Höhere Analysis durch Anwendungen lernen: Für Studierende der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften

407 Pages·2014·5.1 MB·German

by  Matthias Kunik

Matthias Kunik
Piotr Skrzypacz
Höhere
Analysis durch
Anwendungen
lernen
Für Studierende der Mathematik,
Physik und Ingenieurwissenschaften
Höhere Analysis durch Anwendungen lernen
⋅
Matthias Kunik Piotr Skrzypacz
Höhere Analysis durch
Anwendungen lernen
Für Studierende der Mathematik, Physik
und Ingenieurwissenschaften
apl. Prof. Dr. Matthias Kunik
Otto-von-Guericke-Universität
Magdeburg, Deutschland
[email protected]

Dr. Piotr Skrzypacz
Magdeburg, Deutschland
[email protected]
[email protected]
ISBN978-3-658-02265-5 ISBN978-3-658-02266-2(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-02266-2
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benutztwerdendürften.
PlanungundLektorat:UlrikeSchmickler-Hirzebruch|BarbaraGerlach
GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier.
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Vorwort
DiesesLehrbuchbehandeltthematischgeordneteAnwendungenundAufgabenmit
komplettenLo¨sungenzurmehrdimensionalenIntegrationstheorie,Fourier-Analysis
und Funktionentheorie sowie zu ebenen Potentialproblemen aus der Elektrostatik
und Stro¨mungsmechanik. Einleitungen zu Beginn jeder Lektion fassen dabei die
theoretischenGrundlagenzumeigensta¨ndigenBearbeitenderAufgabenzusammen,
undzahlreicheSkizzendienendemanschaulichenVersta¨ndnisdesStoffes.
Die hierbehandeltenAnwendungsthemenwarennichtnurfu¨rdie historischeEnt-
wicklungderklassischenAnalysisvonBedeutung,sondernsindzeitlosundsomit
auchheutefu¨rdastiefereVersta¨ndnisderTheoriehilfreich.Daru¨berhinauswaren
vielevondiesenAnwendungeneinewichtigeTriebkraftzurWeiterentwicklungder
mathematischenGrundlagen,insbesondereinderho¨herenAnalysis.
DiesesBuchistsomitfu¨rLesergeschrieben,diesichvonreizvollenAnwendungs-
themen inspirieren lassen mo¨chten, besonders fu¨r Studierende und Lehrende der
mathematischenundnaturwissenschaftlichenDisziplinen.
WirbetrachtenbeispielsweisedasUnscha¨rfeprinzipvonHeisenbergfu¨rdenharmo-
nischen Oszillator in der Quantenmechanik als Anwendung fundamentaler Sa¨tze
der Fourier-Analysis. Die Funktionentheorie hat ebenfalls wichtige Beziehungen
zur Fourier-Analysis und bescha¨ftigt sich mit den Eigenschaften komplex diffe-
renzierbarerFunktionen.DadurchwerdenimKomplexenanalytischeBeziehungen
zwischen Funktionensichtbar, die im Reellen scheinbarohne Zusammenhangne-
beneinander stehen. Deutlich sehen wir dies beim Studium spezieller Funktionen
wiederGammafunktionundderRiemannschenZetafunktionfu¨rProblemederana-
lytischenZahlentheorie.Daru¨berhinausverwendenwirdasfunktionentheoretische
VerpflanzungsprinzipzurLo¨sungebenerPotential-undStro¨mungsproblemesowie
fu¨rdasStudiumzweierModellederhyperbolischenGeometrieinderEbene.
Indiesem BuchwirddemLeser auchdieBedeutungderan Problemlo¨sungenori-
entiertenhistorischenEntwicklungderMathematikverdeutlicht,etwabeiderEnt-
wicklungderDifferential-undIntegralrechnung.DiekonkretenProblemstellungen
ausMathematik,PhysikundTechnikhabendieabstraktenmathematischenGrund-
lagenentscheidendvorangetrieben.AusdemselbenGrundistesauchheutefu¨rStu-
v
vi
dierendevonVorteil,demGeistderurspru¨nglichenPionierarbeitenwiedernachzu-
spu¨ren,umgebietsu¨bergreifendeZusammenha¨ngebesserzuverstehen.
Bei der Auswahl der Aufgabenhaben wir gelegentlichin gro¨ßerenAbsta¨ndenein
unddasselbeThemainverschiedenenVariationenmehrfachaufgegriffenunddabei
miteinementsprechendausgebautenmathematischenApparatweitervertieft.Wir
pra¨sentierenhierkeinweiteresStandardlehrbuchzudenGrundvorlesungenAnaly-
sis, da es hiervon bereits genug hervorragendeWerke gibt. Wir nennen vor allem
die Lehrbu¨cher zur Analysis von Meyberg und Vachenauer [31, 32], von Walter
[40, 41], Heuser [18, 19], Ko¨nigsberger [26, 27], Otto Forster [13, 14, 15], und
zurFunktionentheoriedieWerkevonJa¨nich[24],Fischer,Lieb[11]undRemmert
[34, 35]. Sehr empfehlenswertsind auch die mathematisch etwas anspruchsvolle-
renBu¨chervonTriebel[39]undRudin[37].Wirko¨nnendaherindenEinleitungen
zu den Lektionen1-5 undbei der Einfu¨hrungin die Funktionentheoriein Lektion
8 die bekanntenLehrsa¨tzeohne Beweise zusammenstellen.Stattdessen behandeln
wir die Fourier-Analysisin den Lektionen6 und7 sowie die Anwendungsthemen
zurFunktionentheorieinLektion9ausfu¨hrlicher.
Mit diesem Buch mo¨chten wir die Rolle der klassischen Analysis nicht als Hilfs-
wissenschaft fu¨r Ingenieure und Naturwissenschaftler beleuchten, sondern als ei-
gensta¨ndigeKunst undGeisteswissenschaft, deren Inspirationsquelleallerdingsin
ihrenAnwendungenliegt.
Wir dankenunserenKollegen,die unswichtige Ratschla¨ge undUnterstu¨tzungfu¨r
dieEntstehungdiesesBuchesgegebenhaben,insbesondereHerrnProfessorHans-
ChristophGrunaufu¨rzahlreicheAnregungenundwertvolleMaterialienzurFunk-
tionentheorie. Vor allem mo¨chten wir den Professoren Lutz Tobiska und Gerald
Warneckeganzherzlichdanken.
NichtzuletztdankenwirdemLektoratdesSpringerSpektrumVerlags,namentlich
FrauUlrikeSchmickler-HirzebruchsowieFrauBarbaraGerlach.
Magdeburg,4.Oktober2013 MatthiasKunikundPiotrSkrzypacz
Inhaltsverzeichnis
1 Riemann-Integrale ............................................. 1
1.1 EigentlicheunduneigentlicheRiemann-Integrale................ 1
1.2 Aufgaben ................................................. 7
DieIntegrationwichtigerSprungfunktionen ................ 7
EigentlicheunduneigentlicheRiemann-Integrale............ 8
NullmengenundRiemann-Integral........................ 14
DerWallisscheProduktsatzfu¨rπ/2 ....................... 15
DieEulerscheSummenformel,TeilI ...................... 17
Bernoulli-Zahlen....................................... 18
DieEulerscheSummenformel,TeilII...................... 21
DieStirlingscheFormel ................................. 23
2 Doppelintegrale................................................ 25
2.1 Doppelintegraleu¨bereinemNormalbereich..................... 25
2.2 Aufgaben ................................................. 30
GebieteimR2 ......................................... 30
KonstanteFunktionenaufGebieten ....................... 32
Doppelintegrale........................................ 33
GewichtsmittelpunkteinesebenenGebietes ................ 34
3 Wegintegrale .................................................. 37
3.1 Wegintegrale,derGaußscheIntegralsatzderEbene .............. 37
3.2 Aufgaben ................................................. 43
DasWegintegralineinemGradientenfeld .................. 43
DerGaußscheIntegralsatzderEbene ...................... 44
DieintegraleFormeinerErhaltungsgleichung............... 46
Hyperbelfunktionen .................................... 48
DasMagnetfeldeinesstromdurchflossenenLeiters........... 49
vii
viii Inhaltsverzeichnis
4 Lebesgue-Integrale............................................. 53
4.1 GrundlagenderLebesgueschenIntegrationstheorie .............. 53
4.2 Aufgaben ................................................. 65
Lebesgue-Integrale ..................................... 65
AbsoluteIntegrierbarkeitundDreiecksungleichung.......... 65
Sa¨tzevonB.LeviundH.L.Lebesguefu¨rReihen............ 66
KonvergenzgegeneinDiracschesPunktmaß................ 67
IntegrationmittelsKugelkoordinaten ...................... 68
DieGaußscheNormalverteilung .......................... 69
DieGamma-unddieZeta-Funktion ....................... 73
Euler-MascheronischeKonstanteγ........................ 76
AllgemeinesGaußschesFehlerintegral..................... 79
BestimmungderEllipsenfla¨che........................... 81
Kovarianzmatrixzurn-dimensionalenGaußschenVerteilung .. 82
WichtigeIntegraleinderFourier-AnalysisundOptik......... 83
EinfalscherGebrauchdesSatzesvonFubini................ 87
5 Oberfla¨chenintegrale ........................................... 89
5.1 Oberfla¨chenintegrale,Integralsa¨tzevonGaußundStokes ......... 89
5.2 DasPoincare´scheKreismodellderhyperbolischenGeometrie .....101
5.3 TransformationdesMetriktensorsohneFla¨cheneinbettung........105
5.4 Aufgaben .................................................107
DasVolumendern-dimensionalenEinheitskugel ............107
IntegrationrotationssymmetrischerFunktionen..............110
Oberfla¨cheundVolumeneinesRotationsko¨rpers.............113
EulerschesBetaintegralnachJacobi .......................116
DerGaußscheIntegralsatzfu¨rQuader .....................118
AnwendungendesGaußschenSatzesimR3 ................119
AnwendungdesStokesschenIntegralsatzes.................122
EineMetrikfu¨rdasPoincare´scheKreismodell ..............123
6 Fourier-Reihen ................................................127
6.1 DieTheoriederFourier-Reihen...............................127
6.2 Aufgaben .................................................144
Fourier-EntwicklungderFunktionenβ ....................144
n
Wellengleichrichter.....................................147
Wa¨rmeleitung .........................................149
Eindeutigkeitssatzfu¨rFourier-Reihen......................156
Abklingverhaltenfu¨rFourier-ReihenglatterFunktionen ......157
PartialbruchzerlegungderCotangens-Funktion..............158
DasEulerscheSinusprodukt..............................159
Gibbs-Pha¨nomen.......................................160
Inhaltsverzeichnis ix
7 Fourier-Transformation ........................................163
7.1 L -Ra¨umeunddieTheoriederFourier-Transformation...........163
p
7.2 Aufgaben .................................................179
L -Funktionenaufbeschra¨nktemGebiet ...................179
p
L -FunktionenaufdemRn...............................179
p
Rechenregelnfu¨rFourier-Transformierte...................180
Fourier-TransformiertevomRechteck-undDreiecksfenster ...183
DasDreiecksfensterundseineFourier-Transformierte........185
Hermite-PolynomeundharmonischerOszillator.............188
DieUnscha¨rfedesharmonischenOszillators................197
DerharmonischeOszillatormitphysikalischenMaßeinheiten .201
8 GrundlagenderFunktionentheorie ..............................203
8.1 AufgabenstellungundGrundlagenderFunktionentheorie.........203
8.2 HolomorpheFunktionen.....................................204
8.3 Kurvenintegrale............................................214
8.4 Mo¨bius-Transformationen(gebrochenrationaleAbbildungen).....230
8.5 DerRiemannscheAbbildungssatz.............................237
8.6 Aufgaben .................................................242
Cauchy-RiemannscheDifferentialgleichungen ..............242
VerkettungharmonischermitholomorphenFunktionen.......246
DieholomorpheErga¨nzungeinerharmonischenFunktion.....247
KomplexeLogarithmusfunktionen ........................249
KomplexeArcus-Tangens-Funktionen .....................253
IntegraldarstellungderHermite-Polynome..................255
FresnelscheIntegrale,CauchyscherIntegralsatz .............256
Dirichlet-IntegralundCauchyscherIntegralsatz .............258
VonderPoisson-FormelzumFundamentalsatzderAlgebra ...261
DerKonvergenzradiusderBernoullischenPotenzreihe .......265
IntegraldarstellungderLogarithmusfunktion................266
DasMaximumprinzip...................................269
SchwarzschesLemma...................................272
Nullstellenanzahl,SatzvonRouche´ .......................273
AnwendungendesResiduensatzes ........................276
HomotopieundeinfacherZusammenhang..................279
DieMo¨bius-Transformation..............................281
BiholomorpheAbbildungen..............................283
EinebiholomorpheEinschra¨nkungderSinus-Funktion .......285
9 AnwendungenderFunktionentheorie ............................287
9.1 HyperbolischeGeometrie....................................287
Mo¨bius-TransformationenimPoincare´schenKreismodell.....294
DasHalbebenenmodellderhyperbolischenGeometrie........298
DieH-Kongruenzabbildungen............................304
DiebiholomorphenAutomorphismenvonE ................305
x Inhaltsverzeichnis
DiebiholomorphenAutomorphismenvonH ................307
DieanalytischeBeschreibungeinesH-Kreises ..............307
9.2 DirichletschesRandwertproblemfu¨rdieebeneLaplace-Gleichung .310
IntegralformelnvonPoisson-Schwarzfu¨rdenEinheitskreis ...315
StetigaufdenRandfortsetzbareLo¨sungenimEinheitskreis ...316
DasMaximumprinzipfu¨rdasDirichletscheRandwertproblem.318
DieEindeutigkeitderstetigfortsetzbarenLo¨sungen..........319
RenormierungderSprungunstetigkeiteneinerRandvorgabe ...321
NeumannscheInterpretationderstationa¨renWa¨rmeleitung....323
PoissonscheIntegralformelfu¨rdieHalbebene...............324
Verpflanzungsmethodefu¨rPotentialprobleme ...............327
9.3 PotentialproblemeinderElektrostatikundStro¨mungsmechanik....331
ElektrostatikundMo¨bius-Transformationen ................331
EbenePotentialstro¨mungeineridealenFlu¨ssigkeit ...........336
JoukowskiAbbildungfu¨rdieUmstro¨mungeinesTragflu¨gels ..341
VerpflanzungmitderJoukowski-Abbildung ................342
9.4 DieGamma-Funktion.......................................346
ResiduenderGamma-Funktion...........................352
WeitereEigenschaftenderGamma-FunktionimKomplexen...353
Euler-StieltjesFormelfu¨rγ ..............................356
StirlingscheFormelfu¨rdieGamma-Funktion ...............359
9.5 DerSatzvonWiener-Ikehara.................................364
VerschiedeneDarstellungenderRiemannschenZeta-Funktion.378
LogarithmierungderRiemannschenZeta-Funktion ..........379
AnwendungdesWiener-IkeharaSatzes ....................381
DerPrimzahlsatz.......................................383
BochnerHilfssatz ......................................385
Dirichlet-ReihenmitmultiplikativenKoeffizienten...........387
WeitereAnwendungendesWiener-IkeharaSatzes ...........388
Literaturverzeichnis ................................................391
Indexverzeichnis ...................................................393