Höhere Mathematik für Ingenieure: Band III: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Distributionen, Integraltransformationen

446 Pages·2009·3.515 MB·German

by  Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille, Andreas Meister (auth.)

Klemens Burg | Herbert Haf | Friedrich Wille | Andreas Meister
Höhere Mathematik für Ingenieure
Klemens Burg | Herbert Haf |
Friedrich Wille | Andreas Meister
Höhere Mathematik
für Ingenieure
Band III: Gewöhnliche Differentialgleichungen,
Distributionen, Integraltransformationen
5., überarbeitete und erweiterte Auflage
Mit 143 Abbildungen, 12 Tabellen und 85 Aufgaben
Bearbeitet von
Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, Universität Kassel und
Prof. Dr. rer. nat. Andreas Meister, Universität Kassel
STUDIUM
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Prof. Dr. rer. nat. Klemens Burg †, geb.1934 in Bochum.1954–1956 Tätigkeit in der Industrie.1956–1961
Studium der Mathematik und Physik an der RWTH Aachen.1961 Diplomprüfung in Mathematik.1964 Promotion,
1961–1973 Wiss. Ass. und Akad. Rat/Oberrat, 1970 Habilitation.1973–1975 Wiss. Rat und Prof. an der Uni-
versität Karlsruhe.1975–2002 Prof. für Ingenieurmathematik an der Universität Kassel.
Arbeitsgebiete: Mathe matische Physik, Ingeniermathematik.
Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, geb. 1938 in Pfronten/Allgäu.1956–1960 Studium der Feinwerktechnik-Optik am
Oskar-von-Miller-Polytechnikum München.1960–1966 Studium der Mathematik und Physik an der RWTH
Aachen.1966 Diplomprüfung in Mathematik.1966–1970 Wiss. Ass., 1968 Promotion.1970–1974 Akad. Rat/
Oberrat an der Universität Stuttgart.1968–1974 Lehraufträge an der Universität Stuttgart.1974–2003 Prof. für
Mathematik (Analysis) an der Universität Kassel.
Arbeitsgebiete: Funktionalanalysis, Verzweigungstheorie, Approximationstheorie.
Prof. Dr. rer. nat. Friedrich Wille †, geb. 1935 in Bremen.1955–1961 Studium der Mathematik und Physik an
den Universitäten Marburg, Berlin und Göttingen.1961 Diplom, anschließend Industriepraxis.1963–1968 Wiss.
Mitarb. der Aerodynamischen Versuchsanstalt (AVA) Göttingen.1965 Promotion, Leiter des Rechenzentrums
Göttingen.1968–1971 Wiss. Ass. der Deutschen Forschungs- und Versuchsanstalt für Luft- und Raumfahrt
(DFVLR).1970 Battelle-Institut Genf.1971 Habilitation, 1972 Wiss. Rat und Prof. in Düsseldorf.1973–1995 Prof.
für Angewandte Mathematik an der Universität Kassel.
Arbeitsgebiete: Aeroelastik, Nichtlineare Analysis, math. Modellierung.
Prof. Dr. rer. nat. Andreas Meister, geb. 1966 in Einbeck.1987–1993 Studium der Mathematik mit Nebenfach
Informatik an der Georg-August-Universität Göttingen.1993 Diplomprüfung in Mathematik.1993–1996
Promotionsstipendium an der Deutschen Forschungsanstalt für Luft- und Raumfahrt in Göttingen, 1996 Promo-
tion an der TH Darmstadt.1996 Wiss. Mitarb. am Fraunhofer Institut für Techno- und Wirtschaftsmathematik
Kaiserslautern.1996–1997 Wiss. Mitarb., 1997– 2002 Wiss. Ass. an der Universität Hamburg. 2001 Habilitation
und Privatdozent am FB Mathematik der Universität Hamburg. 2002–2003 Hochschuldozent an der Universität
zu Lübeck. Seit 2003 Prof. für Angewandte Mathematik an der Universität Kassel.
Arbeitsgebiete: Numerik partieller Differentialgleichungen und Numerik linearer Gleichungssysteme.
1. Auflage 1985
5., überarbeitete und erweiterte Auflage 2009
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Lektorat: Ulrich Sandten | Kerstin Hoffmann
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Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-0565-2
Vorwort
DerInhaltdiesesdrittenBandesgliedertsichindreiThemenkreise:GewöhnlicheDifferenti-
algleichungen,DistributionenundIntegraltransformationen.Dabeistehenhier,wieauchinden
übrigenBänden,AnwendungsaspekteimMittelpunkt.InsbesondereerfolgtdieMotivierungfür
die o.g. Schwerpunkte jeweils aus konkreten Situationen, wie sie in Technik und Naturwissen-
schaftenauftreten.DieÜbertragungderenstsprechendenFragestellungenindieSprachederMa-
thematik(»Mathematisierung«)stellthierbeidenerstenSchrittdar.Ihmfolgtdiemathematische
Präzisierung und Einbettung in allgemeinere mathematische Theorien sowie die Bereitstellung
vonLösungsmethoden.DenVerfassernistsehrwohlbewußt,daßMathematikfürdenIngenieur
inersterLinieHilfsmittelzurBewältigungvonProblemenderPraxisist.Dennochhaltenwirei-
neAbgrenzungvonreiner»Rezeptmathematik«fürunentbehrlich:ZueinersolidenAnwendung
von Mathematik gehört auch ein Wissen um die Tragweite einer mathematischen Theorie (un-
ter welchen Voraussetzungen gilt ein bestimmtes Resultat; welche Konsequenzen ergeben sich
aus dem Ergebnis usw.) Eine überzogene Betonung der theoretischen Seite andererseits, etwa
durchzuabstrakteBehandlung,würdedieBelangedesPraktikersverfehlen.Wirhabenunsbe-
müht,einenMittelwegzubeschreitenundzuvermeiden,daßderEindruck»trockenerTheorie«
entsteht. Ein Beispiel hierfür ist der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf (vgl.
Abschn.1.2.3),einzentralesResultatinderTheoriedergewöhnlichenDifferentialgleichungen.
Dieser Satz wird in den sich anschließenden Überlegungen unmittelbar in Anwendungsbeüge
gestellt,etwabeiderDiskussionvonebenenVektorfeldern(vgl.Abschn.1.2.4)oderimZusam-
menhangmitderFrage,wiesichUngenauigkeitenbeiAnfangsdaten(z.B.ungenaueMeßdaten)
oder Parameter (z.B. nicht exakte Materialkonstanten) auf das Lösungsverhalten von Anfangs-
wertproblemenauswirken(vgl.Abschn.1.3.2).DasKapitel»GewöhnlicheDifferentialgleichun-
gen«endetmiteinemAusblickineinmodernesmathematischesGebiet,nämlicheinemkleinen
ExkursindieVerzweigungstheorie.DiesehatindenletztenJahrzehntenerheblicheBedeutung
gewonnen.
EtwasungewöhnlichimRahmeneinerMathematikfürIngenieureistderAbschnittüberDis-
tributionen.DieseerweisensichimmermehralseinwichtigesHilfsmittelauchfürdenIngenieur.
ZurAufnahmewurdenwirduchKollegenandererHochschulenermuntert.Wirbeschränkenuns
aufdieBehandlungvon»DistributionenimweiterernSinne«.DiesesGebietwirdauchfürden
interessierten Ingenieur-Studenten »zumutbar«, und zwar aufgrund einer vereinfachten Darstel-
lung,dietopologischeAspekteausklammert.BereitsaufdieserEbeneistesmöglich,einenEin-
blickinWesenundAnwendungsmöglichkeitenvonDistributionenzugewinnen.
GegenstanddesletztenAbschnitts»Integraltransformationen«sinddieFourier-unddieLapla-
ce-Transformation.Dabeiwurdeeinklassischer,vomLebesgue-Integralfreier,Zuganggewählt.
FürdenBeweisdesUmkehrsatzesfürdieFourier-Transformation(s.Abschn.8.2)beschränken
wirunsaufdenRaumS(=RaumderinRbeliebigoftstetigdifferenzierbarenFunktionenmit
entsprechendem Abklingverhalten). Dadurch wird der im allgemeinen Fall recht komplizierte
undumfangreicheBeweisbesonderseinfachundübersichtlich.
UnserDankgiltinbesondererWeiseHerrnProf.Dr.P.Werner(UniversitätStuttgart).Seine
VI
wertvollenAnregungenundHinweisehabendiesenBandmitgeprägt.Weiterhindankenmöchten
wir Herrn A. Heinemann für seinen Beitrag bei der Ausarbeitung von Übungsaufgaben, Herrn
K. Strube für die Herstellung der Figuren, den Herren M. Steeger und K. H. Dittmar für Kor-
rekturlesen und Frau E. Münstedt bzw. Frau M. Gottschalk für die sorgfältige Erstellung des
Schreibmaschinenmanuskriptes bzw. einer typographisch ansprechenden Druckvorlage. Auch
demTeubner-VerlaghabenwirwiederumfürdieständigeGesprächsbereitschaft,Rücksichtnah-
meaufTerminproblemeundGestaltungswünschezudanken.
Kassel,März1985 HerbertHaf
VorwortzurfünftenAuflage
DievorliegendefünfteAuflagediesesBandesstellteineÜberarbeitungundErweiterungdervor-
angehenden Auflage dar. Den modernen Ansprüuchen der Ingenieurmathematik folgend, wur-
den wichtige Aspekte der Numerischen Mathematik integriert. So werden neben einer anwen-
dungsorientiertenHerleitungundAnalysegrundlegenderVerfahrenimBereichderNumerikge-
wöhnlicherDifferentialgleichungendiewesentlichenIdeenderdiskretenFouriertransformation
(DFT)undderschnellenFouriertransformation(FFT)deutlichausführlicherbeschriebenundih-
realgorithmischeUmsetzungpräsentiert.DiebisherigenMathematica-Programmewerdenim
ZugeeinerfüralleBändeeinheitlichenDarstellungdernumerischenVerfahrendurchMATLAB-
Algorithmenersetztunderweitert.DieeinzelnenMATLAB-Verfahrensinddabeianalogzuden
ersetztenMathematica-ProgrammenimRahmendesOnline-Servicesverfügbar,siehe
http://www.mathematik.uni-kassel.de/BHWM_3
DieVerfasserhoffennun,dassdieserdritteBandunseressechsteiligenGesamtwerkes»Höhe-
reMathematikfürIngenieure«auchweiterhineinefreundlicheAufnahmedurchdieLeserfindet.
FürAnregungensindwirdankbar.
UnserDankgiltinsbesondereHerrnDr.-Ing.JörgBarnerfürdieErstellungderhervorragen-
den LATEX-Vorlage, ferner Herrn Walter Arne für sein gewissenhaftes Korrekturlesen. Erneut
bestehtAnlass,demVerlagVieweg+TeubnerfüreinebewährteundangenehmeZusammenarbeit
zudanken.
Kassel,Januar2009 HerbertHaf,AndreasMeister
Inhaltsverzeichnis
I GewöhnlicheDifferentialgleichungen 1
1 EinführungindieGewöhnlichenDifferentialgleichungen 1
1.1 WasisteineDifferentialgleichung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 DifferentialgleichungenalsModellefürtechnisch-physikalischeProbleme . . 1
1.1.2 DefinitioneinergewöhnlichenDifferentialgleichungn-terOrdnung . . . . . . 8
1.2 Differentialgleichungen1-terOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 GeometrischeInterpretation.Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Grundprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Existenz-undEindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 AnwendungendesExistenz-undEindeutigkeitssatzes . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.5 ElementareLösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.6 NumerischeVerfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3 DGlnhöhererOrdnungundSysteme1-terOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.3.1 Existenz-undEindeutigkeitssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.3.2 AbhängigkeitvonAnfangsdatenundParametern . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.3.3 ElementareLösungsmethodenbeinichtlinearenDifferentialgleichungen2-ter
Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.4 EbeneautonomeSysteme(Einführung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1.4.1 FortsetzbarkeitderLösungenvonAnfangswertproblemen . . . . . . . . . . . 110
1.4.2 Phasenebene,OrbitsundGleichgewichtspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
1.4.3 LineareautonomeSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1.4.4 EbenenichtlineareautonomeSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2 LineareDifferentialgleichungen 139
2.1 Lösungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2.1.1 GlobaleExistenzundEindeutigkeitbeiSystemen1-terOrdnung . . . . . . . . 140
2.1.2 GlobaleExistenzundEindeutigkeitbeiDifferentialgleichungenn-terOrdnung 143
2.2 HomogenelineareSysteme1-terOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.2.1 Fundamentalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.2.2 Wronski-Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2.3 InhomogenelineareSysteme1-terOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.3.1 InhomogeneSystemeundSuperposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.3.2 SpezielleLösungenundVariationderKonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2.4 LineareDifferentialgleichungenn-terOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.4.1 FundamentalsystemundWronski-Determinante. . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.4.2 Reduktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
VIII Inhaltsverzeichnis
2.4.3 VariationderKonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3 LineareDifferentialgleichungenmitkonstantenKoeffizienten 163
3.1 LineareDifferentialgleichungenhöhererOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.1.1 HomogeneDifferentialgleichungenundKonstruktioneines
Fundamentalsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.1.2 InhomogeneDifferentialgleichungenundGrundzügederOperatorenmethode . 170
3.1.3 InhomogeneDifferentialgleichungenundGrundlösungsverfahren . . . . . . . 177
3.1.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.2 LineareSysteme1-terOrdnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
3.2.1 Eigenwerteund-vektorenbeisymmetrischenMatrizen . . . . . . . . . . . . . 195
3.2.2 SystememitsymmetrischenMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.2.3 Hauptvektoren.JordanscheNormalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
3.2.4 SystememitbeliebigenMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
3.2.5 SystemeundMatrix-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3.2.6 Zurückführung auf Differentialgleichungen höherer Ordnung. Systeme höhe-
rerOrdnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
3.2.7 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4 PotenzreihenansätzeundAnwendungen 225
4.1 Potenzreihenansätze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4.1.1 DifferentialgleichungenmitregulärenKoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . 225
4.1.2 HermitescheDifferentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.2 VerallgemeinertePotenzreihenansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.2.1 DifferentialgleichungenmitsingulärenKoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . 233
4.2.2 BesselscheDifferentialgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5 Rand-undEigenwertprobleme.Anwendungen 241
5.1 Rand-undEigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.1.1 BeispielezurOrientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.1.2 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.1.3 Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
5.2 AnwendungaufeinepartielleDifferentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.2.1 DieschwingendeSaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
5.2.2 PhysikalischeInterpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.3 AnwendungaufeinnichtlinearesProblem(Stabknickung) . . . . . . . . . . . . . 253
5.3.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
5.3.2 DaslinearisierteProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
5.3.3 DasnichtlineareProblem.Verzweigungslösungen . . . . . . . . . . . . . . . . 256
II Distributionen 263
6 VerallgemeinerungdesklassischenFunktionsbegriffs 265
6.1 MotivierungundDefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Inhaltsverzeichnis IX
6.1.1 EinführendeBetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.1.2 DerGrundraumC∞(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
0
6.1.3 Distributionen(imweiterenSinn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.2 DistributionenalsErweiterungderklassischenFunktionen . . . . . . . . . . . . . 272
6.2.1 StetigeFunktionenundDistributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
6.2.2 DieDiracscheDelta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
7 RechnenmitDistributionen.Anwendungen 277
7.1 RechnenmitDistributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7.1.1 Grundoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7.1.2 Differentiation.Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.2.1 GrundlösungderWärmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.2.2 EinDifferentialgleichungsproblem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
III Integraltransformationen 289
8 Fouriertransformation 295
8.1 MotivierungundDefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.1.1 EinführendeBetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.1.2 DefinitionderFouriertransformation.Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
8.2 UmkehrungderFouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.2.1 UmkehrsatzimRaumS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.2.2 UmkehrsatzfürstückweiseglatteFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
8.2.3 EindeutigkeitderUmkehrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
8.3 EigenschaftenderFouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
8.3.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
8.3.2 Verschiebungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
8.3.3 Faltungsprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
8.3.4 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
8.3.5 FouriertransformationundtemperierteDistributionen . . . . . . . . . . . . . . 318
8.3.6 FouriertransformationkausalerFunktionenundHilberttransformation . . . . . 320
8.4 AnwendungenaufpartielleDifferentialgleichungsprobleme. . . . . . . . . . . . . 324
8.4.1 Wärmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
8.4.2 Potentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
8.5 DiskreteFouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
8.5.1 DiskreteFouriertransformation(DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
8.5.2 SchnelleFouriertransformation(FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
9 Laplacetransformation 351
9.1 MotivierungundDefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
9.1.1 ZusammenhangzurFouriertransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
9.1.2 DefinitionderLaplacetransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
9.2 UmkehrungderLaplacetransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
X Inhaltsverzeichnis
9.2.1 UmkehrsatzundIdentitätssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
9.2.2 BerechnungderInversen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
9.3 EigenschaftenderLaplacetransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
9.3.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
9.3.2 Verschiebungssätze.Streckungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
9.3.3 Faltungsprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
9.3.4 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
9.3.5 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
9.3.6 LaplacetransformationundperiodischeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 366
9.4 AnwendungenaufgewöhnlichelineareDifferentialgleichungen . . . . . . . . . . 369
9.4.1 DifferentialgleichungenmitkonstantenKoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . 369
9.4.2 DifferentialgleichungenmitvariablenKoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . 373
9.4.3 DifferentialgleichungenmitunstetigenInhomogenitäten . . . . . . . . . . . . 375
10 Z-Transformation 381
10.1 MotivierungundDefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
10.1.1 EinführendeBetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
10.1.2 D-TransformationundZusammenhangzurLaplacetransformation . . . . . . . 382
10.1.3 DefinitionderZ-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
10.2 EigenschaftenderZ-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
10.2.1 GrundlegendeOperationen.Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
10.2.2 UmkehrungderZ-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
10.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
10.3.1 LineareDifferenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
10.3.2 ImpulsgesteuerteSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Anhang 403
Symbole 425
Literaturverzeichnis 427
Stichwortverzeichnis 433
XI
BandI:Analysis(F.Wille†,bearbeitetvonH.Haf,A.Meister)
1 Grundlagen
1.1 ReelleZahlen
1.2 ElementareKombinatorik
1.3 Funktionen
1.4 UnendlicheFolgenreellerZahlen
1.5 UnendlicheReihenreellerZahlen
1.6 StetigeFunktionen
2 ElementareFunktionen
2.1 Polynome
2.2 RationaleundalgebraischeFunktionen
2.3 TrigonometrischeFunktionen
2.4 Exponentialfunktionen,Logarithmus,Hyperbelfunktionen
2.5 KomplexeZahlen
3 DifferentialrechnungeinerreellenVariablen
3.1 GrundlagenderDifferentialrechnung
3.2 AusbauderDifferentialrechnung
3.3 Anwendungen
4 IntegralrechnungeinerreellenVariablen
4.1 GrundlagenderIntegralrechnung
4.2 BerechnungvonIntegralen
4.3 UneigentlicheIntegrale
4.4 Anwendung:Wechselstromrechnung
5 FolgenundReihenvonFunktionen
5.1 GleichmäßigeKonvergenzvonFunktionenfolgenund-reihen
5.2 Potenzreihen
5.3 DerWeierstraß’scheApproximationssatz
5.4 Interpolation
5.5 Fourierreihen
6 DifferentialrechnungmehrererreellerVariabler
6.1 Dern-dimensionaleRaumRn
6.2 AbbildungenimRn
6.3 DifferenzierbareAbbildungenvonmehrerenVariablen
6.4 Gleichungssysteme,Extremalprobleme,Anwendungen