ilv/Ilt (Lehrbuch 4.l.4) in Verbindung mit
dem v, t-Diagramm flihren zur Momentanbeschleu
nigung a:
Die Momentanbe chleunigung aCt) in einer aU) '" 1.1 m -t:.u '" -du '" V. (I)
ungleichformigen Bewegung i t der Grenz 61-0 t:.1 dl
wert der mittl r nB eschleulligung fLir Il t =? 0;
sie ist damit die I. bleitung der Geschwin
digkeit-Zeit -Fun ktion.
Da die Geschwindigkeit v(t) die l. Ableitung der a (f) '" vet) = set)
Weg-Zeit-Funktion ist, kann die Beschleunigung
a (t) auch als 2. Ableitung derse1ben Funktion
geschrieben werden.
1) Vom Problem der Tangentensteigung ging Leibnitz (1646-1716) aus, als er die Differentialrechnung entwickelte. Unab
hlingig davon kam Newton (1642-1727) iiber den Geschwindigkeitsbegriff zur Differentialrechnung.
3
1.2 Gegenuberstellung der GroBen und Funktionen der
Bewegungslehre mit den Begriffen der Infinitesimalrechnung
1m vorangegangenen Abschnitt sind die GraBen Geschwindigkeit und Beschleunigung mit
den Begriffen der Differentialrechnung definiert worden. In diesem Abschnitt werden die
Funktionen s(t), v(t) und aCt) nochmals im Zusammenhang mit der Differentialrechnung
betrachtet und dann auf ihre Beziehung zur Integralrechnung untersucht.
Stammfunktion ist die Weg-Zeit-Funktion s(t). Stammfunk tion
Die Steigung dieser Funktion ist das Verhaltnis
Weganderung ds . . .
Ze l.t.a. n d erung d t = Geschwmdlgkelt v(t). Graph s(t)
Die Geschwindigkeit v zu einem beliebigen Zeit
punkt t 1 wird aus der Tangentensteigung an dieser
Stelle ermittelt.
o
1. Ableitungsfunktion der Stammfunktion set) 1. Differentiation
ist die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v(t): v
d[s(t)] .
v(t) = -d-(- ""s(t)
Die Steigung dieser Funktion ist das Verhaltnis
Geschwindigkeitsanderung dv Beschleu-
Zeitanderung d t nigung aCt)
Die Beschleunigung a zu einem beliebigen Zeit ( I
punkt t 1 wird aus der Tangentensteigung an dieser II
Stelle ermittelt. I
I
I
I
I
I
2. Ableitungsfunktion der Stammfunktion s(t) 2. Differentiation I
ist die Beschleunigung-Zeit-Funktion a(t): a I
I I ...
IGraph aft) ~ v(t) ~ s(c}
I
d [v(t)] vct) II
a (l) I
dl I
o
d2 [s(t)] ..
a (t) 2 = s(t)
df
4
Auf der vorhergehenden Seite wurde mit Hilfe der Differentialrechnung zu einer gegebenen
Funktion die Ableitungsfunktion (der Differentialquotient) ermittelt. So wurde aus def
gegebenen Weg-Zeit-Funktion s(t) die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion u(t) =s (t) entwickelt
O. Ableitungsfunktion) und dann aus der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion u(t) die Beschleu
nigung-Zeit-Funktion a (t) = v(t) als 2. Ableitungsfunktion.
Die Integralrechnung ftihrt von der gegebenen Ableitungsfunktion (dem Differentialquotien
ten) zuriick zur Stammfunktion, wie die folgenden Schritte zeigen.
Ausgangsfunktion ist die Beschleunigung-Zeit A usgangs funk t ion
Funktion a (t): a
Graph alt! ~ sit!
d[u(l)1
aCt) = -j- = v(1)
l I
o
Diese Funktion kannen wir zweimal integrieren.
Es ergeben sich dann die folgenden zwei Integral
funktionen.
1. Integralfunktion der Beschleunigung-Zeit
I. Integration
Funktion a(t) ist die Geschwindigkeit-Zeit v
Funktion u (t): Graph vir) - falt!dt
u(l) = ./u{/)df
Die beim Lasen des unbestimmten Integrals hin
zutretende Integrationskonstante Chat dabei die
Bedeutung einer Anfangsgeschwindigkeit Uo zum c
Zeitpunkt t = O. Sie wird aus den Randbedingun
gen ermittelt (siehe Beispiele).
2. Integralfunktion der Beschleunigung-Zeit 2. Integra Cion
Funktion a(t) und damit auch 1. Integralfunktion
Graph sir) f viti dC
der Geschwindigkeit-Zeit-Funktion u(t) ist die
Weg-Zeit-Funktion s(f):
s(l) =JU(r)df c'r"'-__-
Die Integrationskonstante C hat die Bedeutung
einer Wegmarke, diE' 7um Zeitpunkt t = 0 E'fft'icht o
ist.
5
Naehbetraehtung
Mit dem jetzigen Erkenntnisstand k6nnen die im Lehrbuch verwendeten Gleichungen aus
Differenzenquotienten im Sinne der Differentialrechnung gedeutet und gebraucht werden.
Beispielsweise steht im Lehrbuch flir die Geschwindigkeit die Gleichung u = /::;.s//::;.t. Der
Differenzenquotient /::;.s/ /::;. t ist die Steigung der Sekante fih' zwei Kurvenpunkte im allge
meinen Fall der ung1eichf6rmigen Bewegung und damit die mittlere Geschwindigkeit. Der
Differentialquotient ds/dt dagegen ist die Steigung der Tangente an einen Kurvenpunkt und
damit die Momentangeschwindigkeit u. Dieser Ubergang yom Differenzenquotienten zum
Differentialquotienten laBt sich auch auf weitere Lehrbuchgleichungen anwenden, wie die
folgende Gegenilberstellung in vereinfachter Schreibweise zeigt.
Differenzenquotienten Differentialquotienten
/::;.S ds
mittlere Geschwindigkeit urn - ~ Mo men tangesch win digkei t u
M dt
/::;.u = du
mittlere Beschleunigung am - Momen tan beschleunigung a -
M dt
/::;.F dF
mittlere Federrate em ~ punktuelle Federrate e
/::;.S ds
/::;.W dW
mittlere Leistung Pm =e>- Momen tanleistung P
M dt
DaB im Lehrbuchdie Formelzeichen u, a, e und P verwendet werden und nicht Urn, am ,em
und Pm ist berechtigt, denn dort sind Zahler und Nenner der Differenzenquotienten linear
voneinander abhangig und die Steigung der Sekante ist mit der Steigung der Tangente
identisch.
Die Aufzahlung ist nicht vollstandig. Weitere Beispie1e k6nnen im Lehrbuch und in anderen
Bilchern flir viele physikalisch -technische Bereiche gefunden werden.
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