Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure

1009 Pages·2017·13.95 MB·German

by  Günter Bärwolff (auth.)

Günter Bärwolff
Höhere Mathematik
für Naturwissenschaftler
und Ingenieure
3. Auflage
Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler
und Ingenieure
Günter Bärwolff
Höhere Mathematik
für Naturwissenschaftler
und Ingenieure
3. Auflage
Unter Mitarbeit von Gottfried Seifert
Günter Bärwolff
Technische Universität Berlin
Berlin, Deutschland
ISBN 978-3-662-55021-2 ISBN 978-3-662-55022-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-55022-9
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Vorwort
IndemvorliegendenBuchsindzumeinenlangjährigeErfahrungenbeiderpro-
jektorientierten Zusammenarbeit zwischen Mathematikern, Physikern und In-
genieuren in interdisziplinären Arbeitsgruppen zur Lösung angewandter ma-
thematischer Aufgaben, zum anderen die Erfahrungen bei der mathematischen
Grundausbildung von Ingenieurstudenten an der Technischen Universität Ber-
lin zusammengeflossen. Dabei konnten wesentliche Vorstellungen der Kollegen
D. Ferus, R.D. Grigorieff, D. Krüger, K. Kutzler und H. Bausch, die ich in den
vergangenen 10 Jahren auch in meinen Vorlesungen verwendet habe, dankens-
werterweisegenutztwerden.
DiesesLehrbuchhatzumZiel,ineinemBanddiemathematischenInhaltezube-
handeln,dieüblicherweiseimGrundstudiumderIngenieureundPhysikerver-
mittelt werden. Da somit in einem Band ein sehr breites Spektrum zu bearbei-
tenwar,habenwirunsspeziellbeidenThemen”Funktionentheorie”,”Partielle
Differentialgleichungen”, ”Integraltransformationen” und ”Variationsrechnung
undOptimierung”nuraufGrundlagenkonzentriert,dieinderMathematikaus-
bildung von Ingenieuren an der Technischen Universität Berlin seitens der In-
genieurfakultätenfürwichtigerachtetwurden.DerInhaltdesBuchesbildetdie
Mathematikkurseweitestgehendab,dieanderTechnischenUniversitätBerlinim
Ingenieurgrundstudiumvermitteltwerden.
Auf Vorschlag einiger in der Mathematikausbildung von Ingenieuren tätigen
Fachkollegen anderer Universitäten wurde der ursprünglich vorgesehene Rah-
men um Kapitel zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik beträchtlich er-
weitert. Diese beiden Kapitel wurden im Wesentlichen von meinem langjähri-
genKollegenG.Seifertgeschrieben,derdurchkritischeHinweiseundVerbesse-
rungsvorschlägeauchanTeilendesübrigenTextesmitgewirkthat.
Um das Buch lesbar zu gestalten, war es nicht immer möglich, nur Begriffe zu
verwenden, die schon ausführlich besprochen und definiert sind. Es liegt z.B.
nahe, die Binomialkoeffizienten im Abschnitt über natürliche Zahlen einzufüh-
ren.UmdabeidannauchdiebinomischenFormelnzurBerechnungvon(a+b)n
sinnvollbehandelnzukönnen,setzenwirvoraus,dassaundbreelleZahlensind,
ohne den Begriff der reellen Zahl an dieser Stelle schon definiert zu haben. Ein
anderesBeispielistderVektorbegriff,beidemwirunszunächstaufSchulkennt-
nisse stützen, wenn wir Ungleichungen und Operationen mit komplexen Zah-
lengraphischdarstellen.SpäterwerdendanndieVektorenalsElementespeziel-
lerabstrakterVektorräumebehandelt.Wirwarenbestrebt,dieausDarstellungs-
undLesbarkeitsgründenvorabverwendetenBegriffeindenbetreffendenthema-
tischenAbschnittenzudefinieren.
Das Buch soll einerseits Studierenden der Ingenieur- und Naturwissenschaften
beiderMathematikausbildunganderUniversitätoderFachhochschuleeinnütz-
licherBegleitersein,andererseitsaberauchdeminderPraxistätigenIngenieur
VI Vorwort
oder Physiker als Nachschlagewerk dienen. Neben Ingenieuren und Naturwis-
senschaftlernrichtetsichdasBuchdurchdasbreiteThemenspektrumbishinzur
nichtlinearen Optimierung und Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik auch an
Techno- und Wirtschaftsmathematiker oder Betriebs- und Volkswirte, die an ei-
ner fundierten mathematischen Ausbildung als Grundlage für eine Unterneh-
mensführung interessiert sind. Bei der Vermittlung der mathematischen Inhalte
spielt der Aspekt der praktischen Nutzung der dargelegten Methoden und In-
strumenteeinewesentlicheRolle.AllerdingskannesmitdiesemBuchnichtnur
darum gehen, Studierende, die schnell und ”irgendwie” ihren Mathematikkurs
überstehenwollen,anzusprechen.DasBuchrichtetsichvorallemanLeute,die
anMathematikundamVerständnisvonInhalteninteressiertsind.Deshalbwird
imRahmenderMöglichkeitenvon870SeiteneineweitestgehendstimmigeDar-
stellung der angesprochenen Themen angestrebt. Will man das erreichen, müs-
sen auch recht theoretisch anmutende Themen wie z.B. die Eigenschaften von
Funktionenreihen oder die Eigenschaften von Determinanten und Matrizen in
derlinearenAlgebradiskutiertwerden.BeweisevonSätzenundFormelnführen
wirinderRegeldort,woesumdasErlernenvonBeweistechnikengeht,oderwo
mit den Beweisen durch konstruktive Methoden das Verständnis von Inhalten
gefördertoderdiemathematischeAllgemeinbildungerweitertwird.DieVoraus-
setzungenvonSätzenundmathematischenAussagenwerdennichtimmerinder
schärfstmöglichenFormangegeben.AlsBeispielseietwadieForderungderste-
tigenDifferenzierbarkeiteinerFunktiongenannt,derenAbleitungeigentlichnur
integrierbarseinmuss,weilsieineinemIntegralausdruckverwendetwird.Hier
wurdedieStetigkeitderAbleitunggefordert,obwohldieschwächereForderung
der Integrierbarkeit ausgereicht hätte. Allerdings haben für die Anwendung re-
levanteFunktioneninderRegelstetigeAbleitungen,sodassdiestärkereVoraus-
setzungdannmeisterfülltist.
ImAnhangwerdenineinerkompaktenSammlungwichtigeFormelnzudenein-
zelnenKapitelnzusammengefasst.DadieLösungenderinjedemKapitelgestell-
tenAufgabenrechtausführlichdargestelltwerden,werdensieausPlatzgründen
zum Download im Internet auf www.spektrum-verlag.de als pdf- und als ps-
Dateiangeboten.
Für an vertiefender Literatur und an lückenlosen Nachweisen interessierte Le-
serwerdenimAnhangzudeneinzelnenKapitelnmathematischeMonographien
angegeben.
HerrnDr.AndreasRüdingeralsverantwortlichenLektorvonSpektrumAkade-
mischerVerlagmöchteichzumeinenfürdieAnregungzudiesemLehrbuchund
zum anderen für die problemlose Zusammenarbeit von der Vertragsentstehung
biszumfertigenBuchmeinenDankaussprechen.InsbesondereinderEndphase
derFertigstellungdesManuskriptswardieunkomplizierteZusammenarbeitmit
FrauBarbaraLühkervonSpektrumAkademischerVerlaghilfreich.
ZuguterletztmöchteichFrauGabrieleGraichen,diedievielenGrafikenaufdem
Computererstellthat,fürdieeffizienteZusammenarbeitherzlichdanken,ohne
diedasBuchnichtmöglichgewesenwäre.
Berlin,August2004 GünterBärwolff
Vorwort VII
Vorwortzur2.Auflage
DenVorschlägenvonFachkolleginnenund-kollegenfolgend,wirddie2.Aufla-
geumzweiThemengebieteergänzt.EinmalwirddasKapitel”GewöhnlicheDif-
ferentialgleichungen” um einen Abschnitt zu Zweipunkt-Randwertproblemen
und Rand-Eigenwertproblemen erweitert. Des Weiteren wurde ein Kapitel zur
Thematik”Tensorrechnung”hinzugefügt.DasKapitel”PartielleDifferentialglei-
chungen” wurde auch mit Bezug auf den neuen Abschnitt zu Randwertpro-
blemen durch meinen Kollegen Gottfried Seifert umfassend überarbeitet. Die
Formelsammlung wurde entsprechend ergänzt. Die sorgfältige Durchsicht der
1. Auflage, die sich daraus ergebende Überarbeitung durch G. Seifert und die
AufbereitungvorhandenersowiedieErzeugungneuerGrafikendurchFrauGa-
briele Graichen haben dem Buch zweifellos sehr gut getan. Ebenso ausgespro-
chendankbarbinichFrauB.LühkerundHerrnDr.A.RüdingervonSpektrum
AkademischerVerlagfürdasakribischeLesendesManuskripts,speziellderneu
hinzugekommenenThemen,unddieklugenHinweise.Besondersbeiderindex-
trächtigen Tensorrechnung hat das zur rechtzeitigen Korrektur einer Reihe von
Flüchtigkeitsschreibfehlernbeigetragen.
Außerdem wurden selbstverständlich berechtigte Hinweise von Lesern berück-
sichtigt,insbesondereeinwesentlichumfangreichererIndexerstelltunddasEr-
ratumder1.Auflageeingearbeitet.
Berlin,November2005 GünterBärwolff
Vorwortzur3.Auflage
In der 3. Auflage sind neben einer Reihe von Korrekturen kleinerer Unkorrekt-
heitendervorigenAuflageninverschiedenenKapitelnErgänzungenalsReakti-
onaufMeinungsäußerungenvonLesernundFachkollegensowiedesbewährten
LektoratsdesVerlagsvorgenommenworden.Sowurdenz.B.derBegriffderOr-
thogonalitätallgemeinergefasstundderNutzenvonorthogonalenMatrizenan-
handvonBeispielenbelegt.AußerdemwurdedemWunschRechnunggetragen,
denIndexumwichtigeStichwortezuergänzen.
Obwohl in dem vorliegenden Lehrbuch hauptsächlich darum geht, den Lesern
diebehandeltenGebietederHöherenMathematikvermittelnundsieindieLa-
gezuversetzen,BegriffeundKonzeptezuverstehenundanzuwenden,habeich
den Anhang um eine kurze Einführung in das Computeralgebra-System MAT-
LAB1bzw.Octave2ergänzt.AuchausdemGrund,umbestimmteTechnikenwie
z.B.dieProduktevonMatrizenoderVektoreneffizientauszuführenbzw.eigene
Rechnungenzuüberprüfen.
SehrhilfreichfürdasVerständnissinddarüberhinausdieinMatlab/Octavevor-
handenen Möglichkeiten Sachverhalte zu visualisieren. Letztendlich danke ich
FrauB.LühkerundHerrnDr.A.RüdingervonSpringerSpektrumfürdietradi-
tionellguteZusammenarbeit.
Berlin,Juni2017 GünterBärwolff
1MATLABisteinekommerzielleSoftwaredesUS-amerikanischenUnternehmensMathWorks
2Open-SourcefreiverfügbareAlternativezuMATLAB
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen 1
1.1 LogischeGrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 GrundlagenderMengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 DienatürlichenZahlenunddievollständigeInduktion . . . . . . . 16
1.5 Ganze,rationaleundreelleZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 UngleichungenundBeträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 KomplexeZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 AnalysisvonFunktioneneinerVeränderlichen 55
2.1 BegriffderFunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2 EigenschaftenvonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3 ElementareFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4 GrenzwertundStetigkeitvonFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5 EigenschaftenstetigerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.6 DifferenzierbarkeitvonFunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.7 LineareApproximationundDifferential . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.8 EigenschaftendifferenzierbarerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . 105
2.9 TAYLOR-FormelundderSatzvonTAYLOR . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.10 Extremalprobleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.11 BANACHscherFixpunktsatzundNEWTON-Verfahren . . . . . . . . 120
2.12 KurvenimR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.13 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.14 VolumenundOberflächevonRotationskörpern . . . . . . . . . . . 164
2.15 Parameterintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.16 UneigentlicheIntegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
2.17 NumerischeIntegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
2.18 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
2.19 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3 Reihen 191
3.1 Zahlenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.2 Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
3.3 GleichmäßigkonvergenteReihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.4 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
3.5 OperationenmitPotenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
3.6 KomplexePotenzreihen,Reihenvonexpx,sinxundcosx . . . . . 213
X Inhaltsverzeichnis
3.7 NumerischeIntegralberechnungmitPotenzreihen . . . . . . . . . . 226
3.8 KonstruktionvonReihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
3.9 FOURIER-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
4 LineareAlgebra 265
4.1 Determinanten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
4.2 CRAMERscheRegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
4.3 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
4.4 LineareGleichungssystemeundderenLösung . . . . . . . . . . . . 306
4.5 AllgemeineVektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
4.6 OrthogonalisierungsverfahrennachERHARDSCHMIDT . . . . . . . 330
4.7 Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
4.8 VektorrechnungimR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
4.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
5 AnalysisimRn 375
5.1 EigenschaftenvonPunktmengenausdemRn . . . . . . . . . . . . . 376
5.2 AbbildungenundFunktionenmehrererVeränderlicher . . . . . . . 381
5.3 KurvenimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
5.4 StetigkeitvonAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
5.5 PartielleAbleitungeinerFunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
5.6 AbleitungsmatrixundHESSE-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
5.7 DifferenzierbarkeitvonAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
5.8 DifferentiationsregelnunddieRichtungsableitung . . . . . . . . . . 401
5.9 LineareApproximation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
5.10 TotalesDifferential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
5.11 TAYLOR-FormelundMittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
5.12 SatzüberimpliziteFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
5.13 ExtremalaufgabenohneNebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . 415
5.14 ExtremalaufgabenmitNebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . 420
5.15 Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
5.16 NEWTON-VerfahrenfürGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . 430
5.17 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
6 GewöhnlicheDifferentialgleichungen 435
6.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
6.2 AllgemeineBegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
6.3 AllgemeineszuDifferentialgleichungenersterOrdnung . . . . . . 438
6.4 DifferentialgleichungenersterOrdnungmittrennbarenVariablen . 441
6.5 LineareDifferentialgleichungenersterOrdnung . . . . . . . . . . . 444
6.6 DurchTransformationenlösbareDifferentialgleichungen . . . . . . 447
6.7 LineareDifferentialgleichungssystemeersterOrdnung . . . . . . . 454
6.8 LineareDifferentialgleichungenn-terOrdnung . . . . . . . . . . . . 470
6.9 Anmerkungenzum”Rechnen”mitDifferentialgleichungen . . . . 491
6.10 NumerischeLösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
Inhaltsverzeichnis XI
6.11 PotenzreihenzurLösungvonDifferentialgleichungen . . . . . . . . 503
6.12 BESSELscheundLEGENDREscheDifferentialgleichungen. . . . . . . 506
6.13 Rand-undEigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
6.14 NichtlineareDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
6.15 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
7 VektoranalysisundKurvenintegrale 549
7.1 DiegrundlegendenOperatorenderVektoranalysis . . . . . . . . . . 550
7.2 RechenregelnundEigenschaftenderOperatoren
derVektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
7.3 PotentialundPotentialfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
7.4 SkalareKurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
7.5 VektoriellesKurvenintegral–Arbeitsintegral . . . . . . . . . . . . . 561
7.6 StammfunktioneinesGradientenfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . 565
7.7 BerechnungsmethodenfürStammfunktionen . . . . . . . . . . . . . 570
7.8 Vektorpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
7.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
8 Flächenintegrale,VolumenintegraleundIntegralsätze 575
8.1 FlächeninhaltebenerBereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
8.2 RIEMANNschesFlächenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
8.3 FlächenintegralberechnungdurchUmwandlunginDoppelintegrale581
8.4 SatzvonGREEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
8.5 TransformationsformelfürFlächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . 592
8.6 IntegrationüberOberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
8.7 SatzvonSTOKES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
8.8 Volumenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
8.9 TransformationsformelfürVolumenintegrale . . . . . . . . . . . . . 625
8.10 SatzvonGAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
8.11 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
9 PartielleDifferentialgleichungen 641
9.1 WasisteinepartielleDifferentialgleichung? . . . . . . . . . . . . . . 642
9.2 PartielleDifferentialgleichungen2.Ordnung . . . . . . . . . . . . . 643
9.3 BeispielevonpartiellenDifferentialgleichungenausderPhysik . . 646
9.4 Wellengleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
9.5 Wärmeleitungsgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682
9.6 Potentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
9.7 EntdimensionierungvonpartiellenDifferentialgleichungen . . . . 696
9.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
10 Funktionentheorie 701
10.1 KomplexeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
10.2 DifferentiationkomplexerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 704
10.3 ElementarekomplexeFunktionenundPotenzreihen . . . . . . . . . 709
10.4 KonformeAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711
10.5 IntegrationkomplexerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715