Table Of ContentHistoire des mathématiques
de l'Antiquit , à l'an mil
A
la découverte des origines
IS no3 1
EDITIONS •
PO LE
ISSN 2263-4908
Bibliothèque
Ta.n9 e
L'aventure noat:hénoat:ique
Tangente Hors-série n° 30
Histoire des mathématiques
de l'Antiquité à l'an mil
Sous la direction d'Élisabeth Busser
© Éditions POLE - Paris 2015
Toute repré entation, traduction, adaptation ou reproduction, même partielle, par tou procédés, en
tous pays, faite sans autorisation préalable est illicite, et exposerait le contrevenant à des poursuites
judiciaires. Réf.: Loi du 11 mars 1957.
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dans la Bibliothèque Tangente
EDITIONS.
POLE
Histoire des mathématiques
de l'Antiquité à l'an mil
Sommaire
Mathématiques : chronologie
de quatre siècles d'aventures
Les divisions du savoir dans I'A ntiquité
Dupliquer un carré chez Platon
De l'astrologie à la science
La naissance des mathématiques
l •X•tii i3 , 1 Les ciulllsations
Les mathématiques furent l'invention de toutes sortes
de peuples, qui les pratiquèrent tantôt pour raisons
comptables, astronomiques ou religieuses, tantôt pour
elles-mêmes. Les hommes voyagent, les peuples se ren
contrent, les uns deviennent les passeurs du savoir des
autres, tels les Arabes exhumant la science grecque ou
offrant des chiffres d'origine indienne à l'Occident.
La Grèce antique et sa zone d'influence
Alexandrie : sept cent ans
d'histoire des mathématiques
La mystérieuse machine d'A nticythère
Babyloniens et Égyptiens
La méthode de Héron
Mathématiques en Chine ancienne
Mathématiques indiennes : les origines
La cience arabe racontée par Shéhérazade
Dans l'Amérique précolombienne
Le latin, langue des mathématiques
DOSSIER Les personnages
Les mathématiques antiques doivent leur développe
ment à la passion de personnages remarquables, fon
dateurs d'écoles ou savants solitaires. Certains de ces
grands noms, Pythagore, Euclide ... nous sont familiers.
D'autres, comme Théétète ou Hypatie, sont moins
connus. Dans cette partie, nous rendons aussi homma
ge à al-Khwarizmi, Zu Chongzhi, Aryabhata et d'autres
grands savants orientaux.
Thalès et l'ombre de la pyramide
Trois mathématiciens chinois
Les pythagoriciens : des maths ésotériques et secrètes
Hors série n°30. Histoire des mathé
Deux mille ans avant Galois, Théétète
Euclide
Aristote
Archimède, le quadrateur
Hypatie d'Alexandrie
Aryabhata et Brahmagupta
Al-Kindi
Al-Khwarizmi, maître de l'algèbre
Thabit ibn Qurra
Le pape qui aimait les chiffres
DOSSIER les grands thèmes
Comment calculaient les Anciens ? Connaissaient-ils
les objets mathématiques qui nous sont aujourd'hui
familiers ? Comment abordaient-ils les grands
concepts mathématiques? Dans ce dossier, on délaisse
nos calculatrices modernes pour goûter aux joies du
maniement de l'abaque. On compare l'efficacité des
systèmes de numération. On redécouvre les premières
réflexions sur la nature du nombre, l'invention du zéro,
la manipulation - prudente - de la notion d'infini...
Écrire les mathématiques
Une histoire d'inconnues
La découverte des grandeurs incommensurables
Pourquoi les Grecs n'ont-ils pas inventé l'algèbre ?
L'invention de la trigonométrie
Des chiffres « romains » aux chiffres « arabes »
Les naissances multiples du zéro
L'infini, potentiel ou actuel ?
L'abaque grec et la calculette romaine
Les polyèdres dans l'Antiquité
Un recueil mathématique vieux de douze siècles
En bref
Jeux et Problèmes
Solutions
4
Tc:ingent:e Hors-série n°30. Histoire des math
par F.C. et J.-J.D. EN BREF
Mvthes et fantômes
la naissance de la
•••••tr1•
La vie de quelques auteurs de !'Antiquité nous est
par MICIIII Serres
bien connue. C'est le cas de Platon, dont on connaît
même la généalogie sur plus de six générations du
« Or en moins de quatre
moins pour sa lignée maternelle. Aussi bien du côté
siècles, de Thalès de Milet à
de sa mère que de son père, Platon descendrait. .. de
Euclide d'Alexandrie et qu'ils
Poséidon. On voit ici que la légende s'empare vite des
le veuillent ou non, les pen
figures historiques.
seurs grecs, rivaux de villes
D'autres personnages sont plus flous, comme et d'écoles, d'économie et de
Théétète, dont on n'arrive pas bien à savoir s'il est religion, acharnés à se
mort à 20 ans ou 46 ans. D'autres encore sont des contredire, fils de la terre
fantômes : on sait si peu de choses d'eux que l'on contre amis des formes ou
doute parfois de leur existence. Ainsi, Timée de penseurs du mouvant contre
Lacres ne serait qu'une création littéraire de Platon. éternitaires, ont, ensemble,
Certes, Timée de Lacres et Théétète ne passionnent construit, de façon fou
pas les foules - et c'est sûrement injuste pour droyante et inattendue, un
Théétète - mais Pythagore, Euclide! Eh bien même Empire invisible et unique
Pythagore pose problème aux historiens. Il semble dont la grandeur sans déca
qu'il ait existé, mais il n'a rien écrit et la tradition orale dence perdure jusqu'à nous,
autour de son œuvre était secrète, réservée aux initiés un bâtiment sans autre
exemple dans l'histoire où ils
de sa secte! Dans ces conditions, difficile de démêler
nous amènent encore, à plus
l'écheveau des légendes brodées autour de sa vie et
de deux millénaires de dis
de ses connaissances. Pour Euclide, c'est pire. Bien
tance, à travailler selon les
qu'il soit l'auteur d'un des textes fondateurs des
mêmes gestes qu'eux et sans
mathématiques, les Éléments, on ne sait rien de lui!
l'abandonner sous le pré
Longtemps, il a été confondu avec Euclide de Mégare,
texte de la confusion de nos
personnage du Théétète de Platon. Aujourd'hui, les
langues et même si nos
spécialistes se perdent en conjectures. Existait-il?
haines croissent. L'humanité
N'était-il que le chef d'une école? A-t-il fait un travail
a-t-elle jamais formé un
original ou a-t-il compilé les connaissances de son
accord équivalent? Cette
époque?
réussite s'appelle les mathé
Il reste des recherches historiques considérables à
matiques. »
faire pour préciser les contours de ces figures du
Extrait de Gnomon, les débuts
Panthéon des mathématiques. Espérons que de nou
de la géométrie en Grèce,
velles découvertes viennent percer ces mystères et in Éléments d'histoire des
peut-être ressusciter des génies aujourd'hui oubliés. sciences, sous la direction de
Michel Serres.
Bordas, 1986.
Hors-série n° 30. Histoire des mathématiques ... Tcingent:e
HISTOIRES par Élisabeth Busser
mathématiques : chronologie
de quatre siècles d' auentures
Présentes dans tous les aspects de nos vies, les mathéma
tiques sont ancrées dans le passé, le présent et l'avenir de
tous les peuples. Brossons un panorama de leur histoire jus
qu'à l'An Mil.
L 'histoire des mathématiques com une période spécialement féconde de
mence avec celle de l'humanité l'aventure mathématique.
puisque les peuples du paléoli
thique comptaient déjà les entaille sur Les précurseurs
les os. Les figures et les nombres n'ont
cessé depuis de hanter l'esprit humain. Vers 3500 avant J.-C., les Babylo
L' Antiquité jusque vers l' An Mil est nien étaient déjà experts : experts en
numération, ils gravaient de tables de
multiplication sur leurs tablettes d'ar
gile ; experts en algèbre, ils ré olvaient
des équations du second degré ; experts
en géométrie, ils savaient calculer des
aires planes et construire des tables de
Comment partager 6 pains entre 10 personnes? Pour
triplets pythagoriciens ; experts en
nous aujourd'hui, c'est simple : donner à chacun six
astronomie, ils étaient capables d'éta
dixièmes de pain, mais comment le compter? Couper
blir des prévisions fiables des positions
chaque pain en dix et ne prendre que six parts? Que de
des planètes.
miettes l Pour les Egyptiens contemporains du scribe
Vers 1700 avant notre ère, le scribe
Ahmès, le transcripteur du papyrus Rhind, en 1700
Ahmes rassemble dans le papyru Rhind
avant J.-C., le problème trouve une solution très élé
plus de quatre-vingt problèmes avec
gante qui repose sur le mode de calcul en vigueur à
leur solutions, touchant essentielle
l'époque : la dêcomposition de toute fraction en
ment aux domaines de la vie quotidien
somme de fractions de numérateur 1. Comme, pour
ne.
notre problème, ...!... = .!.. + -1-, il suffira, pour faire
10 2 10 Vers 800 avant J.-C., loin de là, en
le partage, departager un seul pain en dix, les cinq
Inde, le prêtre Baudhayana, en expli
autres en deux et. .. de donner à chacun la moitié d'un quant comment construire des autels,
pain et un dixième. Cela fait beaucoup moins de dévoile dans ses sulbasutras des pro
découpes, et tous ont des parts de même forme. priétés qui ressemblent fort au théorè
me de Pythagore.
6
Tangente Hors-série n°30. Histoires des mathématiques ...
Vers 1700 ava11t notre ère, le scribe
Texte d'un sulbasutra
Ahmès rassemble dans le papyrus
Rhind plus de quatre-vingts pro
Comment construire un carré d'ai,·e blèmes avec leurs solutio11s, tou
égale à la somme des aires de deux car
chant essentiellement aux domai11es
rés donnés?
de la vie quotidienne.
Le dessin parle de lui-même, dans ce
sulbasutra indien, datant d'en-
viron 800 avant J.-C., où figurés et. . . on célèbre théorè
figurent à l'origine des me officialisant ce que les géo
recommandations pour mètres babyloniens ou indiens
construire les connaissaient déjà sous forme
autels. empirique. À la suite de Tha
Si a et b dési lès, il introduit la notion de
gnent les côtés « propriété toujours vraie». De
de deux carrés donnés, le fait que le carré situation «pré-mathématique»,
construit comme l'indique le dessin ait on est pa é, avec Thalès et
une aire égale à a2 + b2 implique la Pythagore, à la science mathé
connaissance d'une relation entre les car matique! Après eux, la décou
rés des côtés d'un triangle rectangle, ce verte de l'existence de nombres
qui deviendra trois siècles plus tard le irrationnels inhibera sans doute Extrait d'une tra
théorème de Pythagore. la construction de l'arithmé- duction médié-
tique, faisant des mathémati vale (par ledit
Henrion) des
ciens grecs es entiellement de
Éléments
C'est Thalès qui, autour de 575 avant géomètres.
d'Euclide.
J .-C., allant au-delà des considérations
purement pratiques, importera en Grèce
les savoirs mathématique des
~·-·····-·
Babyloniens. C'est ainsi que, pré
figurant la similitude, il calcule la
hauteur d'une pyramide en mesu
rant son ombre. li mettra la géo
métrie théorique sur les rail en
résolvant des problèmes comme le
calcul de la distance entre les
bateaux et le rivage, impossibles à
résoudre sans disposer d'un mini
mum de données.
Influencé par Thalès, Pythagore de
Samos est encore aujourd'hui un mythe
mathématique. Plus philosophe que
mathématicien, il fonde à Crotone en
Italie une école fonctionnant comme une
secte et sa doctrine du «Tout est
nombre» va faire le tour du monde. Il
nous lai se des travaux sur les nombres
HISTOIRES Chronologie de 4 siècles •••
les législateurs
D'autres ont été entraînés dans ce silla
ge : Aristarque de Samos, qui calcula
Au ,ve siècle avant J .-C. Platon, avec vers 290 avant J .-C., par la géométrie,
l'Académie, et Aristote avec le lycée les distances Terre-Solei I et
firent d'Athènes le vrai centre intel Terre-Lune ; Archimède qui vers 250
lectuel du monde méditerranéen et avant J .-C. donna une méthode de cal
eurent tous deux une influence cer cul du périmètre du cercle ; Apollonius
taine sur le développement des de Perge qui vers 225 avant J .-C. déve
mathématiques en tant que science. loppa la théorie des sections d'un cône
Les mathématiciens grecs sont très par un plan, pour ne citer que les plus
recherchés et les souverains de la connus. Les connaissances mathéma
\iijgiiizilill[lll!III
dynastie des Ptolémée vont savoir tiques se déclinent maintenant en un
1,
les attirer à Alexandrie, le nouveau enchaînement logique implacable où
centre de la culture scientifique en l'on distingue des définitions, des
Un manuscrit
d'al-Kwarizmi Méditerranée. C'est ici qu'Euclide a axiomes et des théorèmes.
datant du enseigné créant vers 300 avant J .-C. la
les héritiers
x• siècle. plus grande œuvre des mathématiques
grecques, les Éléments. Cette œuvre
monumentale, avec ses treize livres, Alexandrie e t restée « la Grande Géo
est une véritable «somme», fédérant mètre», comme le disait Apollonius,
des résultats connus pour certains mais jusque dans les année 400 après J .-C.
épars, codifiant les règles de la démons Les héritiers d'Euclide et de la logique
tration, étendant son influence sur la d'Aristote sont nombreux à y avoir tra
géométrie et son enseignement jus vaillé. Héron d'Alexandrie qui, dans ses
qu'au xxe siècle. À la uite de Platon Métriques, donne des formules de cal
et d'Aristote, Euclide a été un législa cul d'aires et de volumes, Nicomaque
teur de la géométrie. de Gérase, le premier à avoir vraiment
séparé l'arithmétique de la géométrie,
les Neut Cha11itres lie l'an llu calcut exemples
Dans une ville carrée de dimensions inconnues, il y a une porte au milieu de chaque côté.
Dehors, vingt pas après la sortie Nord, il y a un arbre. Si vous quittez la ville par la porte
Sud, marchez quatorze pas vers le Sud puis 1775 pas vers l'ouest, et là, vous commencerez
tout juste à apercevoir l'arbre. Quelles sont les dimensions de la ville? Tel est le genre de
problèmes que l'on trouve dans les Neuf Chapitres sur l'art du calcul, ouvrage
chinois de 200 avant J.-C.
On résoudrait aujourd'hui ce problème en écrivant une relation de
proportionnalité entre les côtés des triangles ABN et ACD, qui, si x
désignait la longueur du côté de la ville, fournirait l'équation du
second degré x2 + 34X = 71 ooo.
C'est ce que font les Chinois, mais ils donnent pour cette
équation une solution plus proche de la géométrie que de
l'algèbre et trouvent évidemment 250 comme solution.
Ta.ngente Hors-série n°30. Histoires des mathématiques ...
