High-order accurate entropy stable numercial schemes for hyperbolic conservation laws

104 Pages·2013·2.02 MB·English

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High-order accurate entropy stable
numercial schemes for hyperbolic
conservation laws
Doctoral Thesis
Author(s):
Fjordholm, Ulrik Skre
Publication date:
2013
Permanent link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-007622508
Rights / license:
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Diss. ETHNo. 21025
HIGH-ORDERACCURATEENTROPYSTABLENUMERICAL
SCHEMESFORHYPERBOLICCONSERVATIONLAWS
Adissertationsubmittedto
ETHZU¨RICH
forthedegreeof
DoctorofSciences
presentedby
ULRIKSKREFJORDHOLM
M.Sc.ComputationalScienceandEngineering,UniversityofOslo
born1December1985
citizenofNorway
acceptedontherecommendationof
Prof. Dr. SiddharthaMishra,ETHZu¨rich,examiner
Prof. Dr. EitanTadmor,UniversityofMaryland,co-examiner
Prof. Dr. Chi-WangShu,BrownUniversity,co-examiner
2013
ISBN 978-3-906031-29-3
DOI 10.3929/ethz-a-007622508
Abstract
Theroleofentropyforthestabilityofhyperbolicconservationlawsiswell-understood,
andtosomeextent,alsoforfirst-andsecond-orderaccuratenumericalschemes.Thestability
of higher-order accurate schemes, however, is to a large degree an open problem. In this
thesisweadopttheframeworkofentropystabilityasadesignprinciple.Wecombineentropy
conservative fluxes with appropriate diffusion operators, and to obtain high order accuracy,
weconsiderdiffusionoperatorsusingtheENOreconstructionprocedure. Weshowthatthe
ENO procedure satisfies the so-called sign property, which ensures entropy stability of our
(arbitrarily)high-orderaccuratefinitedifferencescheme. Moreover,weposeandarguefora
conjectureonthetotalvariationoftheENOreconstruction,whichwouldimplyaweaktotal
variation bound for our scheme. For hyperbolic systems, the reconstruction is performed
using a novel, computationally efficient characteristic-wise decomposition. The scheme is
easilygeneralizedtomulti-dimensionalsystemsonCartesianmeshes.
Tostudytheconvergencepropertiesofourschemeforscalarequations,weconsiderthe
framework of compensated compactness. Under the assumption that our conjecture on the
totalvariationboundofENOholds,weproveconvergencetotheentropysolution.Formulti-
dimensional hyperbolic systems we are able to prove convergence to an entropy measure-
valuedsolution.
Therobustness, accuracyandcomputationalefficiencyoftheschemearedemonstrated
inaseriesofnumericalexperiments.
iii

Zusammenfassung
Die Rolle der Entropie fu¨r die Stabilita¨t hyperbolischer Differentialgleichungen ist gut
verstanden. Dies gilt teilweise auch fu¨r numerische Verfahren erster und zweiter Ordnung.
DieStabilita¨tvonVerfahrenho¨hererOrdnungistjedocheinoffenesProblem. IndieserDis-
sertationwirdEntropiestabilita¨talsGestaltungsprinzipverwendet.Wirkombinierenentropie-
erhaltendeFlu¨ssemitgeeignetenDiffusionsoperatoren. UmeinehoheOrdnungzuerhalten,
benutzen wir Diffusionsoperatoren basierend auf dem ENO-Rekonstruktionsverfahren. Wir
zeigen,dassdasENO-VerfahrenvorzeichenerhaltendistundsomitEntropiestabilita¨tunseres
Verfahrensbei(beliebig)hoherOrdnunggilt. ZudemstellenwireineVermutungu¨berdieto-
taleVariationderENO-Verfahrenauf,dieeineschwacheobereSchrankedertotalenVariation
unserer Methode darstellen wu¨rde. Fu¨r hyperbolische Systeme rekonstruieren wir die En-
tropievariablen mittels einer neuen, effizienten Zerlegung, basierend auf den Eigenvektoren
des Diffusionsoperators. Das Verfahren la¨sst sich leicht auf mehrdimensionale, kartesische
Gitterverallgemeinern.
Der Zugang u¨ber kompensierte Kompaktheit wird benutzt, um die Konvergenzeigen-
schaftenunsererMethodefu¨rskalareGleichungenzuuntersuchen. UnterderAnnahmeder
obigen Vermutung zeigen wir Konvergenz des Verfahrens zur Entropielo¨sung. Fu¨r mehr-
dimensionalehyperbolischeSystemebeweisenwirKonvergenzzueinermasswertigenEntropie-
lo¨sung.
Die Robustheit, Genauigkeit und Effizienz der Verfahren werden in verschiedenen nu-
merischenExperimentendemonstriert.
v

Acknowledgements
Ofallthepeoplewhohavehelpedmethroughthepast3.5years,Iwishtomentionthreein
particular. First, IamverygratefultoSidharthMishraforallthathehastaughtmeandfor
alwayshavingtimeforadiscussion,math-relatedornot.
Second, IthankEitanTadmorforgenerouslysharingfromhisimmenseexperience, forhis
keeninterestandenthusiasm,andforhiswarmhospitalityinMaryland.
Finally, thank you, Ingeborg, for your immense patience with me. Your support has meant
moretomethanIamabletoconveyhere.
vii

Contents
Abstract iii
Zusammenfassung v
Acknowledgements vii
Introduction xi
Notation xiv
Chapter1. Hyperbolicconservationlaws 1
1.1. Basicnotionsandexamples 1
1.2. Entropypairsandtheentropycondition 5
1.3. Existenceanduniquenessforscalarconservationlaws 9
1.4. Compensatedcompactness 10
1.5. Existenceanduniquenessforsystemsofconservationlaws 13
1.6. Measure-valuedsolutions 13
1.7. Summaryandoutlook 14
Chapter2. Entropystablemethodsoffirstorder 17
2.1. Finitevolumeandfinitedifferencemethods 18
2.2. Entropyconservativeandentropystablemethods 18
2.3. Entropystablemethodsforscalarequations 21
2.4. Entropyconservativeschemesforsystems 23
2.5. Entropystableschemesforsystems 25
2.6. Summary 27
Chapter3. Convergencetheoryforfinitevolumemethods 29
3.1. Strongconvergenceoffinitevolumeschemes 30
3.2. Multi-dimensionalmeasure-valuedsolutionsofsystems 34
3.3. Convergenceofentropystablemethods 38
Chapter4. Higher-orderaccurateentropystablemethods 39
4.1. High-orderentropyconservativemethods 39
4.2. High-orderentropystablemethodsforscalarequations: theELWscheme 40
ix