Höhere Analysis mit DERIVE: Mit zahlreichen Abbildungen, Beispielen und übungsaufgaben sowie Mustersitzungen mit DERIVE

220 Pages·1994·8.25 MB·German

by  Dr. habil. Wolfram Koepf (auth.)

Wolfram Koepf
Hijhere Analysis
mit DERIVE
Aus dem Programm ____________ _
Computeralgebra
w. Koepf, A. Ben-Israel und R. P. Gilbert
Mathematik mit DERIVE
N. Blachmann
Mathematica griftbereit
E. Heinrich und H.-D. Janetzko
Das Mathematica Arbeitsbuch
N. Blachmann
Maple grit1bereit (in Vorbereitung)
E. Heinrich und H. D. Janetzko
Das Maple Arbeitsbuch (in Vorbereitung)
________________
~eweg ~
Wolfram Koepf
Hiihere Analysis
mit DERIVE
Mit zahlreichen Abbildungen,
Beispielen und Ubungsaufgaben
sowie Mustersitzungen mit DERIVE
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Vleweg
Adresse des Autors:
Dr. habil. Wolfram Koepf
Konrad-Zuse-Zentrum flir Informationstechnik
Heilbronnerstr.10
10711 Berlin
e-mail [email protected]
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Koepf, Wolfram:
Hohere Analysis mit DERIVE: mit zahlreichen Abbildungen,
Beispielen und Ubungsaufgaben sowie Mustersitzungen mit
DERIVE / Wolfram Koepf. - Braunschweig; Wiesbaden:
Vieweg,1994
ISBN-13: 978-3-528-06594-2 e-ISBN-13: 978-3-322-83118-7
001: 10.1007/978-3-322-83118-7
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© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden, 1994
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ist ohne Zustimmung des Verlags unzuliissig und strafbar. Das gilt ins
besondere flir Vervielfiiltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und
die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Gedruckt auf siiurefreiem Papier
v
Vorwort
Dies ist der zweite Tell des im Rahmen meiner Analysis-Vorlesungen am Fachbereich
Mathematik der Freien Universitat Berlin entstandenen Materials, das den Band
Koepf, W., Ben-Israel, A. und Gilbert, R. P.
Mathematik mit DERIVE
Vieweg-Verlag, Braunschweig-Wiesbaden, 1993
ISBN 3-528-06549-4
fortsetzt. Bei Verweisen auf Satze, Definitionen, Beispiele usw. aus dem Buch Ma
thematik mit DERIVE ist die entsprechende Nummer mit einer vorgestellten ,,1."
angegeben. Ferner ist zum einfacheren Auffinden die jeweilige Seitenzahl ebenfalls
zitiert.
Das vorliegende Buch behandelt den fiblichen Kanon der mehrdimensionalen Ana
lysis, wie er an einer deutschen Hochschule im Rahmen des zweiten und teilweise
des dritten Semesters durchgenommen wird, mit dem Unterschied, daB wieder das
Computeralgebrasystem DERIVE als didaktisches Hilfsmittel eingesetzt wird. Die
Analysis-Vorlesung habe ich vom Sommersemester 1992 bis zum Sommersemester
1993 abgehalten, nachdem ich mich im Rahmen eines Forschungsstipendiums der
Alexander von Humboldt-Stiftung zusammen mit Robert P. Gilbert (University of
Delaware, USA) und Adi Ben-Israel (Rutgers-University, USA) fUr ein Jahr an der
University of Delaware mit der Einbindung von DERIVE in die Mathematikausbil
dung beschaftigt hatte. Ferner wurde mein Projekt in den Jahren 1990-1992 von
der FNK (Standige Kommission fUr Forschung und wissenschaftlichen Nachwuchs)
der FU. Berlin gefordert.
DERIVE vereinigt graphische Fahigkeiten, die der Bearbeitung mit Papier und Blei
stift ganzlich versagt bleiben, mit bemerkenswerten numerischen und symbolischen
Rechenfahigkeiten, die haufig fiber die Moglichkeiten einer Handberechnung weit
hinausgehen, und ist dabei kinderleicht zu bedienen. Hat man bereits die eindimen
sionale Analysis mit DERIVE unterrichtet, konnen sich die Studenten dieser Fahig
keiten nun bereits recht professionell bedienen, was die Verstandlichmachung vieler
mehrdimensionaler Konzepte sehr erleichtert, ob nun durch dreidimensionale Gra
phiken, durch numerische oder durch symbolische Rechnungshilfestellungen. Ich ha
be DERIVE gegenfiber anderen Computeralgebrasystemen wie AXIOM, MACSYMA,
MAPLE, MATHEMATICA oder REDUCE den Vorzug gegeben, da es auf jedem IBM
kompatiblen PC laufi'ahig, recht preiswert und dabei besonders benutzerfreundlich
ist. Hinzukommt, daB DERIVE nur bescheiden programmierfahig ist, mit dem Vor
teil, daB man auch keine Zeit ffir eine Programmierausbildung verschwenden kann.
Ich habe weiterhin die Erfahrung gemacht, daB Studentinnen und Studenten, die
erst einmal Erfahrungen mit DERIVE gesammelt haben, dann auch keine oder nur
geringe Schwierigkeiten haben, ein anderes Computeralgebrasystem anzuwenden.
VI Vorwort
In erster Linie ist das Buch fiir Mathematikstudenten an deutschen Hochschulen ge
dacht. Es ermoglicht, den kanonischen Stoff durchzunehmen und den Studentinnen
und Studenten gleichzeitig die intelligente Benutzung von DERIVE beizubringen.
Dabei wurde die Benutzung von DERIVE nicht zum Selbstzweck, sondern als di
daktisches Hilfsmittel eingesetzt. Wirklich rechenintensive Problemstellungen sind
dann nicht von vornherein aussichtslos.
Die im Buch integrierten DERIVE-Sitzungen habe ich als Dozent mit DERIVE vor
gefiihrt. Dazu geniigen im Prinzip Folien mit der Bildschirminformation von DE
RIVE. Besser ist natiirlich ein LCD-Display-Bildschirm, mit dem sich mit Hilfe eines
Overheadprojektors der Computerbildschirm an die Wand projizieren laBt. Mit die
ser Ausriistung konnen die DERIVE-Sitzungen direkt vorgefiihrt werden.
In der Regel war eine der 5 wochentlichen Ubungsaufgaben zur expliziten Benut
zung von DERIVE gedacht. Zur Behandlung der Ubungsaufgaben standen meinen
Studentinnen und Studenten die PCs des Computer-Labors am Fachbereich Mathe
matik zur Verfiigung.
1m iibrigen stellte sich heraus, daB nur sehr wenige Studentinnen und Studenten
noch keine Beriihrung mit Computerprogrammen gehabt hatten und daB den mei
sten die Arbeit mit DERIVE leicht fiel.
Die Benutzung von Computeralgebraprogrammen wie DERIVE im Mathematikun
terricht ist ein hochaktuelles Thema, wie folgende Beispiele zeigen:
• In der Zeitschrift Didaktik der Mathematik und in weiteren didaktikorientier
ten Zeitschriften wird dieses Thema seit einiger Zeit ausgiebig erortert. Ferner
gab es etliche Tagungen zu dieser Fragestellung. Man siehe dazu z. B. die auf
S. 191-194 zitierten Arbeiten. Aus der Fiille derartiger Veroffentlichungen ha
be ich hauptsachlich die deutschsprachigen in meine Liste aufgenommen.
• Ab 1994 wird viermal jahrlich die Zeitschrift The International DERIVE Jour
nal erscheinen, die sich insbesondere der Einbindung von DERIVE in die ma
thematische Ausbildung widmen wird. Der Autor dieses Buchs ist ein Mitglied
des internationalen Herausgebergremiums.
• Das osterreichische Unterrichtsministerium hat eine Lizenz von DERIVE fiir
Osterreichs Gymnasien erworben, s. [Kutzler].
Daher mochte ich die Lektiire und den Einsatz dieses Buchs auch folgendem Perso
nenkreis warmstens ans Herz legen:
• Gymnasiallehrerinnen und -lehrer, die in ihrem Unterricht mit DERIVE arbei
ten wollen und das Buch dazu als zusatzliches Unterrichtsmaterial verwen
den, werden vielfaltige Anregungen fiir die Anwendung von DERIVE schopfen
konnen. Ich empfehle die Vorstellung zum Stoff passender DERIVE-Sitzungen
zusammen mit der Bearbeitung der mit dem Symbol <> versehenen Ubungs
aufgaben. Einige davon verbinden in ausgezeichneter Weise mathematische
Wissensvermittlung mit dem Einsatz von DERIVE.
VII
• Besonders interessierte Schtilerinnen und Schiiler der gymnasialen Oberstufe
konnen mit Hilfe von DERIVE auch ein wenig Luft in der hoheren Mathe
matik schnuppern, und sie werden sogleich ausgebildet in der Benutzung ei
nes Mathematikprogramms, das vielleicht in Kiirze bereits die Taschenrechner
ablosen wird. Schon jetzt gibt es DERIVE im Westentaschenformat, s. [Kutz
ler].
• Schlie6lich bietet sich das Bu.ch fiir die Benutzung in der Mathematikausbil
dung an Fachhochschulen an. Gerade hier, wo es auf eine praxisnahe Ausbil
dung ankommt, kommt man an Mathematikprogrammen in der nahen Zukunft
nicht vorbei.
Zwar ist das Gesamtniveau des Buchs sowohl fiir Gymnasien als auch fiir Fachhoch
schulen ohne Zweifel zu hoch, wenn man aber die Beweise wegla6t bzw. verkiirzt
und sich auf die Benutzung von DERIVE konzentriert, kann das Buch gute Hilfe
leisten.
Hier seien einige Beispiele moglicher Unterrichtsprojekte aufgefiihrt, bei denen die
Benutzung von DERIVE sehr hilfreich sein kann:
• Mehrdimensionale Grenzwerte und stetige Fortsetzung, s. § 1.4.
• Extrema von Funktionen zweier Variablen, s. § 2.4.
• Polynomapproximation impliziter Funktionen und von Losungen gewohnlicher
Differentialgleichungen, s. § 3.1, § 4.1, § 4.3 sowie [Koepf2].
• Iteration und Fixpunkte, s. § 3.2-§ 3.3.
• Graphische Darstellung zweidimensionaler Kurven und Berechnung von Kur
venlangen, s. Kapitel 5.
• Anwendung des 'Transformationssatzes mehrdimensionaler Integrale, s. § 6.4.
Nun ein paar Worte zur Gestaltung des vorliegenden Buchs:
• Fiir Dezimaldarstellungen verwende ich den Dezimalpunkt statt des Dezimal
kommas, zum einen, um eine mit Taschenrechner- oder Computerausgaben
vertragliche DarsteUung zu gewahrleisten, zum anderen, um Verwechslungen
bei Vektoren vorzubeugen.
• Die Graphiken wurden mit dem Computeralgebrasystem MATHEMATICA er
zeugt und die generierten POSTSCRIPT-Versionen habe ich noch einer pro
grammiertechnischen Verfeinerung unterzogen.
• Ubungsaufgaben, die besonders wichtig fiir das Verstandnis des behandelten
Stoffs sind und im weiteren verwendet werden, soUten von jeder/m Lernenden
bearbeitet werden und sind durch das Symbol gekennzeichnet.
0
VIII Vorwort
• Besonders schwierige oder technische Ubungsaufgaben sind mit einem Stern
(*) gekennzeichnet. Sie sind nur beim Einsatz des Buchs an Hochschulen ge
dacht.
• Ubungsaufgaben, die fur Handberechnung zu langwierig erscheinen, tragen
das Symbol 0 und sollten mit DERIVE bearbeitet werden. Ich ermuntere aus
drucklich dazu, auch andere Ubungsaufgaben - sofern nicht explizit anders
gefordert - unter Zuhilfenahme von DERIVE zu li:.isen. Auch - oder gerade-,
wenn die Losung mit DERIVE nicht immer auf Anhieb gelingen wird, ist der
Lerneffekt graB: Bei der Bearbeitung jeder Ubungsaufgabe lernt der SchUler
oder Student sowohl einen mathematischen SachverhaIt als auch etwas Neues
zur Bedienung von DERIVE dazu.
• Englische Ubersetzungen wichtiger mathematischer Fachausdrucke sind aIs
FuBnoten angegeben, da Fachliteratur heutzutage meist auch von deutschen
Autoren auf Englisch geschrieben wird. Zudem tragen aIle DERIVE Menus und
Funktionen englische Namen.
• Gleichungen, auf die verwiesen wird, sind durchnumeriert und recbts mit einer
Gleichungsnummer versehen. Tritt eine Gleichungsnummer links auf, so han
delt es sich um eine Gleichung, die bereits fruher vorkam und zur Erinnerung
noch einmal aufgeschrieben wurde.
• Das Ende von Beispielen, Definitionen usw. wird durch das ll-Zeichen angege
ben, falls es nicht mit dem Beginn eines neuen Beispiels, einer neuen Definition
usw. zusammenfaIlt. Das Ende eines Beweises ist durch das D-Zeichen gekenn
zeichnet.
• Die Ausgaben von DERIVE sind teilweise versionsabhangig und ebenso von
einigen Einstellungen abhangig. In diesem Licht mussen die angegebenen Aus
gaben betrachtet werden. Sie konnen nicht unbedingt genau so reproduziert
werden. Ich habe, sofern nicht anders angegeben, grundsatzlich die Standard
einstellung bei der Version 2.58 verwendet.
• Gegen Uberweisung von 20, - DM (Wolfram Koepf, Postbank Berlin, Bank
leitzahl100 100 10, Kontonummer 40 26 21- 109, Verwendungszweck: Diskette
"Hohere Analysis", 5.25 oder 3.5 Zoll, mit vollstandiger Adresse) kann beim
Autor wieder eine Diskette bestellt werden, die aIle DERIVE-Sitzungen sowie
die mit DERIVE bearbeiteten Ubungsaufgaben enthaIt.
IX
Ich mochte mich an dieser Stelle bei allen recht herzlich bedanken, die bei der
Durchfuhrung des vorliegenden Buchprojekts mitgewirkt bzw. sie ermoglicht ha
ben. Insbesondere bedanke ich mich bei der Alexander von Humboldt-Stiftung flir
das zur Verfugung gestellte Feodor-Lynen-Forschungsstipendium, bei der FU Berlin
fur die Forderung meines Forschungsprojekts Symbolische Programmierung sowie
beim Fachbereich Mathematik der Freien Universitat Berlin fur die Zuweisung eines
Forschungstutors.
Berlin, am 10. Dezember 1993 Wolfram Koepf
AXIOM@ ist ein eingetragenes Warenzeichen der "Numerical Algorithms Group Ltd."
DERIVE@ ist ein eingetragenes Warenzeichen von "Soft Warehouse, Inc."
MACSYMA@ ist ein eingetragenes Warenzeichen von "Macsyma Inc."
MAPLE@ ist ein eingetragenes Warenzeichen von" Waterloo Maple Software"
MATHEMATICA@ ist ein eingetragenes Warenzeichen von "Wolfram Research, Inc."
POSTSCRIPT@ ist ein eingetragenes Warenzeichen von "Adobe Systems, Inc."
MS-Dos@ ist ein eingetragenes Warenzeichen von "Microsoft Corp."
PC-Dos@ ist ein eingetragenes Warenzeichen von "IBM Corp."
x
Inhaltsverzeichnis
1 Metrische Rliume und Stetigkeit 1
1.1 Konvergenz in metrischen Mumen , , , , , , , , 1
1.2 Topologie metrischer Raume, , , , , , , , , , , , 8
1,3 Stetige Funktionen zwischen metrischen Mumen 12
1.4 Stetigkeit von Vektorfunktionen mehrerer Variablen 16
2 Mehrdimensionale Differentiation 22
2,1 Partielle Differenzierbarkeit , , , , , , , , , , , , , 22
2,2 Differenzierbarkeit mehrdimensionaler Funktionen 31
2,3 Taylorsche Formel """", 41
2.4 Lokale Extrema , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 47
3 Implizite Funktionen und Iteration 53
3,1 Implizite Funktionen zweier Variablen 53
3,2 Iteration in metrischen Raumen , , , , 58
3,3 Implizite Funktionen mehrerer Variablen , 66
4 Gewohnliche Differentialgleichungen 72
4,1 Explizite Differentialgleichungen erster Ordnung 72
4,2 Elementare Losungstechniken , , , , , , , 79
4,3 Differentialgleichungen hOherer Ordnung , 91
5 Kurven im Rn 109
5,1 Parameterdarstellungen von Kurven 109
5,2 Kurven und Tangenten, , , , , , , , 113
5,3 Rektifizierbarkeit und Kurvenlange , 118
5.4 Funktionen mit beschrankter Variation, 125
5,5 Riemann-Stieltjes-Integrale , 128
5,6 Kurvenintegrale""""""" 133
6 Mehrdimensionale Integration 143
6,1 Integration fiber Quader , , , , , , , , , , , 143
6,2 Iterierte Integrale und der Satz von Fubini , 146
6,3 Integration fiber Jordan-mefibare Mengen 150
6.4 Der Transformationssatz , , , , , , , , , , , 159
7 Integralsatze 169
7,1 Der zweidimensionale Integralsatz von Gaufi , 169
7,2 Dreidimensionale Flachen , , , , , , , , , , 175
7,3 Der dreidimensionale Integralsatz von Gaufi 182
7.4 Der Satz von Stokes , , , , , , , , , , , , , 186